GSEB Solutions Class 10 Maths Chapter 7 યામ ભૂમિતિ Ex 7.4

Gujarat Board GSEB Solutions Class 10 Maths Chapter 7 યામ ભૂમિતિ Ex 7.4 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 10 Maths Chapter 7 યામ ભૂમિતિ Ex 7.4

+ આ સ્વાધ્યાય પરીક્ષા માટે ધ્યાનમાં લેવાનો નથી.

પ્રશ્ન 1.
રેખા 2x + y – 4 = 0 એ બિંદુઓ A (2, – 2) અને B (3, 7) ને જોડતા રેખાખંડનું કયા ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરશે તે નક્કી કરો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, રેખા 2x + y – 4 = 0 એ બિંદુઓ A (2, – 2) અને B (3, 7) નું બિંદુ M (a, b) પર k : 1 ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.

આથી વિભાજન સૂત્ર મુજબ બિંદુ Mના યામ \(\left(\frac{3 k+2}{k+1}, \frac{7 k-2}{k+1}\right)\) = (a, b) થાય.

આથી a = \(\frac{3 k+2}{k+1}\) અને b = \(\frac{7 k-2}{k+1}\) …………… (1)
હવે, બિંદુ M રેખા 2x + y – 4 = 0 પર પણ છે. આથી (a, b) એ સમીકરણ 2x + y – 4 = 0 નું સમાધાન કરે જ.
∴ 2a + b – 4 = 0
∴ 2(P) + (-) – 4 = 0 ((1) પરથી)
∴ 6k + 4 + 7k – 2 – 4k – 4 = 0
∴ 9k – 2 = 0
∴ k = \(\frac{2}{9}\)
આથી માગેલ ગુણોત્તર = k : 1 = \(\frac{2}{9}\) : 1 = 2 : 9.
આમ, રેખા 2x + y – 4 = 0 એ બિંદુઓ A (2, – 2) અને B (3, 7) ને જોડતા રેખાખંડનું 2 : 9 ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરશે.

પ્રશ્ન 2.
જો બિંદુઓ (x, y), (1, 2) અને (7, 0) સમરેખ હોય, તો x અને y વચ્ચેનો સંબંધ મેળવો.
ઉત્તરઃ
બિંદુઓ A (x, y), B(1, 2) અને C (7, 0) સમરેખ છે.
∆ ABC નું ક્ષેત્રફળ = 0
\(\frac{1}{2}\) [x (2 – 0) + 1 (0 – y) + 7 (y – 2)] = 0
2x – y + 7y – 14 = 0
2x + 6y – 14 = 0
x + 3y – 7 = 0
આમ, x + 3y – 7 = 0 એ x અને y વચ્ચેનો માગેલ સંબંધ છે.

પ્રશ્ન 3.
બિંદુઓ (6, – 6), (3, – 7) અને (3, 3)માંથી પસાર થતા વર્તુળનું કેન્દ્ર શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, P (x, y) એ આપેલ બિંદુઓ A (6, – 6), B (3, – 7) અને C (3, 3)માંથી પસાર થતા વર્તુળનું કેન્દ્ર છે.
આથી P એ A, B અને C ત્રણેયથી સમાન અંતરે છે.
∴ PA = PB = PC
∴ PA² = PB² = PC²
હવે, PA² = PB² પરથી,
(x – 6)² + (y + 6)² = (x – 3)² + (y + 7)²
x² – 12x + 36 + y² + 12y + 36 = x² – 6x + 9 + y² + 14y + 49
– 6x – 2y = – 14
3x + y = 7 ………… (1)
વળી, PA² = PC² પરથી,
(x – 6)² + (y + 6)² = (x – 3)² + (y – 3)²
x² – 12x + 36 + y² + 12y + 36 = x² – 6x + 9 + y² – 6y + 9
– 6x + 18y = – 54
x – 3y = 9 …………..(2)
સમીકરણ (1)ને 3 વડે ગુણતાં,
9x + 3y = 21 ………… (3)
સમીકરણ (2) અને (૩)નો સરવાળો લેતાં,
10x = 30
x = 3
3x + y = 7માં x = 3 મૂકતાં,
9 + y = 7, એટલે કે, y = – 2
Pના યામ (3, – 2) છે.
આમ, આપેલ બિંદુઓમાંથી પસાર થતા વર્તુળનું કેન્દ્ર (3, – 2) છે.

