GSEB Solutions Class 10 Maths Chapter 7 યામ ભૂમિતિ Ex 7.1

Gujarat Board GSEB Solutions Class 10 Maths Chapter 7 યામ ભૂમિતિ Ex 7.1 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 10 Maths Chapter 7 યામ ભૂમિતિ Ex 7.1

પ્રશ્ન 1.
નીચે આપેલ બિંદુઓની જોડ વચ્ચેનું અંતર શોધો :
(i) (2, 3), (4, 1)
(ii) (- 5, 7), (- 1, 3)
(iii) (a, b), (- a, – b).
ઉત્તરઃ
(i) ધારો કે, A (2, 3) અને B (4, 1) આપેલ બિંદુઓ છે.
માટે, AB = \(\sqrt{(2-4)^{2}+(3-1)^{2}}\)
= \(\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2 \sqrt{2}\)
આમ, આપેલ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર 2/2 છે.

(ii) ધારો કે, A(- 5, 7) અને B(- 1, 3) આપેલ બિંદુઓ છે.
માટે, AB = \(\sqrt{(-5+1)^{2}+(7-3)^{2}}\)
= \(\sqrt{16+16}=\sqrt{32}=4 \sqrt{2}\)
આમ, આપેલ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર 4√2 છે.

(iii) ધારો કે, P (a, b) અને Q(- a, – b) આપેલ બિંદુઓ છે.
માટે, PQ = \(\sqrt{(a+a)^{2}+(b+b)^{2}}\)
= \(\sqrt{4 a^{2}+4 b^{2}}=2 \sqrt{a^{2}+b^{2}}\)
આમ, આપેલ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર \(2 \sqrt{a^{2}+b^{2}}\) છે.

પ્રશ્ન 2.
બિંદુઓ (0, 0) અને (36, 15) વચ્ચેનું અંતર શોધો. હવે તમે વિભાગ 7.2માં ચર્ચા કરેલ તે બે શહેરો A અને B વચ્ચેનું અંતર શોધી શકો.
ઉત્તરઃ
આપેલ બિંદુઓ A (0, 0) અને B (36, 15) છે.
હવે, AB = \(\sqrt{(0-36)^{2}+(0-15)^{2}}\)
= \(\sqrt{1296+225}=\sqrt{1521}\) = 39
આમ, આપેલ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર 39 છે.
હા, હવે આપણે પાઠ્યપુસ્તકના વિભાગ 7.2માં ચર્ચા કરેલ બે શહેરો A અને B વચ્ચેનું અંતર શોધી શકીશું.

શહેર B શહેર Aથી 36 કિમી પૂર્વમાં અને 15 કિમી ઉત્તરમાં આવેલ છે. આથી જો આપણે શહેર A ઉગમબિંદુ પર આવેલ છે તેમ ધારીએ, તો શહેર Aના યામ (0, 0) થાય અને તેથી શહેર Bના યામ (36, 15) થાય. હવે, ઉપર ગણતરી કરી તે મુજબ બિંદુઓ A (0, 0) અને B (36, 15) વચ્ચેનું અંતર 39 છે. આથી શહેર A અને શહેર B વચ્ચેનું અંતર 39 કિમી થાય.

પ્રશ્ન 3.
બિંદુઓ (1, 5), (2, 3) અને (- 2, – 11) સમરેખ છે કે નહીં તે નક્કી કરો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, આપેલ બિંદુઓ A (1, 5), B (2, 3) અને C (- 2, – 11) છે. હવે,
AB = \(\sqrt{(1-2)^{2}+(5-3)^{2}}\)
= \(\sqrt{1+4}=\sqrt{5}\) = 2.24 (આશરે)

BC = \(\sqrt{(2+2)^{2}+(3+11)^{2}}\)
= \(\sqrt{16+196}=\sqrt{212}\) = 14.56 (આશરે)

AC = \(\sqrt{(1+2)^{2}+(5+11)^{2}}\)
= \(\sqrt{9+256}=\sqrt{265}\) = 16.28 (આશરે)
હવે, 14.56 + 2.24 = 16.80 ≠ 16.28
આમ, AB + BC ≠ AC
તે જ રીતે, BC + AC ≠ AB અને AC + AB ≠ BC. આથી આપેલ બિંદુઓ સમરેખ નથી.

