GSEB Class 10 Maths Notes Chapter 5 સમાંતર શ્રેણી

This GSEB Class 10 Maths Notes Chapter 5 સમાંતર શ્રેણી covers all the important topics and concepts as mentioned in the chapter.

સમાંતર શ્રેણી Class 10 GSEB Notes

→ પ્રાસ્તાવિકઃ આપણા રોજિંદા જીવનના અનુભવમાં આપણે સંખ્યાઓની ઘણી તરાહ (Pattern) જોઈએ છીએ. આ પ્રકરણમાં આપણે આગળના (પુરોગામી) પદમાં પ્રથમ પદ સિવાય) અચળ સંખ્યા (ધન, ઋણ અથવા શૂન્ય) ઉમેરવાથી પછીનું (અનુગામી) પદ મેળવાય તેવી એક તરાહનો અભ્યાસ કરીશું. આપણે એ પણ જોઈશું કે તેનું nમું પદ અને n ક્રમિક પદોનો સરવાળો કેવી રીતે શોધી શકાય અને આ જ્ઞાનનો ઉપયોગ કેટલાંક રોજિંદા પ્રશ્નોના ઉકેલ મેળવવા કરીશું.

→ સમાંતર શ્રેણીઃ શ્રેણી: જ્યારે અમુક સંખ્યાઓ કોઈ ચોક્કસ નિયમ અનુસાર એક તરાહ બનાવે ત્યારે તે સંખ્યાઓ શ્રેણી રચે છે તેમ કહેવાય. શ્રેણીમાં રહેલ દરેક સંખ્યાને શ્રેણીનું પદ કહે છે. દા. ત.,

• 3, 7, 11, 15, … એ શ્રેણી છે, કારણ કે તેના પ્રથમ પદ સિવાયનું દરેક પદ આગળના પદમાં 4 ઉમેરતા મળે છે.
• 4, 1, -2, -5, … એ શ્રેણી છે, કારણ કે તેના પ્રથમ પદ સિવાયનું દરેક પદ આગળના પદમાંથી 3 બાદ કરવાથી મળે છે.
• 2, 6, 18, 54, … એ શ્રેણી છે, કારણ કે તેના પ્રથમ – પદ સિવાયનું દરેક પદ આગળના પદને 3 વડે ગુણવાથી મળે છે.
• 16, 4, 1, \(\frac{1}{4}\), … એ શ્રેણી છે, કારણ કે તેના પ્રથમ પદ સિવાયનું દરેક પદ આગળના પદને 4 વડે ભાગવાથી મળે છે.

→ સમાંતર શ્રેણી (Arithmetic Progression અથવા A.P): જેમાં પ્રથમ પદ સિવાયનું પ્રત્યેક પદ આગળના પદમાં નિશ્ચિત સંખ્યા ઉમેરીને મેળવી શકાય તેવી સંખ્યાઓની યાદી એ સમાંતર શ્રેણી છે. આ નિશ્ચિત સંખ્યાને સમાંતર શ્રેણીનો સામાન્ય તફાવત કહે છે. યાદ રાખો કે સામાન્ય તફાવત ધન, ઋણ અથવા શૂન્ય હોઈ શકે છે.

→ સામાન્ય રીતે સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a દ્વારા અને સામાન્ય તફાવત d દ્વારા દર્શાવાય છે. કિ સમાંતર શ્રેણીનું વ્યાપક સ્વરૂપ પ્રથમ પદ વ અને સામાન્ય તફાવત d લેતાં, a, a + d, a + 2d, a + 3d, …, સમાંતર શ્રેણી દર્શાવે છે. આને સમાંતર શ્રેણીનું વ્યાપક સ્વરૂપ કહેવાય છે.

→ સાન્ત (Finite) સમાંતર શ્રેણી: જે સમાંતર શ્રેણીમાં પદની સંખ્યા નિશ્ચિત હોય તેવી શ્રેણીને સાત્ત સમાંતર શ્રેણી કહે છે.

→ સાન્ત સમાંતર શ્રેણીમાં હંમેશાં છેલ્લું (અંતિમ) પદ હોય છે. દા. ત., 3, 6, 9, …, 999 એ સાત્ત સમાંતર શ્રેણી છે.