પ્રશ્ન 4.
ચોરસનાં બે સામસામેનાં શિરોબિંદુઓ (-1, 2) અને (3, 2) છે, તો બાકીનાં બે શિરોબિંદુઓના યામ શોધો.
ઉત્તરઃ

ધારો કે, ABCD આપેલ ચોરસ છે, જેનાં સામસામેનાં બે શિરોબિંદુઓ A (- 1, 2) અને C (3, 2) છે.
આપણે શિરોબિંદુઓ B અને D શોધવાના છે.
ધારો કે, Bના યામ (x, y) છે.
∆ ABCમાં, ∠B = 90° અને AB = BC.
∴ AB² = BC²
(x + 1)² + (y – 2)² = (x – 3)² + (y – 2)²
x² + 2x + 1 + y² – 4y + 4 = x² – 6x + 9 + y² – 4y + 4
8x = 8
x = 1
∆ ABCમાં, ∠B = 90°.
માટે, પાયથાગોરસ પ્રમેય અનુસાર,
AB² + BC² = AC²
(x + 1)² + (y – 2)² + (x – 3)² + (y – 2)² = (3 + 1)² + (2 – 2)²
x² + 2x + 1 + y² – 4y + 4 + x² – 6x + 9 + y² – 4y + 4 = 16
2x² – 4x + 2y² – 8y + 18 – 16 = 0
2(1)² – 4 (1) + 2y² – 8y + 2 = 0 (x = 1 મૂકતાં)
2 – 4 + 2y² – 8y + 2 = 0
2y² – 8y = 0
2y(y – 4) = 0
2y = 0 અથવા y – 4 = 0
y = 0 અથવા y = 4
અહીં, આપણને નું એક જ મૂલ્ય મળે છે, પરંતુ પુનાં બે મૂલ્યો મળે છે, જે સૂચવે છે કે B અને D ના xયામ સમાન છે પરંતુ y-યામ જુદા છે.
આમ, બાકીનાં બે શિરોબિંદુઓના ધામ (1, 0) અને (1, 4) છે.

પ્રશ્ન 5.
કૃષિનગરની માધ્યમિક શાળાના ધોરણ ના વિદ્યાર્થીઓને બાગાયત પ્રવૃત્તિ માટે એક લંબચોરસ મેદાન ફાળવવામાં આવ્યું છે. તેની ફરતી બાજુએ ગુલમહોરના રોપા એક-એક મીટરના અંતરે વાવેલા છે. આપેલ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે આ મેદાનમાં ઘાસની એક ત્રિકોણીય લોન છે. વિદ્યાર્થીઓને બાકીના ભાગ પર ફૂલોના છોડના બીજ વાવવાનાં છે.

(i) Aને ઉગમબિંદુ લઈ ત્રિકોણનાં શિરોબિંદુઓના યામ શોધો.
(ii) જો દે ઉગમબિંદુ હોય, તો ∆ PQRનાં શિરોબિંદુઓના યામ શું થાય? આ બંને કિસ્સાઓમાં ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો. તમે શું અવલોકન કર્યું?
ઉત્તરઃ
(i) A ને ઉગમબિંદુ તથા AB અને ADને અનુક્રમે પુ-અક્ષ અને x-અક્ષ લેતાં, આપણને લંબચોરસ મેદાનનાં શિરોબિંદુઓના યામ A (0, 0), B (0, 8), D (16, 0) અને C (16, 8) મળે. તે જ પ્રમાણે, યામ-સમતલ પરથી ∆ PQRનાં શિરોબિંદુઓ P (4, 8), 9 3, 2) અને R (6, 5) મળે.
∆ PQRનું ક્ષેત્રફળ
= \(\frac{1}{2}\) [4 (2 – 5) + 3(5 – 6) + 6 (6 – 2)]
= \(\frac{1}{2}\) (- 12 – 3+ 24) = \(\frac{9}{2}\) ચોરસ એકમ.

