GSEB Solutions Class 10 Maths Chapter 13 પૃષ્ઠફળ અને ઘનફળ Ex 13.3

Gujarat Board GSEB Solutions Class 10 Maths Chapter 13 પૃષ્ઠફળ અને ઘનફળ Ex 13.3 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 10 Maths Chapter 13 પૃષ્ઠફળ અને ઘનફળ Ex 13.3

(જો નું મૂલ્ય આપેલ ન હોય, તો π = \(\frac{22}{7}\) લો.)

પ્રશ્ન 1.
42 સેમી ત્રિજ્યાવાળા ધાતુના ગોલકને ઓગાળીને 6 સેમી ત્રિજ્યાવાળા નળાકાર સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત કરવામાં આવે છે. નળાકારની ઊંચાઈ શોધો.
ઉત્તર:
ધાતુના ગોલક માટે, ત્રિજ્યા r₁ = 4.2 સેમી
બનાવવામાં આવેલ નળાકાર માટે, ત્રિજ્યા R = 6 સેમી અને 3 ઊંચાઈ = H સેમી
નળાકારનું ઘનફળ = ગોલકનું ઘનફળ
∴ πR² H = \(\frac{4}{3}\) πr³
∴ 6 × 6 × H = \(\frac{4}{3} \times \frac{42}{10} \times \frac{42}{10} \times \frac{42}{10}\)
∴ H = \(\frac{4 \times 42 \times 42 \times 42}{3 \times 10 \times 10 \times 10 \times 6 \times 6}\)
∴ H = \(\frac{8232}{3000}\)
∴ H = 2.744 સેમી
∴ H = 2.74 સેમી
આમ, નળાકારની ઊંચાઈ 2.74 સેમી થાય. ત,

પ્રશ્ન 2.
6 સેમી, 8 સેમી અને 10 સેમી ત્રિજ્યાવાળા ધાતુના ગોળાઓને ઓગાળીને એક મોટો નક્કર ગોળો બનાવવામાં આવે છે, તો આ રીતે બનતા ગોળાની ત્રિજ્યા શોધો.
ઉત્તર:
ધારો કે, ઓગાળવામાં આવેલ ત્રણ ગોળાઓની ત્રિજ્યાઓ r₁, r₂ અને r₃; છે તથા પરિણામી ગોળાની ત્રિજ્યા R છે, તો r₁ = 6 સેમી; r₂ = 8 સેમી અને r₃  = 10 સેમી
પરિણામી ગોળાનું ઘનફળ = ઓગાળવામાં આવેલ ત્રણ ગોળાઓનું કુલ ઘનફળ
\(\frac{4}{3}\) πR³ = \(\frac{4}{3}\) π r₁³ + \(\frac{4}{3}\) π r₂³ + \(\frac{4}{3}\) π r₃³
R³ = r₁³ + r₂³ + r₃³ (\(\frac{4}{3}\) π વડે ભાગતાં)
R³ = 6³ + 8³ + 10³
R³ = 216 + 512 + 1000
R³ = 1728
R³ = 12³
R = 12 સેમી
આમ, પરિણામી ગોળાની ત્રિજ્યા 12 સેમી છે.

પ્રશ્ન 3.
એક કૂવો 7 મીટર વ્યાસવાળા વર્તુળ પર 20 મીટર સુધી ખોદવામાં આવે છે અને તે ખોદવાથી નીકળેલી માટીને એકસરખી રીતે પાથરી 22 મીટર × 14 મીટરની એક વ્યાસપીઠ બનાવવામાં આવે છે, તો વ્યાસપીઠની ઊંચાઈ શોધો.
ઉત્તર:
નળાકાર કૂવા માટે ત્રિજ્યા r = \(\frac{7}{2}\) મી અને ઊંચાઈ (ઊંડાઈ) h = 20 મી.
લંબઘનાકાર વ્યાસપીઠ માટે,
લંબાઈ l = 22 મી, પહોળાઈ b = 14 મી અને ઊંચાઈ = H મી.
કૂવો ખોદીને કાઢેલ માટીનું ઘનફળ = વ્યાસપીઠ બનાવવામાં વપરાયેલ માટીનું ઘનફળ
πr²h = l × b × H
\(\frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2}\) × 20 = 22 × 14 × H
H = \(\frac{22 \times 7 \times 7 \times 20}{7 \times 2 \times 2 \times 22 \times 14}\)
H = \(\frac{5}{2}\) મી
H = 2.5 મી
આમ, વ્યાસપીઠની ઊંચાઈ 2.5 મી થાય.