→ અનંત (Infinite) સમાંતર શ્રેણી: જે સમાંતર શ્રેણીમાં પદની સંખ્યા અનંત (અનિશ્ચિત) હોય તેવી શ્રેણીને અનંત સમાંતર શ્રેણી કહે છે અથવા જે સમાંતર શ્રેણી સાન્ત નથી તેને અનંત સમાંતર શ્રેણી કહે છે. બીજા શબ્દોમાં, જે સમાંતર શ્રેણીમાં દરેક પદ માટે તે પછીનું પદ મળે તેને અનંત સમાંતર શ્રેણી કહે છે. અનંત સમાંતર શ્રેણીમાં કદી પણ છેલ્લું (અંતિમ) પદ ન હોય. દા. ત., 4, 11, 18, 25, … અનંત સમાંતર શ્રેણી છે.

→ જો કોઈ સમાંતર શ્રેણી માટે વ અને d આપેલ હોય, તો તે શ્રેણીના બધા જ પદ લખી શકાય. એટલે કે, આખી શ્રેણી (સાત્ત કે અનંત) લખી શકાય. અનંત શ્રેણી લખવા માટે અમુક
પદ લખ્યા પછી … લખવાની પ્રથા છે.

→ જો કોઈ સમાંતર શ્રેણીના ક્રમિક પદો આપેલ હોય, તો તે પરથી a અને તે સહેલાઈથી શોધી શકાય. ધારો કે, a₁, a₂, a₃, …, a_k, a_n, … a_k+1, … આપેલ સમાંતર શ્રેણી છે, તો આપેલ સમાંતર શ્રેણી માટે પ્રથમ પદ a = a₁ અને સામાન્ય
તફાવત d = a_k+1 – a_k થાય, જ્યાં k કોઈ ધન પૂર્ણાક છે. કેમ બે સંખ્યાઓ A અને Bનો સમાંતર મધ્યકઃ આપેલ બે સંખ્યાઓ

→ અને મની વચ્ચે સંખ્યા M મૂકવાથી જો a, M અને b સમાંતર શ્રેણી રચે, તો MP અને 6નો સમાંતર મધ્યક કહે છે. જો M એ અને મનો સમાંતર મધ્યક હોય, તો a, M અને b સમાંતર શ્રેણીનાં ક્રમિક પદ થાય અને આથી સમાંતર શ્રેણીના ગુણધર્મ મુજબ,
M – a = b – M
∴ 2M = a + b
∴ M = \(\frac{a+b}{2}\)
આમ, આપેલ બે સંખ્યાઓનો સમાંતર મધ્યક એટલે તે બે સંખ્યાના સરવાળાને 2 વડે ભાગતાં મળતી સંખ્યા.

→ જો a, b, c એ સમાંતર શ્રેણીનાં ક્રમિક પદો હોય, તો

• a + k, b + k, c + k પણ સમાંતર શ્રેણીનાં ક્રમિક પદો હોય.
• a-k, b–k, c–k પણ સમાંતર શ્રેણીનાં ક્રમિક પદો હોય.
• ka, kb, kc પણ સમાંતર શ્રેણીનાં ક્રમિક પદો હોય.
• \(\frac{a}{k}, \frac{b}{k}, \frac{c}{k}\) ( k ≠ 0) પણ સમાંતર શ્રેણીનાં ક્રમિક પદો હોય.

→ સમાંતર શ્રેણીનું nમું પદ આ સમાંતર શ્રેણીના તમા પદનું સૂત્ર મેળવવું ધારો કે, a₁, a₂, a₃, … સમાંતર શ્રેણી છે. તેનું પ્રથમ પદ a₁, એ a અને સામાન્ય તફાવત d છે.
તો બીજું પદ a₂ = a₁ + d = a + (2 – 1)d
ત્રીજું પદ a₃ = a₂ + d = (a + d) + d
= a + 2d = a + (3 – 1)d
ચોથું પદ a₄ = a₃ + d = (a + 2d) + d
= a + 3d = a + (4 – 1)d

→ આમ, આપણે કહી શકીએ કે તમું પદ a_n = a + (n – 1) d.
આથી પ્રથમ પદ વ અને સામાન્ય તફાવત d હોય તેવી સમાંતર શ્રેણીનું nમું પદ a_n = a + (n – 1) d દ્વારા મળે. a_n,ને સમાંતર શ્રેણીનું વ્યાપક પદ પણ કહેવાય છે. જો સાન્ત સમાંતર શ્રેણીમાં ૧ પદો હોય, તો a, તેનું અંતિમ પદ દર્શાવે છે. તેને ઘણી વખત l દ્વારા પણ દર્શાવાય છે.