(ii) C ને ઉગમબિંદુ તથા CB અને CDને અનુક્રમે ધન x-અક્ષ અને ધન પુ-અક્ષ લેતાં, આપણને લંબચોરસ મેદાનનાં શિરોબિંદુઓના યામ C (0, 0), B(16, 0), D (0, 8) અને A(16, 8) મળે.
તે જ પ્રમાણે, યામ-સમતલ પરથી PQRનાં શિરોબિંદુઓ . P(12, 2), Q(13, 6) અને R(10, 3) મળે.
∆ PQRનું ક્ષેત્રફળ = \(\frac{1}{2}\) [12 (6 – 3) + 13(3 – 2) + 10 (2 – 6)]
= \(\frac{1}{2}\) (36 + 13 – 40)
= \(\frac{9}{2}\) ચોરસ એકમ
આપણે સ્પષ્ટ રીતે જોઈ શકીએ છીએ કે બંને કિસ્સાઓમાં ∆ PQRનું ક્ષેત્રફળ સમાન છે.
[નોંધઃ બીજા કિસ્સામાં જો આપણે CB અને CDને અનુક્રમે ઋણ x-અક્ષ અને ઋણ y-અક્ષ લઈએ, તો ∆ PQRનાં શિરોબિંદુઓનાં યામ P(- 12, – 2), Q(- 13, – 6) અને R(- 10, – 30) થાય. તેમ છતાં, ∆ PQRનું ક્ષેત્રફળ તો ન જ ફેરવાય.]

પ્રશ્ન 6.
∆ ABCનાં શિરોબિંદુઓ A (4, 6), B (1, 5) અને C (7, 2) છે. બાજુઓ AB અને AC ને અનુક્રમે એક રેખા D અને Eમાં એવી રીતે છેદે છે જેથી \(\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{AC}}=\frac{1}{4}\), તો ∆ ADEનું ક્ષેત્રફળ મેળવો અને ∆ ABCના ક્ષેત્રફળ સાથે તેની તુલના કરો. (પ્રમેય 6.2 અને પ્રમેય 6.6 યાદ કરો.)

અહીં, = \(\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AB}}=\frac{1}{4}\)

\(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AD}}=\frac{4}{1}\) \(\frac{\mathrm{AD}+\mathrm{DB}}{\mathrm{AD}}=\frac{4}{1}\)

1 + \(\frac{\mathrm{DB}}{\mathrm{AD}}\) = 4

\(\frac{\mathrm{DB}}{\mathrm{AD}}=\frac{3}{1}\) \(\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DB}}=\frac{1}{3}\)

તે જ રીતે, \(\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EC}}=\frac{1}{3}\)
હવે, D એ A (4, 6) અને B (1, 5)ને જોડતા રેખાખંડનું 1 : 3 ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
આથી વિભાજન સૂત્ર મુજબ બિંદુ થના યામ \(\left(\frac{1(1)+3(4)}{1+3}, \frac{1(5)+3(6)}{1+3}\right)\), એટલે કે \(\left(\frac{13}{4}, \frac{23}{4}\right)\) થાય.

તે જ રીતે, બિંદુ થના યામ \(\left(\frac{1(7)+3(4)}{1+3}, \frac{1(2)+3(6)}{1+3}\right)\), એટલે કે (૭ ક) થાય. (\(\frac{19}{4}\), 5)
હવે, ∆ ADEનું ક્ષેત્રફળ
= \(\frac{1}{2}\left[4\left(\frac{23}{4}-5\right)+\frac{13}{4}(5-6)+\frac{19}{4}\left(6-\frac{23}{4}\right)\right]\)

= \(\frac{1}{2}\left[3-\frac{13}{4}+\frac{19}{16}\right]\)

= \(\frac{1}{2}\left[\frac{48-52+19}{16}\right]\)

= \(\frac{1}{2}\left[\frac{15}{16}\right]\) = \(\frac{15}{32}\) ચોરસ એકમ

હવે, ∆ ABCનું ક્ષેત્રફળ
= \(\frac{1}{2}\) [4 (5 – 2) + 1(2 – 6) + 7 (6 – 5)]
= \(\frac{1}{2}\) [12 – 4 + 7] = \(\frac{15}{2}\) ચોરસ એકમ

હવે.

આથી ∆ ADEનું ક્ષેત્રફળ : ∆ ABCનું ક્ષેત્રફળ = 1 : 16
આમ, ∆ ADEનું ક્ષેત્રફળ ચોરસ એકમ છે તથા ∆ ADEના ક્ષેત્રફળ અને ∆ ABCના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર (તુલના) 1 : 16 છે.

