GSEB Class 9 Maths Notes Chapter 2 બહુપદીઓ

This GSEB Class 9 Maths Notes Chapter 2 બહુપદીઓ covers all the important topics and concepts as mentioned in the chapter.

બહુપદીઓ Class 9 GSEB Notes

→ ચલ (Variable): જે ભિન્ન કિંમતો ધારણ કરી શકે તેવી સંજ્ઞાને ચલ કહે છે. સામાન્ય રીતે ચલને x, y, z વગેરે સંકેતથી દર્શાવાય છે.

→ બૈજિક પદાવલિઓ (Algebraic expressions) : બેજિક પદાવલિ એ ચલ અને અચળને સરવાળા, બાદબાકી, ગુણાકાર કે ભાગાકારની ક્રિયાથી સાંકળતાં મળે છે.
દા. ત., 2x + 3, 4 – 7x, \(\frac{x}{3}\)કે વગેરે.

→ એકચલ બહુપદીઓ a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + a_n-2x^n-2 + … + a₀: a ≠ 0, a₀, a₁, a₂, …, a_n અચળ હોય, ત્યારે આ સ્વરૂપે દર્શાવાતી પદાવલિને ચલ xમાં બહુપદી કહે છે; જ્યાં n પૂર્ણ સંખ્યા છે.

• સામાન્ય રીતે બહુપદીઓ p(x), q (x) … જેવા સંકેતથી દર્શાવાય છે.
• અહીં, a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + a_n-2x^n-2 + … + a₀ બહુપદીનાં પદો છે.
  a_i(i = 0, 1, 2, ………….., n) એ ના સહગુણક છે.
• આ બહુપદીમાં xⁿ એ સ્ત્રનો મહત્તમ ઘાત છે.
• a_nxⁿને બહુપદીનું અગ્રપદ કહે છે.
• a_nને અગ્રસહગુણક કહે છે.

જ્યારે બહુપદીનાં પદોને ના ઊતરતા ઘાતાંકના ક્રમમાં ગોઠવીએ ત્યારે તે બહુપદી પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં લખેલ છે તેમ કહેવાય.

→ બહુપદીની ઘાત (Degree of the polynomial) : જ્યારે બહુપદી પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં લખેલી હોય, ત્યારે તેનું પ્રથમ પદ અગ્રપદ છે અને તેમાં ચલનો ઘાતાંક એ બહુપદીની ઘાત કહેવાય.

→ અચળ બહુપદી p(x) = a₀ ને અચળ બહુપદી કહે છે, જ્યાં a₀ અચળ સંખ્યા છે.

→ એકપદી (Monomial) : જે બહુપદીમાં માત્ર એક જ પદ હોય તેને એકપદી કહે છે.

→ દ્વિપદી (Binomial) : જે બહુપદીમાં બે પદો હોય તેને દ્વિપદી કહે છે.

→ ત્રિપદી (Tinomial): જે બહુપદીમાં ત્રણ પદો હોય તેને ત્રિપદી કહે છે.

ઉદાહરણ : 1.
નીચે આપેલી અભિવ્યક્તિઓ પૈકી કઈ અભિવ્યક્તિ બહુપદી છે, તે કારણ સહિત જણાવો. જો કોઈ અભિવ્યક્તિ બહુપદી હોય, તો તે એક ચલવાળી બહુપદી છે કે નહીં તે જણાવો
(1) πx² – √3x + 11
ઉત્તર:
આપેલ અભિવ્યક્તિ πx² – √3x + 11 એ બહુપદી છે કારણ કે તેના દરેક પદમાં ચલ ની ઘાત પૂર્ણ સંખ્યા અનુક્રમે 2, 1 અને 2 છે. આપેલ બહુપદી એક ચલવાળી બહુપદી છે, જેમાં એક જ ચલ x છે.

(2) x² + x – ૩ + \(\frac{4}{x}\)
ઉત્તર:
આપેલ અભિવ્યક્તિ x² + x – ૩ + \(\frac{4}{x}\) એ બહુપદી નથી, કારણ કે તેના પદ \(\frac{4}{x}\) = 4x^-1માં નો ઘાતાંક ઋણ સંખ્યા છે.

(3) 5² – 7x + 3√x
ઉત્તર:
આપેલ અભિવ્યક્તિ 5² – 7x + 3√x એ બહુપદી નથી, કારણ કે તેના પદ 3√x = 3x^1/2માં નો ઘાતાંક અપૂર્ણાંક સંખ્યા છે.

(4) x³ + y³ + z³ – 3xyz
ઉત્તર:
આપેલ અભિવ્યક્તિ x³ + y³ + z³ – 3xyz એ બહુપદી છે, કારણ કે તેના દરેક પદમાં ચલનો કુલ ઘાતાંક 3 છે જે પૂર્ણ સંખ્યા છે. પરંતુ તે બહુપદીમાં ત્રણ ચલ ૪, પૃ. અને ૪ હોવાથી તે એક ચલવાળી બહુપદી ન હોઈ ત્રણ ચલવાળી બહુપદી છે.

(5) x² + 2xy + y²
ઉત્તર:
આપેલ અભિવ્યક્તિ x² + 2xy + y² એ બહુપદી છે, કારણ કે તેના દરેક પદમાં ચલનો કુલ ઘાતાંક 2 છે જે પૂર્ણ સંખ્યા છે. પરંતુ તે બહુપદીમાં બે ચલ x અને 9 હોવાથી તે એક ચલવાળી બહુપદી ન હોઈ બે ચલવાળી
બહુપદી છે.

(6) x² – 8x + 15
ઉત્તર:
આપેલ અભિવ્યક્તિ x² – 8x + 15 એ બહુપદી છે, કારણ કે તેના દરેક પદમાં ચલ ની ઘાત પૂર્ણ સંખ્યા અનુક્રમે 2, 1 અને 2 છે. આપેલ બહુપદી એક ચલવાળી બહુપદી છે, જેમાં એક જ ચલ x છે.

ઉદાહરણ : 2.
નીચે આપેલ બહુપદીઓમાં નો સહગુણક લખો:
(1) 5 – 7x – 3x²
ઉત્તર:
બહુપદી 5 – 7x – 3x²માં નો સહગુણક -3 છે.

(2) √3x² + 11
ઉત્તર:
બહુપદી √3x² + 11માં સ્નો સહગુણક √3 છે.

(3) πx² – \(\frac{22}{7}\)x + 3.14
ઉત્તર:
બહુપદી πx² – \(\frac{22}{7}\)x + 3.14માં નો સહગુણક π છે.

(4) 7x³ – 11x + 24
ઉત્તર:
બહુપદી 7x² – 11x + 24માં સ્નો સહગુણક 0 છે, કારણ કે 7x³ – 11x + 24 = 7x³ + 0x² – 11x + 24 થાય.

ઉદાહરણ : 3.
નીચે આપેલી બહુપદીઓની ઘાત જણાવોઃ
(1) 7x³ – 9x² + 4x – 22
ઉત્તર:
બહુપદી 7x³ – 9x² + 4x – 22નો ઘાત 3 છે.

(2) 5
ઉત્તર:
અચળ બહુપદી 5 (= 5x°) નો ઘાત 0 છે.

(3) 11 – 2y²
ઉત્તર:
બહુપદી 11 – 2y²નો ઘાત 2 છે.

(4) √11t + 14
ઉત્તર:
બહુપદી √11t + 14નો ઘાત 1 છે.

ઉદાહરણ : 4.
નીચે આપેલી બહુપદીઓને સુરેખ, દ્વિઘાત કે ત્રિઘાત બહુપદીમાં વર્ગીકૃત કરો:
(1) 5t + 3
ઉત્તર:
બહુપદી 5t + 3નો ઘાત 1 હોવાથી તે સુરેખ બહુપદી છે.

(2) x² – 9x + 14
ઉત્તર:
બહુપદી x² – 9x + 14નો ઘાત 2 હોવાથી તે દ્વિઘાત બહુપદી છે.

(3) 8x² – 343
ઉત્તર:
બહુપદી 8x² – 343 નો ઘાત 3 હોવાથી તે ત્રિઘાત બહુપદી છે.

→ બહુપદીનાં શૂન્યોઃ જો કોઈ વાસ્તવિક સંખ્યા x માટે p (x) = 0 હોય, તો તે 1 xને બહુપદી (x)નું શૂન્ય કહે છે.

→ બહુપદી p (x)નાં શૂન્યો(જો તેઓ અસ્તિત્વ ધરાવતાં હોય તો)ને બહુપદી સમીકરણ p (x) = 0નાં બીજ (Roots) (અથવા ઉકેલ) કહે છે.
દા. ત., બહુપદી (x) = 5x + 7નું એક શૂન્ય \(\frac{-7}{5}\) છે.
કારણ કે, p(\(\frac{-7}{5}\)) = 5(\(\frac{-7}{5}\)) + 7
= 7 + 7 = 0

→ બહુપદી p (x) = x² + 1 માટે x² + 1 = 0 થાય તેવો કોઈ વાસ્તવિક x શક્ય નથી.
આથી x² + 1 = 0નાં બીજ કે ઉકેલ શક્ય નથી. ઘણી વાર બહુપદીને વાસ્તવિક શૂન્ય ન પણ હોય.

→ બહુપદીનાં શૂન્યો માટેનાં અગત્યનાં પરિણામો:

• 0 એ બહુપદીનું શૂન્ય હોઈ શકે, પરંતુ બહુપદીનાં શૂન્યો એ 0 ન પણ હોય.
• સુરેખ બહુપદી અનન્ય શૂન્ય ધરાવે.
• સુરેખ બહુપદી સિવાયની બહુપદીઓને એક કરતાં વધારે શૂન્ય હોઈ શકે.

→ બહુપદીનું મૂલ્ય: બહુપદી p (x)માં ના સ્થાને કોઈ વાસ્તવિક સંખ્યા ઘ લેવાથી p (x)ની જે કિંમત મળે તેને p(X)નું α માટેનું મૂલ્ય કહે છે. તેને p (α) દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ : 1.
નીચે આપેલ દરેક બહુપદી માટે તેની સામે આપેલ ચલની કિંમત માટે બહુપદીનું મૂલ્ય શોધોઃ
(1) p(x) = x² + 5x – 24, x = 3 આગળ
ઉત્તર:
p (x) = x² + 5x – 24
x = 3 આગળ બહુપદી ) (x)નું મૂલ્ય
p (3) = (3)² + 5 (3) – 24 = 9 + 15 – 24 = 0

(2) q(y) = 5y³ – 4y² + 14y – √3, y =2 આગળ
ઉત્તર:
q (y) = 5y³ – 4y² + 14y – √3
y = 2 આગળ બહુપદી q(y)િનું મૂલ્ય
q (2) = 5 (2)³ – 4 (2)² + 14 (2) – √3
= 5 (8) – 4 (4) + 14 (2) – √3
= 40 – 16 + 28 – √3
= 52 – √3

(3) p (t) = 5t² – 11t + 7, t = a આગળ
ઉત્તર:
p (t) = 5t² – 11t + 7 It = a આગળ બહુપદી p (t)નું મૂલ્ય
p (a) = 5 (a)² – 11 (a) + 7 = 5a² – 11a + 7

ઉદાહરણ: 2.
ચકાસો કે ૩ અને 5 બહુપદી x² – x – 6 ઉનાં શૂન્ય છે કે નહીં.
ઉત્તર:
ધારો કે, p (x) = x² – x – 6
∴ p (3) = (3)² – (3) – 6 = 9 – 3 – 6 = 0
આથી 3 એ બહુપદી x² – x – 6 6નું શૂન્ય છે.
∴ p (5) = (5)² – (5) – 6 = 25 – 5 – 6 = 14 ≠ 0
આથી 5 એ બહુપદી x² – x – 6નું શૂન્ય નથી.

ઉદાહરણ: 3.
બહુપદી ) (x) = 5x – 8નું શૂન્ય શોધો.
ઉત્તર:
અહીં, p(x) = 5x – 8નું શૂન્ય શોધવું છે.
∴ p (x) = 0
∴ 5x – 8 = 0
∴ 5x = 8
∴ x = \(\frac{8}{5}\)
આમ, \(\frac{8}{5}\) એ બહુપદી p(x) = 5x – 8નું શૂન્ય છે.

→ પૂર્ણાકોની જેમ બહુપદી માટે, જો કોઈ બહુપદી p (x)ને શૂન્યતર બહુપદી g (x) વડે ભાગવામાં આવે, તો
p(x) = g (x). q(x) + r (x)
અહીં, p (x) = ભાજ્ય બહુપદી, g (x) = ભાજક બહુપદી,

q (x) = ભાગફળ બહુપદી તથા r (x) = શેષ બહુપદી છે. અર્થાત્ ભાજ્ય બહુપદી
= [ભાજક બહુપદી × ભાગફળ બહુપદી] + શેષ બહુપદી

→ શેષ બહુપદીની ઘાત એ ભાજક બહુપદીની ઘાત કરતાં ઓછી હોય અથવા શેષ બહુપદી શૂન્ય હોય. જ શેષ પ્રમેયઃ જો બહુપદી p (x)ની ઘાત 1 કે 1 કરતાં વધુ હોય અને તેને સુરેખ બહુપદી (x – a) વડે ભાગવામાં આવે, તો શેષ p (a) મળે. અહીં વ્ર વાસ્તવિક સંખ્યા છે.

