GSEB Solutions Class 12 Statistics Part 2 Chapter 1 संभावना Ex 1.3

Gujarat Board Statistics Class 12 GSEB Solutions Part 2 Chapter 1 संभावना Ex 1.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Statistics Part 2 Chapter 1 संभावना Ex 1.3

प्रश्न 1.
52 पत्तों के ढेर में से यादृच्छिक रीति से 2 पत्ते खींचा जाता है। खींचे गए दोनों पत्तों में
(1) एक ही प्रकार के हो
(2) एक ही रंग के हो उस की संभावना ज्ञात कीजिए।
उत्तर :
तास के 52 पत्तों में से 2 पत्ते याद्दच्छिक रूप से लिए जाने के प्रयोग के कुल परिणाम n = ₅₂C₂ = \(\frac{52 \times 51}{2 \times 1}\) ∴ n=1326

(1) दोनों पत्ते एक ही प्रकार के हो उसे घटना A कहे तो अर्थात् दोनों पत्ते हुकम या चिड़ी या लालपान या ईंट के हो और प्रत्येक प्रकार के पत्ते
होते है।
∴ घटना A के सानुकूल परिणाम m = ₁₃C₂ + ₁₃C₂ + ₁₃C₂ + ₁₃C₂ = 78 + 78 + 78 + 78 ∴ m = 312
∴ P(A) = \(\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{n}}=\frac{312}{1326}=\frac{4}{17}\)
मांगी गई संभावना = \(\frac{4}{17}\)

(2) दोनों पत्ते एक ही रंग के हो अर्थात् दोनों लाल रंग अथवा दोनों काला रंग के हो उसे घटना B कहे तो काला रंग के 26 पत्ते (हुकम के 13+चिड़ी के 13) और 26 पत्ते लाल रंग के (13 लाल पान + 13 ईंट के) होते है। इसलिए घटना B के निदर्श अवकाश
m = ₂₆C₂ + ₂₆C₂ = \(\frac{26 \times 25}{2 \times 1}+\frac{26 \times 25}{2 \times 1}\) = 325 + 325
m = 650
∴ P(B) = \(\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{n}}=\frac{650}{1326}=\frac{25}{51}\)
मांगी गई संभावना = \(\frac{25}{51}\)

प्रश्न 2.
एक आलमारी में भिन्न-भिन्न 3 पुस्तकें सांख्यिकी और भिन्न-भिन्न चार पुस्तकें गणित की क्रमिक रूप से है। इन पुस्तकों में से दो पुस्तकें यादृच्छिक रूप से चुनी जाती है। चुनी गई पुस्तकों में दोनों पुस्तकें एक ही विषय की हो उसकी संभावना ज्ञात कीजिए।
उत्तर :
आलमारी में कुल 3 + 4 = 7 पुस्तकें हैं । उसमें से दो पुस्तकों को कुल ₇C₂ = \(\frac{7 \times 6}{2 \times 1}\) = 21 प्रकार से चुन सकते है। इसलिए निदर्श अवकाश के कुल परिणाम n = 21 होगी। सांख्यिकी दोनों पुस्तकें हो उसे घटना A कहे तो A के लिए सानुकूल परिणाम

₃C₂ × ₄C₀ = 3 × 1 = 3 ∴ m = 3
∴ P(A) = \(\frac{m}{n}=\frac{3}{21}=\frac{1}{7}\)
उसी प्रकार गणित की दोनों पुस्तकें हो उसे घटना B कहे तो B के लिए सानुकूल परिणाम ₄C₂ × ₃C₀ = \(\frac{7 \times 3}{2 \times 1}\) = 1 = 6 ∴ m= 6
∴ P(B) = \(\frac{m}{n}=\frac{6}{21}=\frac{2}{7}\)
A और B दोनों घटनाएँ एकसाथ नहि घट सकती इसलिए A∩B = Φ (दोनों घटनाएँ परस्पर निवारक है)
∴ P(A∪D) = P(A) + P(B) = \(\frac{1}{7}+\frac{2}{7}=\frac{3}{7}\)
मांगी गई संभावना = \(\frac{3}{7}\)

प्रश्न 3.
52 पत्तों के ढेर में से एक पत्ता यादृच्छिक रूप से खींचा जाता है, तो वह पत्ता
(1) हुकम अथवा इक्का होने की
(2) हुकम का न हो और इक्का भी न हो उसकी संभावना ज्ञात कीजिए।
उत्तर :
52 पत्तों में से एक पत्ता चयन करने का निदर्श अवकाश n = ₅₂C₁ = 52 ∴ n = 52