પ્રશ્ન 7.
A (4, 2), B (6, 5) અને c (1, 4) એ ∆ ABCનાં શિરોબિંદુઓ છે.
(i) Aમાંથી દોરેલ મધ્યગા BCને Dમાં મળે છે. બિંદુ ના યામ શોધો.
(ii) AP:PD = 2 : 1 થાય એવું બિંદુ P એ AD પર છે, તો Pના યામ શોધો.
(iii) BQ : QE = 2 : 1 અને CR : RE = 2 : 1 હોય તેવાં બિંદુઓ Q અને R અનુક્રમે મધ્યગા BE અને CE પર છે, તો Q અને Rના યામ શોધો.
(iv) તમે શું અવલોકન કર્યું?
(v) જો A (x₁, y₁), B (x₂, y₂) અને C (x₃, y₃) એ ∆ ABCનાં શિરોબિંદુઓ હોય તો આપેલ ત્રિકોણના મધ્યકેન્દ્રના યામ શોધો.
(નોંધઃ ત્રણેય મધ્યગાઓના છેદબિંદુને મધ્યકેન્દ્ર કહે છે અને તે દરેક મધ્યગાનું 2 : 1 ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.]

ઉત્તરઃ
(i) AD એ મધ્યગા હોવાથી D એ BCનું મધ્યબિંદુ છે. આથી મધ્યબિંદુ સૂત્ર અનુસાર, Dના યામ
\(\left(\frac{6+1}{2}, \frac{5+4}{2}\right)=\left(\frac{7}{2}, \frac{9}{2}\right)\) થાય.

(ii) બિંદુ P એ ADનું 2 : 1 ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે. આથી વિભાજન સૂત્ર મુજબ, બિંદુ Pના યામ
\(\left(\frac{2\left(\frac{7}{2}\right)+1(4)}{2+1}, \frac{2\left(\frac{9}{2}\right)+2}{2+1}\right)=\left(\frac{11}{3}, \frac{11}{3}\right)\) થાય.

(iii) BE એ મધ્યગા હોવાથી E એ ACનું મધ્યબિંદુ છે.
આથી મધ્યબિંદુ સૂત્ર અનુસાર, 5ના યામ \(\left(\frac{4+1}{2}, \frac{2+4}{2}\right)=\left(\frac{5}{2}, 3\right)\) થાય.
હવે, બિંદુ એ BEનું 2 : 1 ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.

આથી વિભાજન સૂત્ર મુજબ, બિંદુ Q ના યામ \(\left(\frac{2\left(\frac{5}{2}\right)+1(6)}{2+1}, \frac{2(3)+1(5)}{2+1}\right)=\left(\frac{11}{3}, \frac{11}{3}\right)\) થાય.
CF એ મધ્યગા હોવાથી એ ABનું મધ્યબિંદુ છે.

આથી મધ્યબિંદુ સૂત્ર અનુસાર, ના યામ \(\left(\frac{4+6}{2}, \frac{2+5}{2}\right)=\left(5, \frac{7}{2}\right)\) થાય.
હવે, બિંદુ R એ CFનું 2 : 1 ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે. આથી વિભાજન સૂત્ર મુજબ, બિંદુ Rના યામ
\(\left(\frac{2(5)+1(1)}{2+1}, \frac{2\left(\frac{7}{2}\right)+1(4)}{2+1}\right)=\left(\frac{11}{3}, \frac{11}{3}\right)\) થાય.

(iv) અહીં, સ્પષ્ટ જણાય છે કે P (\(\frac{11}{3}\), \(\frac{11}{3}\)), Q (\(\frac{11}{3}\), \(\frac{11}{3}\)) અને R (\(\frac{11}{3}\), \(\frac{11}{3}\)) એક જ બિંદુ દર્શાવે છે, એટલે કે P = Q =R.

આ દર્શાવે છે કે ત્રણેય મધ્યગાઓ એક જ બિંદુ P (અથવા 9 અથવા R) એ સંગામી છે.

આ બિંદુને ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર કહે છે અને સામાન્યતઃ તેને સંકેત G દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર દરેક મધ્યગાનું ત્રિકોણના શિરોબિંદુ બાજુથી 2 : 1 ગુણોત્તરમાં
વિભાજન કરે છે.