પ્રશ્ન 4.
3 મીટર વ્યાસવાળા એક વર્તુળ પર એક કૂવો 14 મીટર સુધી ખોદવામાં આવે છે. તેમાંથી નીકળેલી માટીને કૂવાની આસપાસ 4 મીટર પહોળા વર્તુળાકાર વલયમાં સમાન રીતે પાથરીને ઓટલો બનાવ્યો છે, તો ઓટલાની ઊંચાઈ શોધો.
ઉત્તર:
નળાકાર કૂવા માટે, ત્રિજ્યા r = 3 મી અને ઊંચાઈ (ઊંડાઈ) h = 14 મી.
કૂવામાંથી નીકળેલ માટીનું ઘનફળ = πr²h
= π × \(\frac{3}{2}\) × \(\frac{3}{2}\) × 14 મી³.
= \(\frac{63}{2}\) π મી³.
વલયાકાર (કંકણાકાર) ઓટલા માટે, અંદરની ત્રિજ્યા r₁ = \(\frac{3}{2}\) મી (કૂવાની ત્રિજ્યા), બહારની ત્રિજ્યા r₂ = r₁ + ઓટલાની પહોળાઈ = (\(\frac{3}{2}\) + 4) મી = \(\frac{11}{2}\) મી અને ઓટલાની ઊંચાઈ = h મી.

ઓટલો બનાવવા માટે વપરાતી માટીનું ઘનફળ = π (r₂² – r₁²) h
= π ((\(\frac{11}{2}\))² – (\(\frac{3}{2}\))²) મી³
= π (\(\frac{121}{4}-\frac{9}{4}\)) h મી³
= 28 πh મી³
ઓટલો બનાવવા માટે વપરાતી માટીનું ઘનફળ = કૂવામાંથી નીકળેલ માટીનું ઘનફળ
28πh = \(\frac{63}{2}\) π
h = \(\frac{63}{2 \times 28}\) મી
h = \(\frac{9}{8}\) મી
h = 1.125 મી
આમ, ઓટલાની ઊંચાઈ 1.125 મી થાય.

પ્રશ્ન 5.
12 સેમી વ્યાસ અને 15 સેમી ઊંચાઈવાળા એક પાત્રનો આકાર લંબવૃત્તીય નળાકાર છે. તે આઇસક્રીમથી સંપૂર્ણ ભરેલો છે. તેમાંથી 12 સેમી ઊંચાઈ અને 6 સેમી વ્યાસવાળા શંકુ આકારના કોન પર અર્ધગોળાકાર સ્વરૂપમાં આઇસક્રીમ ભરવામાં આવે છે, તો આ આઇસક્રીમ દ્વારા કેટલા કોન ભરી શકાય તે શોધો.
ઉત્તર:
નળાકાર પાત્ર માટે, ત્રિજ્યા r = = 3 સેમી = 6 સેમી
અને ઊંચાઈ h = 15 સેમી
નળાકાર પાત્રમાં રહેલ આઇસક્રીમનું ઘનફળ = πr² h
= π × 6 × 6 × 15 સેમી³
= 540π સેમી³
કોનમાં ભરેલ આઇસક્રીમ માટે, શંકુ તેમજ અર્ધગોલકની ત્રિજ્યા r = \(\frac{6}{2}\) સેમી = 3 સેમી અને શંકુની ઊંચાઈ h = 12 સેમી
એક કોનમાં ભરાતા આઇસક્રીમનું ઘનફળ = શંકુનું ઘનફળ + અર્ધગોલકનું ઘનફળ
= \(\frac{1}{3}\) πr² h + \(\frac{2}{3}\) πr³
= \(\frac{1}{3}\) πr² (h + 2r)
= \(\frac{1}{3}\) × π × 3 × 3 (12 + 2 × 3) સેમી³
= 54π સેમી³
હવે, નળાકાર પાત્રમાંના આઇસક્રીમ દ્વારા ભરાતા કોનની સંખ્યા =
= \(\frac{540 \pi}{54 \pi}\)
એક કોનમાં ભરાતા આઈસક્રીમનું ઘનફળ = 10
આમ, નળાકાર પાત્રમાં રહેલ આઇસક્રીમ દ્વારા 10 કોન ભરી શકાય.