→ સાત્ત સમાંતર શ્રેણીનું છેલ્લેથી mયું પદ n પદ ધરાવતી સાન્ત સમાંતર શ્રેણીનું છેલ્લેથી mયું પદ = શરૂઆતથી (n – m + 1)મું પદ
સાન્ત સમાંતર શ્રેણીનું છેલ્લેથી mયું પદ નીચેની બે રીતે શોધી શકાય :

• શરૂઆતથી (n – m + 1)મું પદ શોધો.
• આપેલ સમાંતર શ્રેણીને ઊલટા ક્રમે લખો, એટલે કે અંતિમ પદને પ્રથમ તરીકે લો, તેનાથી આગળના પદને બીજા પદ તરીકે લો વગેરે. ત્યારબાદ મૂળ શ્રેણીને ઉલટાવીને મળતી શ્રેણીનું mયું પદ શોધો.

→ સમાંતર શ્રેણીમાં હોય તેવા માગેલ પદો શોધવા જ્યારે આપણે સમાંતર શ્રેણીમાં રહેલા અમુક પદો શોધવા હોય ત્યારે પદોની સંખ્યા અનુસાર ધારણા લેવાથી ગણતરી સરળ બને છે.

• જો સમાંતર શ્રેણીમાં રહેલા ત્રણ ક્રમિક પદો શોધવાના હોય, તો તેમને માટે ધારણા a – d, a, a + d લેવાથી તે પદોનો સરવાળો 3d મળે, મધ્યમ પદ વ અને સામાન્ય તફાવત d થાય.
• જો સમાંતર શ્રેણીમાં રહેલા ચાર ક્રમિક પદો શોધવાના હોય, તો તેમને માટે ધારણા a – 3d, a – d, a + d, a + 3d લેવાથી તે પદોનો સરવાળો 4a મળે, મધ્યમ પદો a- d અને સ્વ + d તથા સામાન્ય તફાવત 2d થાય.
• તે જ પ્રમાણે, પાંચ ક્રમિક પદો માટે ધારણા a – 2d, a – d, a, a + d, a + 20 લો.
• તે જ પ્રમાણે, છ ક્રમિક પદો માટે ધારણા a – 5d, a – 3d, a – d, a + d, a + 3d, a + 5d લો.

→ સાત્ત સમાંતર શ્રેણીનું મધ્યમ પદઃ ધારો કે n પદો ધરાવતી સાન્ત સમાંતર શ્રેણીનાં પદો a₁ a₂, a₂, …, a_n, છે. જો n અયુગ્મ હોય, તો (\(\frac{n+1}{2}\)મું પદ એ શ્રેણીનું મધ્યમ પદ છે. જો n યુગ્મ હોય, તો તે શ્રેણીના \(\frac{n}{2}\)મું પદ તથા (\(\frac{n}{2}\) + 1)મું પદ એમ બે મધ્યમ પદ છે.

→ સમાંતર શ્રેણીના કેટલાક ગુણધર્મો :
(1) કોઈ પણ સમાંતર શ્રેણી માટે મેં પદ a + (m – 1)d અને તમું પદ a + (n- 1) d છે.
હવે, a_m – a_b = [a + (m – 1) d) – [a + (n – 1) d]
∴ a_m – a_n = (m – n) d
આથી d = \(\frac{a_{m}-a_{n}}{m-n}\)

(2) કોઈ પણ સાન્ત સમાંતર શ્રેણીમાં શરૂઆતથી અને અંતથી સરખા ક્રમે આવેલાં બે પદોનો સરવાળો હંમેશ પ્રથમ પદ અને અંતિમ પદના સરવાળા જેટલો જ થાય છે. બીજા શબ્દોમાં, સાન્ત સમાંતર શ્રેણીમાં શરૂઆતથી તમા પદ તથા છેલ્લેથી nમા પદનો સરવાળો nની કોઈ પણ શક્ય કિંમત માટે પ્રથમ પદ અને અંતિમ પદના સરવાળા જેટલો જ હોય છે.
ધારો કે સાત્ત સમાંતર શ્રેણી માટે પ્રથમ પદ = a, સામાન્ય તફાવત = d અને કુલ પદોની સંખ્યા = l છે.