(v) ∆ ABCનાં શિરોબિંદુઓ A (x₁, y₁), B (x₂, y₂) અને C (x₃, y₃) છે.
ધારો કે, AD, BE અને CP એ ∆ ABCની મધ્યગાઓ છે. આથી D, E અને F અનુક્રમે BC, AC અને ABનાં મધ્યબિંદુ છે.
તો, મધ્યબિંદુ સૂત્ર અનુસાર, D, E અને Fના યામ અનુક્રમે (\(\frac{x_{2}+x_{3}}{2}, \frac{y_{2}+y_{3}}{2}\)), (\(\frac{x_{1}+x_{3}}{2}, \frac{y_{1}+y_{3}}{2}\)) અને (\(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\)) થાય.
હવે, મધ્યકેન્દ્ર ઉ એ ADનું 2 : 1 ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
A અને Bના ધામ અનુક્રમે (x₁, y₁) છે અને \(\left(\frac{x_{2}+x_{3}}{2}, \frac{y_{2}+y_{3}}{2}\right)\) છે.

માટે, વિભાજન સૂત્ર અનુસાર, બિંદુ ઉના યામ \(\left(\frac{2\left(\frac{x_{2}+x_{3}}{2}\right)+1\left(x_{1}\right)}{2+1}, \frac{2\left(\frac{y_{2}+y_{3}}{2}\right)+1\left(y_{1}\right)}{2+1}\right)\), એટલે કે, \(\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)\) થાય.

આમ, ∆ ABCનાં શિરોબિંદુઓ A (x₁, y₁), B (x₂, y₂) અને
C (x₃, y₃) આપેલ હોય, તો તેના મધ્યકેન્દ્રના યામ \(\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)\) થાય.

નોંધઃ
હવે, આ સૂત્ર મુજબ, વિભાગ (2) અને (3)માં મેળવેલ જવાબો સહેલાઈથી ચકાસી શકાય:
\(\left(\frac{4+6+1}{3}, \frac{2+5+4}{3}\right)=\left(\frac{11}{3}, \frac{11}{3}\right)\).

પ્રશ્ન 8.
બિંદુઓ A(- 1, – 1), B (- 1, 4), C (5, 4) અને D (5, – 1)થી લંબચોરસ ABCD રચાય છે. P, Q, R અને S અનુક્રમે AB, BC, CD અને DAનાં મધ્યબિંદુઓ છે. ચતુષ્કોણ PQRS ચોરસ છે? લંબચોરસ છે? કે સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે? તમારો જવાબ ચકાસો.
ઉત્તરઃ

લંબચોરસ ABCDમાં P Q R અને S અનુક્રમે AB, BC, CD અને DAનાં મધ્યબિંદુઓ છે.
આથી મધ્યબિંદુ સૂત્ર મુજબ, P, Q, R અને Sના યામ નીચે મુજબ મળે :
P → \(\left(\frac{(-1)+(-1)}{2}, \frac{(-1)+4}{2}\right)\) → (- 1, \(\frac{3}{2}\))

Q → \(\left(\frac{(-1)+5}{2}, \frac{4+4}{2}\right)\) → (2, 4)

R → \(\left(\frac{5+5}{2}, \frac{4+(-1)}{2}\right)\) → (5, \(\frac{3}{2}\))

S → \(\left(\frac{5+(-1)}{2}, \frac{(-1)+(-1)}{2}\right)\) → (2, – 1)

હવે, PQ² = (- 1 – 2)² + (\(\frac{3}{2}\) – 4)² = 9 + \(\frac{25}{4}\) = \(\frac{61}{4}\)

QR² = (2 – 5)² + (4 – \(\frac{3}{2}\))² = 9 + \(\frac{25}{4}\) = \(\frac{61}{4}\)

RS² = (5 – 2)² + (\(\frac{3}{2}\) + 1)² = 9 + \(\frac{25}{4}\) = \(\frac{61}{4}\)

SP² = (2 + 1)² + (- 1 – \(\frac{3}{2}\))² = 9 + \(\frac{25}{4}\) = \(\frac{61}{4}\)

PR² = (- 1 – 5)² + (\(\frac{3}{2}\) – \(\frac{3}{2}\))² = 36

QS² = (2 – 2)² + (4 + 1)² = 25
આમ, ચતુષ્કોણ PQRSમાં,
PQ² = QR² = RS² = SP² પરંતુ, PR² ≠ QS² એટલે કે PQ = QR = RS = SP પરંતુ, PR ≠ QS.
આમ, ચતુષ્કોણ PQRSમાં બધી જ બાજુઓ સમાન છે, પરંતુ તેના વિકણ સમાન નથી. આથી PQRS સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે.