GSEB Solutions Class 10 Maths Chapter 11 રચના Ex 11.2

Gujarat Board GSEB Solutions Class 10 Maths Chapter 11 રચના Ex 11.2 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 10 Maths Chapter 11 રચના Ex 11.2

નીચેની પ્રત્યેક રચના કરી, તેની રચનાના મુદ્દા તથા તેની યથાર્થતા પણ આપોઃ

પ્રશ્ન 1.
6 સેમી ત્રિજ્યાવાળું વર્તુળ દોરો. તેના કેન્દ્રથી 10 સેમી દૂર આવેલા બિંદુમાંથી વર્તુળના સ્પર્શકની જોડીની રચના કરી અને તેમની લંબાઈ માપો.
ઉત્તર:
કૃત્ય:
O કેન્દ્ર અને 6 સેમી ત્રિજ્યાવાળું વર્તુળ દોરો અને તેની બહારના ભાગમાં બિંદુ P એવું લો જેથી OP = 10 સેમી થાય. ત્યારબાદ બિંદુ માંથી વર્તુળને સ્પર્શકોની જોડ રચો તથા તે સ્પર્શકોની લંબાઈ માપો.

રચનાના મુદ્દા:
(1) OP જોડો તથા તેનો લંબદ્વિભાજક દોરી તેનું મધ્યબિંદુ M મેળવો.
(2) M કેન્દ્ર અને MO ત્રિજ્યા લઈને એક વર્તુળ દોરો, જે કેન્દ્રવાળા વર્તુળને R અને 9માં છે.
(3) PQ અને PR જોડો.
PQ અને PR એ માગ્યા મુજબ બિંદુ માંથી O કેન્દ્રવાળા વર્તુળને દોરેલ બે સ્પર્શકો છે. દરેક સ્પર્શકની લંબાઈ 8 સેમી છે. એટલે કે, PQ = PR = 8 સેમી.
ઉત્તર:
યથાર્થતા:
ત્રિજ્યાઓ OQ અને OR દોરો.
∠OQP અને ∠ORP એ અર્ધવર્તુળમાંના ખૂણા છે.
∠OQP = ∠ORP = 90°
આથી OQ ⊥ PQ અને OR ⊥ PR
OQ અને OR એ O કેન્દ્રિત વર્તુળની ત્રિજ્યા હોવાથી, PQ અને PR એ O કેન્દ્રિત વર્તુળના સ્પર્શકો છે.

પ્રશ્ન 2.
4 સેમી ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળને સમકેન્દ્રી બીજા 6 સેમી ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળ પરના બિંદુમાંથી પ્રથમ વર્તુળના સ્પર્શકની રચના કરો અને તેની લંબાઈ માપો. વાસ્તવિક ગણતરીથી માપની ચકાસણી પણ કરો.
ઉત્તર:
કર્યો:
O કેન્દ્ર અને 4સેમી ત્રિજ્યા તથા 6 સેમી ત્રિજ્યાવાળા બે સમકેન્દ્રી વર્તુળો દોરો. ત્યારબાદ મોટા વર્તુળ પર આવેલ બિંદુ માંથી નાના વર્તુળને સ્પર્શકો દોરો તથા તે સ્પર્શકોની લંબાઈ માપો. વાસ્તવિક ગણતરીથી માપની ચકાસણી કરો.

રચનાના મુદ્દા:
(1) સમકેન્દ્રી વર્તુળોના કેન્દ્ર O તથા મોટા વર્તુળ પરના બિંદુ Pને જોડો.
(2) OPનો લંબદ્વિભાજક દોરીને તેનું મધ્યબિંદુ ખ મેળવો.
(3) M કેન્દ્ર તથા MO ત્રિજ્યા લઈને વર્તુળ દોરો, જે નાના વર્તુળને છે અને માં છેદે.
(4) PQ અને PR દોરો.
PQ અને PR એ મોટા વર્તુળ પરના બિંદુ Pમાંથી નાના વર્તુળના માગ્યા મુજબના સ્પર્શકો છે. દરેક સ્પર્શકની લંબાઈ 4.5 સેમી છે.
∆ PQO માં, ∠Q = 90° ,
આથી પાયથાગોરસ પ્રમેય મુજબ, OP² = OQ² + PQ²
PQ ²= OP² – OQ²
= 6² – 4²
= 36 – 16 = 20
PQ = \(\sqrt{20}\) = 4.472 સેમી

યથાર્થતા:
નાના વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ અને OR દોરો.
∠OQP તથા ∠ORP એ M કેન્દ્રવાળા વર્તુળના અર્ધવર્તુળમાં આવેલ ખૂણા છે.
∠OQP = ∠ORP = 90°
OQ ⊥ PQ તથા OR ⊥ PR
OQ અને OR એ નાના વર્તુળની ત્રિજ્યા હોવાથી PQ અને PR એ નાના વર્તુળના સ્પર્શકો છે.