પ્રશ્ન 4.
ચકાસો કે (5, – 2), (6 4) અને (7, – 2) એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણનાં શિરોબિંદુઓ છે.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, આપેલ બિંદુઓ A (5, – 2), B (6, 4) અને C (7, – 2) એ ∆ ABCનાં શિરોબિંદુઓ છે.
હવે, AB = \(\sqrt{(5-6)^{2}+(-2-4)^{2}}=\sqrt{1+36}=\sqrt{37}\)

BC = \(\sqrt{(6-7)^{2}+(4+2)^{2}}=\sqrt{1+36}=\sqrt{37}\)

AC = \(\sqrt{(5-7)^{2}+(-2+2)^{2}}=\sqrt{4+0}=\sqrt{4}\) = 2
અહીં, ∆ ABC માં AB = BC ≠ AC.
આથી ABC એ સમઢિબાજુ ત્રિકોણ છે. આમ, આપેલ બિંદુઓ (5, – 2), (6, 4) અને (7, – 2) એ સમઢિબાજુ ત્રિકોણનાં શિરોબિંદુઓ છે.

પ્રશ્ન 5.
એક વર્ગખંડમાં ચાર મિત્રો આપેલ આકૃતિમાં દર્શાવેલ બિંદુઓ, A, B, C અને D દ્વારા દર્શાવેલ સ્થાન પર બેઠા છે. ચંપા અને ચમેલી વર્ગમાં આવી અને થોડી મિનિટોના અવલોકન બાદ ચંપાએ ચમેલીને પૂછ્યું કે “શું તું એવું માને છે કે ABCD ચોરસ છે?” ચમેલી અસહમત થાય છે. અંતરસૂત્રનો ઉપયોગ કરી કોણ સાચું છે તે શોધો.

ઉત્તરઃ
સ્તંભો અહીં, બિંદુઓ A (3, 4), B (6, 7), C (9, 4) અને તે D (6, 1) એ ચાર મિત્રો જે સ્થાન પર બેઠા છે તેનું નિરૂપણ કરે છે.
હવે, AB = \(\sqrt{(3-6)^{2}+(4-7)^{2}}\)
= \(\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3 \sqrt{2}\)

BC =\(\sqrt{(6-9)^{2}+(7-4)^{2}}\)
= \(\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3 \sqrt{2}\)

CD = \(\sqrt{(9-6)^{2}+(4-1)^{2}}\)
= \(\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3 \sqrt{2}\)

DA = \(\sqrt{(6-3)^{2}+(1-4)^{2}}\)
= \(\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3 \sqrt{2}\)

AC = \(\sqrt{(3-9)^{2}+(4-4)^{2}}=\sqrt{36+0}\) = 6
BD = \(\sqrt{(6-6)^{2}+(7-1)^{2}}=\sqrt{0+36}\) = 6

આમ, ચતુષ્કોણ ABCDમાં, AB = BC = CD = DA અને AC = BD.
બીજા શબ્દોમાં, ચતુષ્કોણ ABCDની દરેક બાજુ સમાન છે તથા તેના વિકણ પણ સમાન છે.
આથી ABCD ચોરસ છે.
આમ, ચંપાનું વિધાન સત્ય છે એટલે કે ચંપા સાચી છે.

પ્રશ્ન 6.
નીચે દર્શાવેલાં બિંદુઓથી જો ચતુષ્કોણ રચાતો હોય, તો તેનો પ્રકાર જણાવો અને તમારા જવાબ માટે કારણ આપોઃ
(i) (- 1, – 2), (1, 0), (- 1, 2), (- 3, 0)
(ii) (- 3, 5), (3, 1), (2, 3), (- 1, – 4)
(iii) (4, 5), (7, 6), (4, 3), (1, 2)
ઉત્તરઃ
ધારો કે, A(- 1, – 2), B(1, 0), C(- 1, 2) અને D(- 3, 0) એ શક્ય હોય તો ચતુષ્કોણ ABCDનાં શિરોબિંદુઓ છે.
હવે, AB = \(\sqrt{(-1-1)^{2}+(-2-0)^{2}}\)
= \(\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2 \sqrt{2}\)