(1) पत्ता हुकम का अथवा इक्का का हो, हुकम का हो उसे घटना A कहे तो हुकम के 13 पत्ते होते है। उसके सानुकूल परिणाम
m = ₁₃C₁ = 13 ∴ m = 13
∴ P(A) = \(\frac{m}{n}=\frac{13}{52}\)
पत्ता इक्का का हो उसे घटना B कहे तो इक्के 4 होते है इसलिए घटना B के सानुकूल परिणाम m = ₄C₁ ∴ m = 4
∴ P(B) = \(\frac{m}{n}=\frac{4}{13}\)
पत्ता हुकम का और हुकम का इक्का हो उसे A∩B कहे तो A∩B के लिए सानुकूल परिणाम m = ₁C₁ = 1 ∴ m = 1
∴ P(A∩B) = \(\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{n}}=\frac{1}{52}\)
पत्ता हुकम का अथवा इक्का हो उसे घटना A∪B कहेंगे । अब संभावना के योग के नियम अनुसार
∴ P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B} = \(\frac{13}{52}+\frac{4}{52}-\frac{1}{52}\) = \(\frac{13+4-1}{52}=\frac{16}{52}=\frac{4}{13}\)
मांगी गई संभावना = \(\frac{4}{13}\)

(2) चुना गया पत्ता हुकम का न हो उसे A’ कहेंगे। चुना गया पत्ता इक्का न हो उसे B’ कहेंगे । इसलिए पत्ता हुकम का न हो और ईक्का का भी न हो उस घटना A’∩B’ अत: A’∩B’ की संभावना
∴ P(A’∩B’) = P(A∪B) = 1 – P ( A∪B) = 1 – \(\frac{4}{13}=\frac{13-4}{13}=\frac{9}{13}\)
मांगी गई संभावना = \(\frac{9}{13}\)

प्रश्न 4.
1 से 100 तक की प्राकृतिक संख्याओं में से एक संख्या चयन किया जाय तो चयन की गई संख्या 3 अथवा 5 की गुणक हो उस घटना की संभावना ज्ञात कीजिए।
उत्तर :
1 से 100 तक की संख्याओं में से एक संख्या याद्दच्छिक रूप से पसंद करने के प्रयोग के कुल प्राथमिक परिणाम
n = ₁₀₀C₁ = 100 ∴ n = 100
A = पसंद की गई संख्या 3 की गुणक हो उसके सानुकूल परिणाम m = {3, 6…..99} m = \(\frac{99}{3}\) = 33
∴ P(A) = \(\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{n}}=\frac{33}{100}\)
B = पसंद की गई संख्या 5 की गुणक हो वह घटना B के सानुकूल परिणाम B = {5, 10…..100} m = \(\frac{100}{5}\) = 20 ∴ m = 20 .
∴ P(B) = \(\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{n}}=\frac{20}{100}\)

पसंद की गई संख्या 3 और 5 दोनों की गुणक हो अर्थात् 3 × 5 = 15 की गुणक हो उसे A∩B कहे तो A∩B के सानुकूल परिणाम
A∩B = {15, 30, 45, 60, 75, 90} m = 6
∴ P(A∩B) = \(\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{n}}=\frac{6}{100}\)
3 अथवा 5 की गुणक हो अर्थात् A∪B
∴ अब योग के नियम के अनुसार P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
\(\frac{33}{100}+\frac{20}{100}-\frac{6}{100}\) = \(\) अथवा 0.47
मांगी गई संभावना \(\frac{33+20-6}{100}=\frac{47}{100}\) अथवा 0.47

प्रश्न 5.
दो समतुलित पासा एकसाथ उछाला जाय तो दोनों पासा पर मिलते अंकों का योग 2 अथवा 3 का गुणक हो उसकी संभावना ज्ञात कीजिए।
उत्तर :
दो संतुलित पासों को एकसाथ उछालने से निदर्श अवकाश की कुल निःशेष, परस्पर निवारक व समसंभावी प्राथमिक परिणामों की संख्या 36 होगी।

