GSEB Solutions Class 10 Maths Chapter 6 ત્રિકોણ Ex 6.4

Gujarat Board GSEB Solutions Class 10 Maths Chapter 6 ત્રિકોણ Ex 6.4 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 10 Maths Chapter 6 ત્રિકોણ Ex 6.4

પ્રશ્ન 1.
∆ ABC ~ ∆ DEF છે. તેમનાં ક્ષેત્રફળો અનુક્રમે 64 સેમી અને 121 સેમી છે. જો EF = 15.4 સેમી² હોય, તો BC શોધો.
ઉત્તરઃ
∆ ABC ~ ∆ DEF
\(\frac{\mathrm{ABC}}{\mathrm{DEF}}=\left(\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{EF}}\right)^{2}\) (પ્રમેય 6.6)

\(\frac{64}{121}=\left(\frac{\mathrm{BC}}{15.4}\right)^{2}\) \(\frac{8}{11}=\frac{\mathrm{BC}}{15.4}\)

∴ BC = \(\frac{8 \times 15.4}{11}\)
∴ BC = 8 × 1.4
∴ BC = 11.2 સેમી

પ્રશ્ન 2.
સમલંબ ચતુષ્કોણ ABCDમાં AB || CD છે. તેના વિકર્ણો એકબીજાને બિંદુ 0માં છેદે છે. જો AB = 2CD હોય, તો ∆ AOB અને ∆ CODનાં ક્ષેત્રફળોનો ગુણોત્તર શોધો.
ઉત્તરઃ

સમલંબ ચતુષ્કોણ ABCDમાં, AB || CD છે અને વિકણ AC તથા BD પરસ્પર 0માં છેદે છે.
હવે, ∆ AOB અને ∆ CODમાં,
∠OAB = ∠OCD (યુગ્મકોણ)
∠OBA = ∠ODC (યુગ્મકોણ)
∠AOB = ∠COD (અભિકોણ)
∴ ખૂખૂબૂ શરત મુજબ, ∆ AOB ~ ∆ COD

\(\frac{\mathrm{AOB}}{\mathrm{COD}}=\left(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{CD}}\right)^{2}\)

\(\frac{\mathrm{AOB}}{\mathrm{COD}}=\left(\frac{2 \mathrm{CD}}{\mathrm{CD}}\right)^{2}\) (∵ AB = 2CD)

\(\frac{\mathrm{AOB}}{\mathrm{COD}}=\frac{4}{1}\)

∴ AOB : COD = 4 : 1

પ્રશ્ન 3.
આપેલ આકૃતિમાં, ABC અને DBC એક જ પાયા BC પરના બે ત્રિકોણો છે. જો AD એ BCને 2માં છે, તો સાબિત કરો કે \(\frac{\mathrm{ABC}}{\mathrm{DBC}}=\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{DO}}\).

ઉત્તરઃ

AM ⊥ BC અને DN ⊥ BC દોરો.
આથી ABC = \(\frac{1}{2}\) × BC × AM અને
DBC = \(\frac{1}{2}\) × BC × DN
∴ \(\frac{\mathrm{ABC}}{\mathrm{DBC}}=\frac{\frac{1}{2} \times \mathrm{BC} \times \mathrm{AM}}{\frac{1}{2} \times \mathrm{BC} \times \mathrm{DN}}\)

∴ \(\frac{\mathrm{ABC}}{\mathrm{DBC}}=\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{DN}}\) ………..(1)
∆ AMO અને ∆ DNOમાં,
∠AMO = ∠DNO (કાટખૂણા)
∠AOM = ∠DON (અભિકોણ)
∴ ખૂબૂ શરત મુજબ, ∆ AMO ~ ∆ DNO ………… (2)

∴ \(\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{DN}}=\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{DO}}\)

(1) અને (2) પરથી, \(\frac{\mathrm{ABC}}{\mathrm{DBC}}=\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{DO}}\).