પ્રશ્ન 3.
3 સેમી ત્રિજ્યાવાળું વર્તુળ દોરો. તેના કેન્દ્રથી લંબાવેલા વ્યાસ પર દરેકનું અંતર 7 સેમી થાય તે રીતે બિંદુઓ P અને લો. બિંદુઓ P અને Q માંથી વર્તુળને સ્પર્શકો દોરો.
ઉત્તર:
કૃત્:
O કેન્દ્ર અને 3 સેમી ત્રિજ્યાવાળું વર્તુળ દોરો. તેના એક વ્યાસ XY ને લંબાવી તેના પર બિંદુ P અને Q લો, જે દરેકનું કેન્દ્ર O થી અંતર 7 સેમી હોય. ત્યારબાદ P અને 9માંથી O કેન્દ્રવાળા વર્તુળને સ્પર્શકો દોરો.

રચનાના મુદ્દા:
(1) OPનો લંબદ્વિભાજક રચીને તેનું મધ્યબિંદુ ખ મેળવો.
(2) M કેન્દ્ર અને OM ત્રિજ્યા લઈને વર્તુળ દોરો, જે કેન્દ્રવાળા વર્તુળને A અને Bમાં છે.
(3) PA અને PB દોરો.
PA અને PB એ બિંદુ Pમાંથી O કેન્દ્રવાળા વર્તુળના માગ્યા મુજબના સ્પર્શકો છે.
(4) 00નો લંબદ્વિભાજક રચીને તેનું મધ્યબિંદુ N મેળવો.
(5) કેન્દ્ર અને ON ત્રિજ્યા લઈને વર્તુળ દોરો, જે 6 કેન્દ્રવાળા વર્તુળને C અને Dમાં છેદે.
(6) QC અને QD દોરો.
QC અને QD એ બિંદુ 0માંથી 9 કેન્દ્રવાળા વર્તુળના માગ્યા મુજબના સ્પર્શકો છે.

યથાર્થતાઃ
ત્રિજ્યા OA, OB, OC અને OD દોરો.
અહીં, ∠PAO અને ∠PBO એ M કેન્દ્રવાળા વર્તુળના અર્ધવર્તુળમાં આવેલ ખૂણા છે.
તે જ રીતે, ∠QCO અને ∠QDO એ N કેન્દ્રવાળા વર્તુળના અર્ધવર્તુળમાં આવેલ ખૂણા છે.
∴ PA ⊥ OA, PB ⊥ OB, QC ⊥ OC અને OD ⊥ OD.
આથી PA અને PB એ બિંદુ Pમાંથી દોરેલ સ્પર્શકો છે તથા QC અને QD એ બિંદુ Q માંથી દોરેલ સ્પર્શકો છે.

પ્રશ્ન 4.
5 સેમી ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળના જેમની વચ્ચેના ખૂણાનું માપ 60° થાય તેવા સ્પર્શકો રચો.
ઉત્તર:
કૃત્ય:
O કેન્દ્ર અને 5 સેમી ત્રિજ્યાવાળું વર્તુળ દોરો. ત્યારબાદ તે વર્તુળના એવા બે સ્પર્શકો દોરો, જેમની વચ્ચેના ખૂણાનું માપ 60° થાય.

રચનાના મુદ્દા:
(1) O કેન્દ્ર અને 5 સેમી ત્રિજ્યાવાળું એક વર્તુળ દોરો.
(2) તે વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ OA અને OB એવી દોરો જેથી ∠AOB = 120° (180° – 60°) થાય.
(3) A અને B બિંદુએ અનુક્રમે ત્રિજ્યા OA અને OB ને લંબ દોરો, જે પરસ્પર C બિંદુમાં છે.
આથી CA અને CB એ માગ્યા મુજબના સ્પર્શકો છે, જેમની વચ્ચેના ખૂણાનું માપ 60° છે.

યથાર્થતા:
રચના મુજબ, OA ત્રિજ્યા છે તથા AC ⊥ OA.
∴ CA એ વર્તુળનો સ્પર્શક છે અને ∠OAC = 90°.
રચના મુજબ, OB ત્રિજ્યા છે તથા BC ⊥ OB.
∴ CB એ વર્તુળનો સ્પર્શક છે અને ∠OBC = 90°.
યતુ૯કોણ OACBમાં,
∠AOB + ∠OAC + ∠OBC + ∠ACB = 360°
∴ 120° + 90° + 90° + ∠ACB = 360°
∴ ∠ACB = 60°
આમ, સ્પર્શકો CA અને CBની વચ્ચેના ખૂણાનું માપ 60° છે.