BC = \(\sqrt{(1+1)^{2}+(0-2)^{2}}\)
= \(\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2 \sqrt{2}\)

CD = \(\sqrt{(-1+3)^{2}+(2-0)^{2}}\)
= \(\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2 \sqrt{2}\)

DA = \(\sqrt{(-3+1)^{2}+(0+2)^{2}}\)
= \(\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2 \sqrt{2}\)

AC = \(\sqrt{(-1+1)^{2}+(-2-2)^{2}}=\sqrt{0+16}\) = 4
BD = \(\sqrt{(1+3)^{2}+(0-0)^{2}}=\sqrt{16+0}\) = 4
આમ, ચતુષ્કોણ ABCDમાં, AB = BC = CD = DA અને AC = BD.
આમ, આપેલ બિંદુઓ ચતુષ્કોણ રચે છે અને તે ચોરસ છે.

(ii) ધારો કે, A (- 3, 5), B (3, 1), C (0, 3) અને D (-1, -4) એ શક્ય હોય તો ચતુષ્કોણ ABCDનાં શિરોબિંદુઓ છે.
હવે, AB = \(\sqrt{(-3-3)^{2}+(5-1)^{2}}\)
= \(\sqrt{36+16}=\sqrt{52}=2 \sqrt{13}\)

BC = \(\sqrt{(3-0)^{2}+(1-3)^{2}}\)
= \(\sqrt{9+4}=\sqrt{13}\)

CD = \(\sqrt{(0+1)^{2}+(3+4)^{2}}\)
= \(\sqrt{1+49}=\sqrt{50}=5 \sqrt{2}\)

DA = \(\sqrt{(-1+3)^{2}+(-4-5)^{2}}\)
= \(\sqrt{4+81}=\sqrt{85}\)

AC = \(\sqrt{(-3-0)^{2}+(5-3)^{2}}\)
= \(\sqrt{9+4}=\sqrt{13}\)

BD =\(\sqrt{(3+1)^{2}+(1+4)^{2}}\)
= \(\sqrt{16+25}=\sqrt{41}\)

અહીં, BC + AC = \(\sqrt{13}+\sqrt{13}=2 \sqrt{13}\) = AB.
આથી A, B અને C સમરેખ બિંદુઓ છે, જેમાં બિંદુ C એ બિંદુઓ A અને Bની વચ્ચે છે. આથી બિંદુઓ A, B, C અને D દ્વારા ચતુષ્કોણ ન રચાય આમ, આપેલ બિંદુઓ ચતુષ્કોણ રચતા નથી.

(iii) ધારો કે, A (4, 5), B(7, 6), C (4, 3) અને D (1, 2) એ શક્ય હોય તો ચતુષ્કોણ ABCDનાં શિરોબિંદુઓ છે.
હવે, AB = \(\sqrt{(4-7)^{2}+(5-6)^{2}}\)
= \(\sqrt{9+1}=\sqrt{10}\)

BC = \(\sqrt{(7-4)^{2}+(6-3)^{2}}\)
= \(\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3 \sqrt{2}\)

CD = \(\sqrt{(4-1)^{2}+(3-2)^{2}}\)
= \(\sqrt{9+1}=\sqrt{10}\)

DA = \(\sqrt{(1-4)^{2}+(2-5)^{2}}\)
= \(\sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3 \sqrt{2}\)

AC = \(\sqrt{(4-4)^{2}+(5-3)^{2}}=\sqrt{4}\) = 2

BD = \(\sqrt{(7-1)^{2}+(6-2)^{2}}\)
= \(\sqrt{36+16}=\sqrt{52}=2 \sqrt{13}\)
આમ, ચતુષ્કોણ ABCDમાં, AB = CD અને BC = DA, એટલે સામસામેની બાજુઓની બંને જોડ સમાન છે, પરંતુ AC ≠ BD, એટલે કે વિકર્ણો સમાન નથી.
આમ, ABCD સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
આમ, આપેલ બિંદુઓ ચતુષ્કોણ રચે છે અને તે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.