પ્રશ્ન 4.
જો બે સમરૂપ ત્રિકોણોનાં ક્ષેત્રફળો સમાન હોય, તો સાબિત કરો ? કે તે એકરૂપ છે.
ઉત્તરઃ
પક્ષ: ∆ ABC ~ ∆ POR અને ∆ ABC = ∆ POR
સાધ્ય: ∆ ABC ~ ∆ POR

સાબિતી: ∆ ABC ~ ∆ PQR

∴ \(\frac{\mathrm{ABC}}{\mathrm{PQR}}=\left(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}\right)^{2}=\left(\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{QR}}\right)^{2}=\left(\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{RP}}\right)^{2}\) ……………..(1)

ABC = PQR

∴ \(\frac{\mathrm{ABC}}{\mathrm{PQR}}\) = 1 …………..(2)

(1) અને (2) પરથી,
\(\left(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}\right)^{2}=\left(\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{QR}}\right)^{2}=\left(\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{RP}}\right)^{2}\) = 1

\(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{QR}}=\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{RP}}\) = 1

AB = PQ, BC = QR અને CA = RP
એકરૂપતાની બાબાબા શરત મુજબ,
∆ ABC ≅ ∆ PQR.

પ્રશ્ન 5.
D, E અને F અનુક્રમે ∆ ABCની બાજુઓ AB, BC અને CA નાં મધ્યબિંદુઓ છે. ∆ DEF અને ∆ ABCનાં ક્ષેત્રફળોનો ગુણોત્તર શોધો.
ઉત્તરઃ

∆ ABC માં D, E અને F અનુક્રમે AB, BC અને CA નાં મધ્યબિંદુઓ છે.
આથી EF || AB અને DE || AC
EF || AD અને DE || AF
∆DEF સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
∠A = ∆ DEF (સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના સામસામેના ખૂણા)
તે જ રીતે, આપણે સાબિત કરી શકીએ કે ∆B = ∆EFD અને ∠C = ∠EDF.
હવે, ∆ ABC અને ∆ EFD માં,
∠A = ∠E, ∠B = ∠F અને ∠C = ∠D
∴ ખૂબૂબૂ શરત મુજબ, ∆ ABC ~ ∆ EFD
\(\frac{\mathrm{DEF}}{\mathrm{ABC}}=\left(\frac{\mathrm{EF}}{\mathrm{AB}}\right)^{2}\) …………(1)
∆ ABCમાં, E અને F એ અનુક્રમે BC અને CAનાં મધ્યબિંદુઓ છે.
EF = \(\frac{1}{2}\) AB
(1) અને (2) પરથી, …………… (2)
∴ \(\frac{\mathrm{DEF}}{\mathrm{ABC}}=\frac{1}{4}\)
∴ DEF : ABC = 1 : 4

પ્રશ્ન 6.
સાબિત કરો કે, બે સમરૂપ ત્રિકોણોનાં ક્ષેત્રફળોનો ગુણોત્તર તેમની અનુરૂપ મધ્યગાના ગુણોત્તરના વર્ગ બરાબર હોય છે.
ઉત્તરઃ
પક્ષ: ∆ ABC ~ ∆ PQR, AD અને મધ્યગા PM ∆ ABC અને ∆ PQRની મધ્યગાઓ છે.

સાધ્ય: \(\frac{\mathrm{ABC}}{\mathrm{PQR}}=\left(\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{PM}}\right)^{2}\)

સાબિતી: ∆ ABCમાં, AD મધ્યગા છે.
∴ BD = \(\frac{1}{2}\) BC

∆ PQRમાં, PM મધ્યગા છે.
∴ QM = \(\frac{1}{2}\) QR

∆ ABC ~ ∆ PQR

∴ ∠B = ∠Q અને \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{QR}}\)

∴ ∠ABD = ∠PQM અને \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}=\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{QM}}\)
આથી બાખૂબા શરત મુજબ, ∆ ABD ~ ∆ POM
\(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}=\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{PM}}\) ………… (1)

હવે, ∆ ABC ~ ∆ POR
\(\frac{\mathrm{ABC}}{\mathrm{PQR}}=\left(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}\right)^{2}\)