પ્રશ્ન 5.
8 સેમી લંબાઈનો રેખાખંડ AB દોરો. A ને કેન્દ્ર લઈ 4 સેમી ત્રિજ્યાવાળું એક વર્તુળ દોરો. ને કેન્દ્ર લઈ બીજું 3 સેમી ત્રિજ્યાવાળું વર્તુળ દોરો. પ્રત્યેક વર્તુળને બીજા વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી સ્પર્શકો દોરો.
ઉત્તર:
કૃત્ય:
8 સેમી લંબાઈનો રેખાખંડ AB દોરો. A કેન્દ્ર અને 4 સેમી ત્રિજ્યાવાળું વર્તુળ તથા B કેન્દ્ર અને 3 સેમી ત્રિજ્યાવાળું વર્તુળ દોરો. પ્રત્યેક વર્તુળને બીજા વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી સ્પર્શકો દોરો.

રચનાના મુદ્દા :
(1) 8 સેમી લંબાઈનો રેખાખંડ AB દોરો. A કેન્દ્ર અને 4 સેમી ત્રિજ્યાવાળું વર્તુળ તથા B કેન્દ્ર અને 3 સેમી ત્રિજ્યાવાળું વર્તુળ દોરો.
(2) ABનો લંબદ્વિભાજક રચીને તેનું મધ્યબિંદુ ખ મેળવો.
(3) M કેન્દ્ર અને MA (MB) ત્રિજ્યાવાળું વર્તુળ દોરો, જે B કેન્દ્રવાળા વર્તુળને R તથા Sમાં છેદે અને A કેન્દ્રવાળા વર્તુળને P તથા ઉમાં છેદે.
(4)AR તથા AS જોડો. BP અને B9 પણ જોડો.
આથી AR તથા As એ બિંદુ Aમાંથી B કેન્દ્રવાળા વર્તુળના સ્પર્શકો છે તથા BP અને B9 એ બિંદુ માંથી A કેન્દ્રવાળા વર્તુળના સ્પર્શકો છે.

યથાર્થતા:
B કેન્દ્રવાળા વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ BR અને BS દોરો.
∠ARB અને ∠ASB એ M કેન્દ્રવાળા વર્તુળના અર્ધવર્તુળમાં આવેલ ખૂણાઓ છે.
∠ARB = ∠ASB = 90°
AR ⊥ BR અને AS ⊥ BS આથી AR અને AS એ બિંદુ Aમાંથી B કેન્દ્રવાળા વર્તુળના સ્પર્શકો છે.
A કેન્દ્રવાળા વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ AP અને AQ દોરો.
∠APB અને ∠AQB એ M કેન્દ્રવાળા વર્તુળના અર્ધવર્તુળમાં આવેલ ખૂણાઓ છે.
∴ ∠APB = ∠AQB = 90°
∴ BP ⊥ AP અને BQ ⊥ AQ
આથી BP અને B9 એ બિંદુ Bમાંથી A કેન્દ્રવાળા વર્તુળના સ્પર્શકો છે.

પ્રશ્ન 6.
AB = 6 સેમી, BC = 8 સેમી અને ∠B = 90° થાય તેવો કાટકોણ ત્રિકોણ ABC લો. Bમાંથી AC પરનો લંબ BD છે. B, C, D માંથી પસાર થતું વર્તુળ દોરેલું છે. માંથી આ વર્તુળને સ્પર્શકો દોરો.
ઉત્તર:
કૃત્ય:
AB = 6 સેમી, BC = 8 સેમી અને ∠B = 90° હોય તેવો ∆ ABC દોરો. B માંથી AC પરનો વેધ BD દોરો. B, C અને D માંથી પસાર થતું વર્તુળ દોરો. ત્યારબાદ તેમાંથી આ વર્તુળને સ્પર્શકો દોરો.

રચનાના મુદ્દા:
(1) AB = 6 સેમી, BC = 8 સેમી અને AB = 90° હોય તેવો AABC દોરો. Bમાંથી AC પરનો વેધ BD દોરો.
(2) BCનો લંબદ્વિભાજક રચી તેનું મધ્યબિંદુ Q મેળવો. BC વ્યાસ હોય તેવું વર્તુળ દોરો. VBDC કાટખૂણો હોવાથી આ વર્તુળ Dમાંથી પસાર થશે જ.
(3) AO જોડો અને તેનો લંબદ્વિભાજક રચીને તેનું મધ્યબિંદુ ખ મેળવો.
(4) M કેન્દ્ર અને MA ત્રિજ્યાવાળું વર્તુળ દોરો, જે BC વ્યાસવાળા વર્તુળને B અને Eમાં છે.
(5) AE જોડો.
આથી AB અને AE એ માગ્યા મુજબ B, C અને Dમાંથી પસાર થતા વર્તુળને બિંદુ Aમાંથી દોરેલા સ્પર્શકો છે.

યથાર્થતા:
OB એ B, C અને Dમાંથી પસાર થતા વર્તુળની ત્રિજ્યા છે અને ∠ABO (એટલે કે A ABCનો ∠ABC) = 90°.
આથી AB ⊥ OB.
આમ, AB એ સ્પર્શક છે.
હવે, ∠AEO એ અર્ધવર્તુળનો અંતર્ગત ખૂણો છે.
∠AEO = 90° તથા OE એ B, C અને Dમાંથી પસાર થતા વર્તુળની ત્રિજ્યા છે.
AE ⊥ OE
આમ, AE એ સ્પર્શક છે.

વૈકલ્પિક રીતઃ

રચનાના મુદ્દા :
(1) AB = 6 સેમી, BC = 8 સેમી અને ∠B = 90° હોય તેવો ∆ ABC દોરો. Bમાંથી AC પરનો વેધ BD દોરો.
(2) BCનો લંબદ્વિભાજક રચી તેનું મધ્યબિંદુ 0 મેળવો.
BC વ્યાસ હોય તેવું વર્તુળ દોરો. ∠BDC કાટખૂણો હોવાથી આ વર્તુળ Dમાંથી પસાર થશે જ.
(3) A કેન્દ્ર અને AB ત્રિજ્યાવાળું વર્તુળ દોરો, જે BC વ્યાસવાળા વર્તુળને Eમાં છેદે.
(4) AE જોડો.
આથી AB અને AE એ માગ્યા મુજબ B, C અને Dમાંથી પસાર થતા વર્તુળને બિંદુ Aમાંથી દોરેલા સ્પર્શકો છે.

યથાર્થતા:
OB એ B, C અને Dમાંથી પસાર થતા વર્તુળની ત્રિજ્યા છે અને ∠ABO (એટલે કે ∆ ABC નો ∠ABC) = 90°.
આથી AB ⊥ OB.
આમ, AB એ સ્પર્શક છે.
હવે, AB = AE = A કેવાળા વર્તુળની ત્રિજ્યા અને બિંદુ E એ B, C અને Dમાંથી પસાર થતા વર્તુળ પરનું બિંદુ છે. આપણે જાણીએ છીએ કે વર્તુળની બહારના ભાગમાં આવેલ બિંદુમાંથી વર્તુળને દોરેલા સ્પર્શકો સમાન હોય છે. આમ, AE એ સ્પર્શક છે.

પ્રશ્ન 7.
બંગડીની મદદ લઈ એક વર્તુળ દોરો. વર્તુળની બહાર એક બિંદુ લો. આ બિંદુમાંથી વર્તુળના સ્પર્શકોની જોડ દોરો.
ઉત્તર:
કૃત્ય બંગડીની મદદ લઈ એક વર્તુળ દોરો. વર્તુળની બહાર એક બિંદુ P લો. ત્યારબાદ બિંદુ માંથી વર્તુળને સ્પર્શકોની જોડ દોરો.

રચનાના મુદ્દા:
(1) બંગડીની મદદથી એક વર્તુળ દોરો અને તેની બહાર એક બિંદુ P લો. વર્તુળમાં સમાંતર ન હોય તેવી બે જીવાઓ AB અને CD દોરો.
(2) AB અને CDના લંબદ્વિભાજકો દોરો, જે પરસ્પર 2 બિંદુમાં છેદે. આ બિંદુ છે એ વર્તુળનું કેન્દ્ર છે.
(3) OP જોડો અને તેનો લંબદ્વિભાજક રચી તેનું મધ્યબિંદુ ખ મેળવો.
(4) M કેન્દ્ર અને MP ત્રિજ્યાવાળું વર્તુળ દોરો, જે આગળ દોરેલ વર્તુળને R અને Qમાં છે.
(5) PR અને PQ દોરો.
આમ, PR અને PG એ બંગડીની મદદથી દોરેલ વર્તુળને બિંદુ માંથી દોરેલા સ્પર્શકો છે.

યથાર્થતા:
બિંદુ O એ જીવા AB તેમજ જીવા CDના લંબદ્વિભાજક પરનું બિંદુ હોવાથી O એ A, B, C અને Dમાંથી પસાર થતા વર્તુળનું કેન્દ્ર છે.
OR અને 09 દોરો.
∠PRO એ અર્ધવર્તુળમાં અંતર્ગત ખૂણો છે.
∴ ∠PRO = 90°
∴ PR ⊥ OR
આમ, PR એ સ્પર્શક છે.
∠PQO એ અર્ધવર્તુળમાં અંતર્ગત ખૂણો છે.
∴ ∠PQO = 90°
∴ PQ ⊥ OQ
આમ, PO એ સ્પર્શક છે.