પ્રશ્ન 6.
5.5 સેમી × 10 સેમી × 3.5 સેમીના માપનો લંબઘન બનાવવા 1.75 સેમી વ્યાસ અને 2 મિમી જાડાઈવાળા ચાંદીના કેટલા સિક્કા ઓગાળવા પડે?
ઉત્તર:
ચાંદીના દરેક સિક્કા માટે, ત્રિજ્યા n = = \(\frac{1.75}{2}\) સેમી = \(\frac{7}{8}\) સેમી અને
ઊંચાઈ (જાડાઈ) h = 2 મિમી = \(\frac{1}{5}\) સેમી
દરેક સિક્કાનું ઘનફળ = πr² h
= \(\frac{22}{7} \times \frac{7}{8} \times \frac{7}{8} \times \frac{1}{5}\) સેમી³
= \(\frac{77}{160}\) સેમી³
બનાવવાનો છે તે લંબઘન માટે, લંબાઈ l = 5.5 સેમી, પહોળાઈ b = 10 સેમી અને ઊંચાઈ h = 3.5 સેમી

લંબઘનનું ઘનફળ = lbh
= 5.5 × 10 × 3.5 સેમી³ = 192.5 સેમી³
લંબઘનનું ઘનફળ ઓગાળવા પડે તેટલા સિક્કાની સંખ્યા=
= 400
આમ, જરૂરી માપનો લંબઘન બનાવવા માટે 400 સિક્કા ઓગાળવા પડે.

પ્રશ્ન 7.
32 સેમી ઊંચાઈ અને પાયાની ત્રિજ્યા 18 સેમી હોય તેવી એક નળાકાર ડોલ રેતીથી ભરેલી છે. આ ડોલને જમીન પર ખાલી કરી શંકુ આકારનો ઢગલો બનાવ્યો છે. જો શંકુ આકારના ઢગલાની ઊંચાઈ 24 સેમી હોય, તો ઢગલાની ત્રિજ્યા અને તિર્યક ઊંચાઈ શોધો.
ઉત્તર:
નળાકાર ડોલ માટે, ત્રિજ્યા r₁ = 18 સેમી અને ઊંચાઈ h₁ = 32 સેમી
શંકુ આકારના ઢગલા માટે,
ત્રિજ્યા = r₂ સેમી અને ઊંચાઈ h₂ = 24 સેમી
નળાકાર ડોલમાં ભરેલ માટીનું ઘનફળ = શંકુ આકારના ઢગલામાંની માટીનું ઘનફળ
πr₁² h₁ = πr₂² h₂
18 × 18 × 32 = \(\frac{1}{3}\) × r₂² × 24
r₂² = \(\frac{18 \times 18 \times 32 \times 3}{24}\)
r₂² = 18 × 18 × 4
r₂² = 18 × 2
r₂ = 18 × 2 સેમી
r₂ = 36 સેમી
શંકુ આકારના ઢગલાની તિર્ધક ઊંચાઈ = \(\sqrt{r_{2}^{2}+h_{2}^{2}}\)
= \(\sqrt{36^{2}+24^{2}}\)સેમી
= \(\sqrt{1296+576}\) સેમી
= \(\sqrt{1872}\) સેમી
= \(\sqrt{12 \times 12 \times 13}\) સેમી
= 12√13 સેમી
આમ, શંકુ આકારના ઢગલાની ત્રિજ્યા 36 સેમી અને તિર્યક ઊંચાઈ 12√13 સેમી છે.