\(\frac{A B C}{P Q R}=\left(\frac{A D}{P M}\right)^{2}\) (1) પરથી)

પ્રશ્ન 7.
સાબિત કરો કે, ચોરસની કોઈ એક બાજુ પર દોરેલા સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ, તે ચોરસના વિકર્ણ પર દોરેલા સમબાજુ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળથી અડધું હોય છે.
ઉત્તરઃ

ABCD ચોરસ છે. ∆ PAB એ ચોરસની બાજુ AB પર દોરેલ સમબાજુ ત્રિકોણ છે તથા ∆ QAC એ ચોરસના વિષ્ણુ AC પર દોરેલ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.
∆ ABC માં, ∠B = 90° અને AB = BC (ચોરસના ગુણધર્મો)
હવે, AC² = AB² + BC² (પાયથાગોરસ પ્રમેય)
AC² = AB² + AB²
∴ AC² = 2AB²
\(\frac{\mathrm{AB}^{2}}{\mathrm{AC}^{2}}=\frac{1}{2}\)

∴ \(\left(\frac{A B}{A C}\right)^{2}=\frac{1}{2}\) …………. (1)
∆ PAB એ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.
∴ ∠P = ∠A = ∠B = 60°
∆ QAC એ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.
∠Q = ∠A = ∠C = 60°
આમ, ∆ PAB અને ∆ BACમાં,
∠P = ∠Q, ∠A = ∠A અને ∠B = ∠C
ખૂબુખૂ શરત મુજબ, ∆ PAB ~ ∆ QAC
\(\frac{\mathrm{PAB}}{\mathrm{QAC}}=\left(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}\right)^{2}\)

\(\frac{\mathrm{PAB}}{\mathrm{QAC}}=\frac{1}{2}\) ((1) પરથી,)

∴ PAB = \(\frac{1}{2}\) QAC
સાચા જવાબ જણાવો, અને ચકાસણી કરો: (દાખલો 8, 9)

પ્રશ્ન 8.
જેમાં D એ BCનું મધ્યબિંદુ છે, એવા બે સમબાજુ ત્રિકોણો ABC અને BDE છે. ત્રિકોણ ABC અને BDEનાં ક્ષેત્રફળોનો ગુણોત્તર ………. થાય.
(A) 2 : 1
(B) 1 : 2
(C) 4 : 1
(D) 1 : 4
ઉત્તરઃ
સાચો વિકલ્પ (C) 4 : 1 છે.
∆ ABC અને ∆ BDE સમબાજુ ત્રિકોણો છે. આથી તેઓ વચ્ચેની કોઈ પણ સંગતતા સમરૂપતા છે.
∆ ABC ~ ∆ EBD …………. (1)
હવે, D એ BCનું મધ્યબિંદુ છે.
BD = \(\frac{1}{2}\) BC
BC = 2BD …………… (2)
(1) અને (2) પરથી,

\(\frac{\mathrm{ABC}}{\mathrm{EBD}}=\left(\frac{2 \mathrm{BD}}{\mathrm{BD}}\right)^{2}\) \(\frac{\mathrm{ABC}}{\mathrm{EBD}}=\frac{4}{1}\)

ABC : EBD = 4 : 1

પ્રશ્ન 9.
બે સમરૂપ ત્રિકોણોની બાજુઓનો ગુણોત્તર 4 : 9. છે. આ ત્રિકોણોનાં ક્ષેત્રફળોનો ગુણોત્તર ……….. થાય.
(A) 2 : 3
(B) 4 : 9
(C) 81 : 16
(D) 16 : 81
ઉત્તરઃ
સાચો વિકલ્પ (D) 16 : 81 છે.
પ્રમેય 6.6 મુજબ,
બે સમરૂપ ત્રિકોણોનાં ક્ષેત્રફળોનો ગુણોત્તર = (તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર) = (4 : 9)²
= (\(\frac{4}{9}\))²
= \(\frac{16}{81}\)
= 16 : 81