શરૂઆતથી તમું પદ = a + (n – 1) d
છેલ્લેથી nમું પદ = શરૂઆતથી (l – n + 1)મું પદ
= a + {(l – n + 1) – 1} d
= a + (l – n) d

આથી શરૂઆતથી તમા પદ અને છેલ્લેથી તમા પદનો સરવાળો = [a + (n – 1) d] + [a + (l – n) d]
= 2a + (l – 1)d
= a + [a + (l – 1) d).
= પ્રથમ પદ + અંતિમ પદ

(3) સમાંતર શ્રેણીના તમા પદનું સૂત્ર એ તેની સુરેખ બહુપદી છે. a_n = a + (n – 1) d = a + d . n – d
∴ a_n = d .n + (a – d)
આમ, a_n એ x. n + y સ્વરૂપની બહુપદી છે. આથી, જો વ નું સૂત્ર આપેલ હોય, તો તેમાં nનો સહગુણક સામાન્ય તફાવતની તેની કિંમત આપે છે અને અચળ પદ એ (a – d)ની કિંમત આપે છે. દા. ત., જે સમાંતર શ્રેણીનું nમું પદ a_n = 7n + 3 હોય,
તે શ્રેણી માટે a અને d શોધો. અહીં, તમું પદ a_n = 7n + 3.
તેને a_n = d . n + (a – d) સાથે સરખાવતાં d = 7 અને a – d = 3, એટલે કે, a = 10 મળે.

→ સમાંતર શ્રેણીનાં પ્રથમ ત પદનો સરવાળોઃ આપણે સમાંતર શ્રેણી a, a + d, a + 2d, …નાં પ્રથમ ૧ પદોનો સરવાળાને કા દ્વારા દર્શાવીશું. આપેલ સમાંતર શ્રેણી માટે a_n = a + (n – 1) d. હવે, S_n = a + (a + d) + (a + 2d) + … + (a + (n – 1) d) …… (1)
આ જ સરવાળાને ઊલટા ક્રમે લખતાં, S_n = (a + (n – 1) d) + (a + (n – 2) d) + (a + (n-3) d) + … + a … … (2)
સમીકરણ (1) અને (2)નો સરવાળો લેતાં, 2S_n = [2a + (n- 1) d] + [2n + (n-1) d] +[2n + (n- 1) d] + … n વખત
2S_n = n[2a + (n – 1) d]
S_n = 2 + (n – 1) d]
આ સૂત્રને નીચે મુજબ પણ લખી શકાય
S_n = \(\frac{n}{2}\)[2a + (n – 1) d)]
S_n = \(\frac{n}{2}\)[a + a_n]

જો આપેલ સમાંતર શ્રેણી એ n પદ ધરાવતી સાન્ત સમાંતર શ્રેણી હોય અને તેના તમા પદને (છેલ્લા પદને) 1 દ્વારા દર્શાવવામાં આવે, તો
S_n = \(\frac{n}{2}\)[a + l]

નોંધઃ જ્યારે સાન્ત સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ અને અંતિમ પદ આપેલ હોય અને સામાન્ય તફાવત આપેલ ન હોય, તો સાન્ત સમાંતર શ્રેણીનાં પદોનો સરવાળો શોધવામાં બીજું સૂત્ર ઉપયોગી થાય છે.

→ S_n અને a_n વચ્ચેનો સંબંધ:
S_n = a₁ + a₂ + a₃ + … + a_n-1 + a_n
S_n = (a₁ + a₂ + a₃ + … + a_n-1) + a_n
S_n = S_n – S_n-1, જ્યાં n > 1
n = 1 માટે a₁ = S₁ આમ, n > 1 માટે સમાંતર શ્રેણીનું nમું પદ = પ્રથમ n પદોનો સરવાળો – પ્રથમ (n – 1) પદોનો સરવાળો

→ એક અગત્યનું પરિણામ
આપણે જાણીએ છીએ કે, s_n = (2n + (n-1) d) . 1 = 123 + nd-a] – s = na + A: S = n + (-)n

→ આ દર્શાવે છે કે સમાંતર શ્રેણીનાં પ્રથમ પદોના સરવાળાનું સૂત્ર એ nની દ્વિઘાત બહુપદી છે જેમાં અચળ પદ હોતું નથી. તેમાં n²શ્નો સહગુણક તેની કિંમત આપે છે તથા \(\frac{d}{2}\)નો સહગુણક (a – \(\frac{d}{2}\))ની કિંમત આપે છે. ટૂંકમાં, s_n એ હંમેશાં pn² + qnના સ્વરૂપમાં હોય.

→ S_n પરથી a_n મેળવવાની ટૂંકી રીત :

→ કેટલાક અગત્યના સરવાળા:

• પ્રથમ ૧ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો
  = 1 + 2 + 3 + … + n = \(\frac{n(n+1)}{2}\)
• પ્રથમ n અયુગ્મ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો
  = 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n²
• પ્રથમ ત યુગ્મ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો
  = 2 + 4 + 6 + … + 20 = n (n + 1) = n² + n