પ્રશ્ન 7.
જે (2, 5) અને (- 2, 9) થી સમાન અંતરે હોય તેવું x-અક્ષ પરનું બિંદુ શોધો.
ઉત્તરઃ
x-અક્ષ પરનાં કોઈ પણ બિંદુના યામ (x, 0) સ્વરૂપના હોય. ધારો કે, P (x, 0) એ માગેલ બિંદુ છે જે આપેલ બિંદુઓ A (2, – 5) અને B(- 2, 9) થી સમાન અંતરે છે. આથી PA = PB.
PA² = PB²
(x – 2)² + (0 + 5)² = (x + 2)² + (0 – 9)²
x² – 4x + 4 + 25 = x² + 4x + 4 + 81
∴ – 8x = 56
∴ x = – 7
આમ, (2, – 5) અને (-2, 9) થી સમાન અંતરે આવેલ x-અક્ષ પરનું માગેલ બિંદુ (- 7, 0) છે.

પ્રશ્ન 8.
બિંદુઓ P (2, 3) અને Q(10, y) વચ્ચેનું અંતર 10 એકમ હોય તો પુની કિંમત શોધો.
ઉત્તરઃ
બિંદુઓ P (2, 3) અને Q(10, y) વચ્ચેનું અંતર 10 આપેલ છે.
PQ = 10
PQ² = 100
(2 – 10)² + (- 3 – y)² = 100
64 + 9 + 6y + y² = 100
y² + 6y – 27 = 0
(y + 9) (y – 3) = 0
∴ y + 9 = 0 અથવા y – 3 = 0
∴ y = – 9 અથવા y = 3
આમ, પુની બે શક્ય કિંમતો -9 અને ૩ છે.

પ્રશ્ન 9.
જો Q(0, 1) એ P(5, – 3) અને R (x, 6) થી સમાન અંતરે હોય, તો ની કિંમત શોધો. અંતર QR અને PR પણ શોધો.
ઉત્તરઃ
Q(0, 1) એ P (5, – 3) અને R (x, 6)થી સમાન અંતરે છે.
PQ = RQ
PQ² = RQ²
(5 – 0)² + (- 3 – 1)² = (x – o)² + (6 – 1)²
25 + 16 = x² + 25
x² = 16
∴ x = ± 4
∴ x = 4 અથવા x = – 4

હવે, QR = \(\sqrt{(0-x)^{2}+(1-6)^{2}}\)
= \(\sqrt{x^{2}+25}\)
= \(\sqrt{(\pm 4)^{2}+25}=\sqrt{16+25}\)
QR = \(\sqrt{41}\)

PR = \(\sqrt{(5-x)^{2}+(-3-6)^{2}}=\sqrt{(5-x)^{2}+81}\)
x = 4 માટે,

PR = \(\sqrt{(5-4)^{2}+81}=\sqrt{1+81}=\sqrt{82}\)
x = – 4 માટે,

PR = \(\sqrt{(5+4)^{2}+81}=\sqrt{81+81}=\sqrt{162}=9 \sqrt{2}\)
આમ, x = ± 4, QR = \(\sqrt{41}\) અને PR = \(\sqrt{82}\) અથવા 9√2 .

પ્રશ્ન 10.
બિંદુ (x, y) એ બિંદુઓ (3, 6) અને (- 3, 4)થી સમાન અંતરે હોય, તો ૪ અને ઇ વચ્ચેનો સંબંધ મેળવો.
ઉત્તરઃ
અહીં, બિંદુ P (x, y) એ બિંદુઓ A (3, 6) અને B(- 3, 4) થી સમાન અંતરે છે.
PA = PB
PA² = PB²
(x – 3)² + (y – 6)² = (x + 3)² + (y – 4)²
x² – 6x + 9 + y² – 12y + 36 = x² + 6x + 9 + y² – 8y + 16
∴ – 12x – 4y + 20 = 0
∴ 3x + y – 5 = 0 (-4 વડે ભાગતાં)
આમ, 3x + y – 5 = 0 એ x અને ઇ વચ્ચેનો માગેલ સંબંધ છે.