U = {(i, j), i, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6} इस प्रकार लिखा जा सकता है। इसलिए U के घटकों की कुल संख्या n = 36
दोनों पासों के अंकों का योग 2 अथवा 3 का गुणक हो वह घटना = A∪B
संभावना के योग का नियम अनुसार A∪B की संभावना प्राप्त करने के लिए सर्वप्रथम P(A), P(B) और P(A∩B) प्राप्त करेंगे ।
A = 2 का गुणक हो वह घटना इसलिए घटना A के सानुकूल परिणाम A = {(1, 1), (1, 3), (1, 5), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 1), (3, 3), (3, 5), (4, 2), (4, 4), (4, 6), (5, 1), (5, 3), (5, 5), (6, 2), (6, 4), (6, 6)} m = 18
∴ P(A) = \(\frac{m}{n}=\frac{18}{36}=\frac{1}{2}\)
B = 3 का गुणक हो वह घटना इसलिए घटना B के सानुकूल परिणाम
B = {(1, 2), (1, 5), (2, 1), (2, 4), (3, 3), (3, 6), (4, 2), (4, 5), (5, 1), (5, 4), (6, 3), (6, 6)} m = 12
∴ P(B) = \(\frac{m}{n}=\frac{12}{36}=\frac{1}{3}\)
A∩B = पसंद हुआ अंक 2 और 3 का गुणक हो अर्थात् 2 × 3 = 6 का गुणक हो उसके मानुकूल परिणाम
A∩B = {(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1), (6, 6)} m = 6
घटना A∩B की संभावना P(A∩B) = \(\frac{m}{n}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}\)
अब संभावना के योग का नियम के अनुसार P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
= \(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{6}\) = \(\frac{3+2-1}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\)
मांगी गई संभावना = \(\frac{2}{3}\)

प्रश्न 6.
किसी त्योहार के दिनों में सब्जी मंडी के आलू के मूल्य में वृद्धि हो उसकी संभावना 0.8 है। प्याज के मूल्य में वृद्धि हो उसकी संभावना 0.7 है। आलू और प्याज दोनों के मूल्य में वृद्धि हो उसकी संभावना 0.6 है, तो आलू और प्याज दोनों में से कम से कम एक के मूल्य में वृद्धि होने की संभावना ज्ञात कीजिए।
उत्तर :
A = आलू के मूल्य में वृद्धि हो वह घटना
∴ P(A) = 0.8
B = प्याज के मूल्य में वृद्धि हो वह घटना
∴ P(B) = 0.7
A∩B = आलू और प्याज दोनों के मूल्य में वृद्धि हो वह घटना
∴ P(A∩B) = 0.6
A∪B = आलू और प्याज दोनों में से कम से कम एक के मूल्य में वृद्धि हो वह घटना अब योग के नियम अनुसार
P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = 0.8 + 0.7 – 0.6
∴ P(A∪B) = 0.9
मांगी गई संभावना = 0.9

प्रश्न 7.
एक पुल को ध्वंस करने हेतु दो बम हवाई जहाज से फेंके जाते है। प्रथम हवाई जहाज में से फेंका गया बम सही निशाना ले, उसकी संभावना 0.9 है और द्वितीय बम हवाई जहाज में से फेंका जाय और बम पुल का सही निशान ले, उसकी संभावना 0.7 है। हवाई जहाज से फेंके गये दोनों बम पुल का सही निशाना ले उसकी संभावना 0.63 है। यदि एक भी बम पुल पर गिरे, तो पुल का विनाश होता है। इससे पुल ध्वंस हो जाय, उसकी संभावना ज्ञात कीजिए।
उत्तर :
A = प्रथम हवाई जहाज में से फेंका गया बम सही निशाना ले ऐसी घटना
∴ P(A) = 0.9
B = द्वितीय हवाई जहाज में से फेंका गया बम सही निशाना ले ऐसी घटना
∴ P(B) = 0.7
A∩B = हवाई जहाज में से फेंके गये दोनों बम पुल का सही निशाना ले ऐसी घटना
∴ P(A∩B) = 0.63
यदि एक भी बम पुल पर गिरे तो पुल का विनाश होता है अर्थात् एक या दोनों बम पुल पर गिरे तो उसका विनाश हो सकता है।
A∪B = पुल का विनाश हो वह घटना
∴ P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = 0.9 + 0.7 – 0.63 = 0.97
मांगी गई संभावना == 0.97

प्रश्न 8.
एक रेस्टोरन्ट में डिनर के लिए आया युवक पीजा का ऑर्डर करे उसकी संभावना 0.63 है। कोल्ड्रिक्स ऑर्डर करे उसकी संभावना 0.54 है। युवक पीजा और कोल्ड्रिक्स में से कम से कम एक ऑर्डर करे उसकी संभावना 0.88 हो, तो किसी दिन डिनर पर आया युवक पीजा और कोल्ड्रिक्स में से सिर्फ एक वस्तु का ऑर्डर करे उसकी संभावना ज्ञात कीजिए।
उत्तर :
A = रेस्टोरन्ट में डिनर के लिए आया युवक पीजा का ऑर्डर करे वह घटना
∴ P(A) = 0.63
B = रेस्टोरन्ट में डिनर के लिए आया युवक कोल्ड्रिक्स का ऑर्डर करे वह घटना
∴ P(B) = 0.54
A∪B = युवक पीजा और कोल्ड्रिक्स में से कम से कम एक ऑर्डर करे वह घटना
∴ P(A∪B) = 0.88
A∩B = युवक पीजा और कोल्ड्रिक्स दोनों का ऑर्डर करे वह घटना
अब योग के नियम अनुसार
∴ P(A∪B) = P(A) + P(B)- P(A∩B)
0.88 = 0.63 + 0.54 – P(A∩B)
∴ P(A∩B) = 0.63 + 0.54 – 0.88 = 0.29
रेस्टोरन्ट में आया युवक पीजा और कोल्ड्रिक्स में से सिर्फ एक वस्तु का ऑर्डर करे अर्थात् A घटे परंतु B ना घटे (A – B) अथवा घटना B घटे परंतु A ना घटे (B – A)
P(A – B) = P(A) – P(A∩B) = 0.63 – 0.29 = 0.34
P(B – A) = P(B) – P(A∩B) = 0.54 – 0.29 = 0.25
A और B में से सिर्फ एक ही घटना घटे = P(A – B) + P(B – A) = 0.34 + 0.25 = 0.59
मांगी गई संभावना = 0.59