પ્રશ્ન 8.
6 મીટર પહોળી અને 1.5 મીટર ઊંડી એક પાણીની નહેરમાં પાણી 10 કિમી / કલાકની ઝડપે વહે છે. 30 મિનિટમાં આ નહેરમાંથી કેટલા ક્ષેત્રફળની સિંચાઈ કરી શકાશે? સિંચાઈ માટે 8 સેમી પાણીની ઊંચાઈ આવશ્યક છે.
ઉત્તર:
નહેરમાં વહેતા પાણી માટે, તેમાંથી 30 મિનિટ દરમિયાન વહેતા પાણીનું ઘનફળ લંબઘનના ઘનફળ દ્વારા મળે, જે લંબઘન માટે પહોળાઈ b = 6 મી (નહેરની પહોળાઈ), ઊંચાઈ h = 1.5 મી (નહેરની ઊંડાઈ) અને લંબાઈ l = 30 મિનિટના
સમયગાળામાં પાણીના પ્રવાહે કાપેલ અંતર = ઝડપ × સમય
= 10 કિમી / કલાક × \(\frac{30}{60}\) કલાક
= 5 કિમી
= 5000 મી
આથી 30 મિનિટમાં સિંચાઈ માટે મળતા પાણીનું ઘનફળ = lbh
= 5000 × 6 × 1.5 મી³
= 45000 મી³
સિંચાઈ માટે પાણીની આવશ્યક ઊંચાઈ h = 8 સેમી = 0.08 મી જેટલા વિસ્તારમાં સિંચાઈ કરી શકાય તે વિસ્તારનું ક્ષેત્રફળ =
= \(\frac{45000}{0.08}\) મી² = 562500 મી²
= 562500 હેક્ટર (1 હેક્ટર = 10000 મીટ) = 56.25 હેક્ટર
આમ, 30 મિનિટમાં નહેરમાંથી 562500 મી² એટલે કે, 56.25 હેક્ટર ક્ષેત્રફળવાળા વિસ્તારમાં સિંચાઈ કરી શકાશે.

પ્રશ્ન 9.
એક ખેડૂત પોતાના ખેતરમાં 10 મીટર વ્યાસવાળી અને 2 મીટર ઊંડી એક નળાકાર ટાંકીને અંદરથી 20 સેમી વ્યાસવાળી એક પાઈપ દ્વારા એક નહેર સાથે જોડે છે. જો પાઇપમાં પાણીનો પ્રવાહ 3કિમી / કલાકની ઝડપે વહેતો હોય, તો કેટલા સમયમાં ટાંકી પાણીથી પૂર્ણ રીતે ભરાઈ જશે?
ઉત્તર:
નળાકાર ટાંકી માટે, ત્રિજ્યા r = = \(\frac{10}{2}\) મી = 5 મી અને ઊંચાઈ (ઊંડાઈ) h = 2 મી
ટાંકી ભરવા માટે જરૂરી પાણીનું ઘનફળ = નળાકારનું ઘનફળ
= πrh
= π × 5 × 5 × 2 મી³ = 50 π મી³
પાઇપમાંથી એક કલાકમાં વહેતા પાણી માટે, ત્રિજ્યા r = = \(\frac{20}{2}\) સેમી = 10 સેમી = 0.1 મી અને
ઊંચાઈ h = પ્રતિ કલાક ઝડપ = 3 કિમી = 3000 મી
પાઇપ દ્વારા એક કલાકમાં ટાંકીમાં પડતા પાણીનું ઘનફળ = નળાકારનું ઘનફળ = πr² h
= π × 0.1 × 0.1 × 3000 મી³ = 30 π મી³
30 π મી³ પાણી ભરાતા લાગતો સમય = 1 કલાક
50 π મી³ પાણી ભરાતા લાગતો સમય = \(\frac{50 \pi}{30 \pi}\) કલાક
= \(\frac{5}{3}\) કલાક
= \(\frac{5}{3}\) × 60 મિનિટ
= 100 મિનિટ
આમ, ટાંકી 100 મિનિટમાં પૂર્ણ રીતે ભરાઈ જશે.