प्रश्न 9.
यदि A और B निदर्श अवकाश U की निःशेष और परस्पर निवारक घटनाएँ हो और P(A) = 2P(B) हो, तो P(A) ज्ञात कीजिए।
उत्तर :
A और B निदर्श अवकाश U की निःशेष और परस्पर निवारक घटनाएँ है।
∴ P(A∪B) = P(A) + P(B) = 1
अब P(A) का मान रखने पर P(A) = 2P(B)
P(A∪B) = 2P(B) + P(B) = 1
= 3P(B) = 1
∴ P(B) = \(\frac {1}{3}\)
= P(A) = 2P(B) में P(B) = \(\frac {1}{3}\) रखने पर
P(A) = 2 × \(\frac {1}{3}\)
P(A) = \(\frac {2}{3}\)
मांगी गई संभावना = \(\frac {2}{3}\)

प्रश्न 10.
निदर्श अवकाश की तीन घटनाएं A, B और C परस्पर निवारक और निःशेष घटनाएं है। यदि 4P(A)= 5P(B) = 3P(C) हो, तो P(A∪C) और P(B∪C) ज्ञात कीजिए।
उत्तर :
4P(A) = 5P(B) = 3P(C) = x लेने पर
4P(A) = x ∴ P(A) = \(\frac{x}{4}\),
5P(B) = x ∴ P(B) = \(\frac{x}{5}\),
3P(C) = x ∴ P(C) = \(\frac{x}{3}\),
अब A, B और C परस्पर निवारक और निःशेष घटनाएँ है इसलिए
P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) = 1

प्रश्न 11.
निदर्श अवकाश की तीन घटनाएँ A, B और C के लिए निम्न सूचना पर से P(A∪B∪C) ज्ञात कीजिए।
P(A) = 0.65, P(B) = 0.45, P(C) = 0.25, P(A∩B) = 0.25
P(A∩C) = 0.15, P(B∩C) = 0.2, P(A∩B∩C) = 0.05
उत्तर :
तीन घटना के लिए योग का नियम
P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C)- P(A∩B) – P(A∩C)- P(B∩C)+ P(A∩B∩C)
= 0.65 + 0.45 + 0.25 – 0.25 – 0.15 – 0.2 + 0.05
∴ P(A∪B∪C) = 0.8
मांगी गई संभावना = 0.8

प्रश्न 12.
निदर्श अवकाश की तीन घटनाएँ A, B और C परस्पर निवारक और निःशेष है। यदि P(C’) = 0.8 और 3P(B) = 2P(A’) हो, तो P(A) और P(B) ज्ञात करो।
उत्तर :
P(C’) = 0.8
∴ P(C) = 1 – P(C’) = 1 – 0.8
∴ P(C)= 0.2
3P(B) = 2P(A’)
∴ P(B) = \(\frac{2 P\left(A^{\prime}\right)}{3}\)
तीन घटनाएँ A, B और C परस्पर निवारक और निःशेष है इसलिए P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) = 1
∴ P(A) = \(\frac{2 P\left(A^{\prime}\right)}{3}\) + 0.2 = 1
∴ P(A) + \(\frac{2(1-P(A))}{3}\) = 1 – 0.2
∴ P(A) + \(\frac{2-2 P(A)}{3}\) = 0.8 (तीनों पद को 3 से गुणा करने पर)
∴ 3P(A) +2 – 2P(A) = 2.4
∴ P(A) = 2.4 – 2
∴ P(A) = 0.4
अब P(B) = \(\frac{2(1-P(A))}{3}=\frac{2(1-0.4)}{3}\) = \(\frac{2(0.6)}{3}=\frac{1.2}{3}\)
∴ P(B) = 0.4
मांगी गई संभावना P(A) = 0.4 और P(B) = 0.4