→ સાબિતી : ધારો કે કોઈ બહુપદી p (x)ની ઘાત 1 કે 1 કરતાં વધારે છે. વળી, ધારો કે ભાજ્ય p(x)ને ભાજક (x – a) વડે ભાગવામાં આવે, તો ભાગફળq (x) મળે છે અને શેષ r (x) છે. આથી p (x) = (x – a) q (x) + r (x).

→ ભાજક x – a ની ઘાત 1 છે અને તેથી શેષ r (x)ની ઘાત < ભાજક (x – a)ની ઘાત એટલે કે r (x)ની ઘાત = 0. એટલે કે r (x) એ શૂન્યતર અચળ અથવા r (x) = 0.

→ તેથી xની તમામ કિંમતો માટે r (x) = r (અચળ).
∴ p(x) = (x – a) q (x) + r.

→ આ નિત્યસમમાં x = a લેતાં,

→ p (a) = (a – a) q (a) + r = r
∴ શેષ r એ p (a) છે.

ઉદાહરણ : 1.
p (x) = 21 + 10x + x²ને g(x) = 2 + x વડે ભાગીને ભાગફળ તથા શેષ શોધો.
ઉત્તર:
p(x) = 21 + 10x + x² = x² + 10x + 21
અને g(x) = 2 + x = x + 2

∴ ભાગફળ = x + 8 અને શેષ = 5

ભાગાકારની ક્રિયાના સોપાનઃ

• ભાજ્ય બહુપદી 21 + 10x + x² તથા ભાજક બહુપદી 2 + x ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ એટલે કે ચલના ઘાતાંકના ઊતરતા ક્રમમાં ગોઠવો.
• ભાજ્યના પ્રથમ પદ ને ભાજકના પ્રથમ પદ x વડે ભાગતાં ભાગફળનું પ્રથમ પદ x\(\left(\frac{x^{2}}{x}\right)\) મળે.
• ભાજક (x + 2)ને ભાગફળના પ્રથમ પદ (x) વડે ગુણતા ગુણાકાર x² + 2x મળે, જેને ભાજ્ય (x² + 10x + 21)માંથી બાદ કરતાં નવો ભાજ્ય 8x + 21 મળે.
• નવા ભાજ્ય (8x + 21)ના પ્રથમ પદ 8ને ભાજક (x + 2)ના પ્રથમ પદ વડે ભાગતાં ભાગફળનું દ્વિતીય પદ 8\(\left(\frac{8 x}{x}\right)\) મળે.
• ભાજક (x + 2)ને ભાગફળના દ્વિતીય પદ (8) વડે ગુણતાં ગુણાકાર 8x + 16 મળે, જેને નવા ભાજ્ય (8x + 21)માંથી બાદ કરતાં શેષ 5 મળે.
• 5માં નો ઘાતાંક 2 છે, જે ભાજકમાં નો ઘાતાંક 1 કરતાં ઓછો છે. આથી ભાગાકારની ક્રિયા પૂર્ણ થઈ તથા ભાગફળ x + 8 અને શેષ 5 મળ્યાં. આમ, x² + 10x + 21 = (x + 2) (x + 8) + 5

ઉદાહરણ : 2.
બહુપદી x³ + 7x² + 14x + 1નો x + ૩ વડે ભાગાકાર કરીને ભાગફળ તથા શેષ શોધો.
ઉત્તર:

આમ, ભાગફળ = x² + 4x + 2 અને શેષ = -5

ઉદાહરણ : 3.
શેષ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરી x³ + 7x² + 17x + 25ને + 4 ? વડે ભાગતાં મળતી શેષ શોધો.
ઉત્તર:
અહીં, p(x) = x³ + 7x² + 17x + 25 અને x + 4નું શૂન્ય (-4) છે.
માટે, p (x) ને x + 4 દ્વારા ભાગવાથી મળતી શેષ p(-4) થાય.
p(-4) = (-4)³ + 7 (-4)² + 17 (-4) + 25
= -64 + 112 – 68 + 25.
= 5.
આમ, x³ + 7x² + 17x + 25ને x + 4 વડે ભાગવાથી શેષ 5 મળે.

ઉદાહરણ : 4.
શેષ પ્રમેયની મદદથી ચકાસો કે, x + 2 એ x³ + 9x² + 2x + 24નો અવયવ છે કે નહીં.
ઉત્તર:
અહીં, p (x) = x³ + 9x² + 2x + 24 અને x + 2નું શૂન્ય (-2) છે.
માટે, p(x)ને x + 2 દ્વારા ભાગવાથી મળતી શેષ p(-2) થાય. p-2) = (-2)³ + 9(2)² + 26(-2) + 24
= -8 + 36 – 52 + 24
= 0
આમ, p(x) ને x + 2 વડે ભાગતાં શેષ ૦ મળે.
આથી x+ 2 એ x³ + 9x² + 26x + 24નો અવયવ છે.

→ જો p (a) = 0 તો બહુપદી p (x) એ ભાજક (x- a) વડે વિભાજ્ય છે અને શેષ 0 છે. (x – a)ને તે બહુપદીનો એક અવયવ ગણવામાં આવે છે. (a વાસ્તવિક સંખ્યા છે.)

→ અવયવ પ્રમેયઃ જો બહુપદી p (x)ની ઘાત એક કે તેના કરતાં વધુ હોય અને વ્ર વાસ્તવિક સંખ્યા હોય, તો

• જો p (a) = 0 હોય, તો ૪- a એ p(x)નો એક અવયવ છે. અને
• જો x – a એ p(x)નો અવયવ હોય, તો p (a) = 0.

સાબિતી શેષ પ્રમેય પરથી, આપણે જાણીએ છીએ કે
p (x) = (x – a) q (x) + p (a).

• જો p (a) = 0, તો p (x) = (-q) q (x). આથી x – a એ p(x)નો અવયવ છે.
• વળી, x – a એ p (x)નો અવયવ હોય, તો કોઈક બહુપદી g (x) માટે p(x) = (x – a) g (x). હવે, p (a) = (a – a) g (a) = 0.

→ જો p (x)ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય હોય, તો અને તો જ (x – 1) એ p (x)નો અવયવ થાય.

→ p (x)માં જો ના અયુગ્ય ઘાતાંકવાળાં પદોના સહગુણકોનો સરવાળો એ xના યુગ્મ ઘાતાંકવાળાં પદોના સહગુણકોના સરવાળા જેટલો થાય તો અને તો જ (x + 1) એ p (x)નો અવયવ થાય.

→ તમે દ્વિઘાત બહુપદી x² + lx + mના અવયવો કેવી રીતે પાડવા તે જાણો છો. તેના મધ્યમ પદ x ને વિભાજિત કરીને તમે અવયવો મેળવેલ. ab = m ળ બને તે રીતે મધ્યમ પદ lx = ax + bx તરીકે વિભાજિત થાય. પછી x² + lx + m = (x + a) (x + b). ચાલો આપણે દ્વિઘાત બહુપદી ax² + bx + c; જ્યાં, a ≠ 0 અને a, b, c અચળ છે, ના અવયવો પાડવાનો પ્રયત્ન કરીએ.
મધ્યમ પદને વિભાજિત કરીને બહુપદી ax² + bx + cના અવયવો મેળવવાની રીત નીચે પ્રમાણે છે

ધારો કે, તેના અવયવો (px + q) અને (rx + s) છે.
ax + bx + c = (px + q)(rx + s)
= pr x² + (ps + qr) x + qs
x²ના સહગુણકોને સરખાવતાં, a = pr.
તે જ પ્રમાણે ના સહગુણકોને સરખાવતાં b = ps + qr અને અચળ પદોને સરખાવતાં c = qs. આ આપણને બતાવે છે કે b એ ps અને qr નો સરવાળો છે. તેમનો ગુણાકાર (ps) (ar) = (pr) (qs) = ac.
તેથી ax² + bx + cના અવયવો પાડવા માટે આપણે મને જેમનો ગુણાકાર ac થાય એવી બે સંખ્યાના સરવાળા તરીકે લખવું પડે.

ઉદાહરણ: 1.
2x + 3 એ 2x³ + 21x² + 67x + 60નો અવયવ છે કે નહીં તે ચકાસો.
ઉત્તર:
2x + 3નું શૂન્ય \(\frac{-3}{2}\) છે.
p(x) = 2x³ + 21² + 67x + 60

તેથી અવયવ પ્રમેય મુજબ 2x + 3 એ 2x³ + 21x² + 67x + 60નો અવયવ છે.

ઉદાહરણ: 2.
અવયવ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને x² – 7x + 12ના અવયવ પાડો.
ઉત્તર:
ધારો કે p(x) = x² – 7x + 12 = (x – a) (x – b). આ પરથી સ્પષ્ટ છે કે, ab = 12.
12ના અવયવો ±1, ±2, ±3, ±4, ±6 તથા ±12 છે.
હવે, p (3) = (3)² – 7 (3) + 12 = 9-21 + 12 = 0
અને p (4) = (4)² – 7 (4) + 12 = 16 -28 + 12 = 0
(x – 3) અને (x – 4) એ p (x)ના અવયવો છે.
x² – 7x + 12 = (x – 3) (x – 4)

ઉદાહરણ: 3.
મધ્યમ પદનું વિભાજન કરીને 10x² – x – 24ના અવયવ પાડો.
ઉત્તર:
10-x-24 = 10x + 15x- 16x -24
= 5x (2x + 3) -8 (2x + 3)
= (2x + 3) (5x – 8)
10 × (–24) = -240
(-240) = 15 × (- 16)
15 + (- 16) = -1

ઉદાહરણ: 4.
અવયવ પાડો x³ + x² – 26x + 24
ઉત્તર:
બહુપદીના બધા જ સહગુણકોનો સરવાળો
= 1 + 1-26 + 24 = 0 .

∴ x – 1 એ આપેલ બહુપદીનો એક અવયવ છે.
x³ + x² – 26x + 24
= x³ + x² + 2x² – 2x + 24x + 24
[(x – 1) સામાન્ય અવયવ મળે તે પ્રમાણે પદોનું વિભાજન]
= (x – 1) + 2x (x – 1)- 24 (x – 1)
= (x – 1) (x + 2x – 24).
= (x – 1) (x + 6x – 4x – 24).
= (x – 1) (x (x + 6) -4 (x + 6)}
= (x – 1) (x + 6) (x – 4)

ઉદાહરણ: 5.
અવયવ પાડો x³ – x² – 17x – 15
ઉત્તર:
બહુપદીના અયુગ્ય ઘાતાંકવાળા પદોના સહગુણકોનો સરવાળો = 1 + (-17) = (-16)
બહુપદીના યુગ્ય ઘાતાંકવાળા પદોના સહગુણકોનો સરવાળો = (-1) + (-15) = (-16)
∴ (x + 1) એ આપેલ બહુપદીનો એક અવયવ છે.
x³ – x² – 17x – 15
= x³ – x² – 2x² – 2x – 15x – 15
[(x + 1) સામાન્ય અવયવ મળે તે પ્રમાણે પદોનું વિભાજન]
= x² (x + 1) – 2x (x + 1) – 15 (x + 1)
= (x + 1) (x² – 2x– 15)
= (x + 1) (x – 5x + 3x – 15)
= (x + 1) {x (x – 5) + 3 (x – 5)}
= (x + 1) (x – 5) (x + 3)

→ બૈજિક નિત્યસમો. (Algebraic identities) :

• (a + b)² = a² + 2ab + b²
• (a – b)² = a² – 2ab + b²
• (a – b) (a + b) = a² – b²
• (x + a) (x + b) = x² + (a + b) x + ab
• (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca
• (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
  = a³ + b³ + 3ab (a + b)
• (a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³
  = a³ – b³ – 3ab (a – b)
  ઉપરનાં નિત્યસમો વિસ્તરણ સ્વરૂપમાં છે. તેમને ઊલટા ક્રમમાં લખતાં પ્રમાણિત અવયવોનું સ્વરૂપ મળે છે.
• a³ + b³ + c³ – 3abc
  = (a + b + c) (a² + b² + c² – ab – bc – ca) અહીં જો a + b + c = 0 હોય, તો
  a³ + b³ + c³ = 3abc

→ બે વધારે નિત્યસમો :

• a³ + b³ = (a + b) (a² – ab + b²).
• a³ – b³ = (a – b) (a² + ab + b²)

નોંધઃ ઉપરના બધા જ નિત્યસમોમાં નિત્યસમ V સિવાયના નિત્યસમોમાં a, b, cના સ્થાને અનુક્રમે x, y, z વાપરી શકાય.

ઉદાહરણ : 1.
વિસ્તરણ કરોઃ
(1) (x + 1) (x + 2)
ઉત્તર:
(x + 1) (x + 8).
= (x)² + (3 + 8) x + (3) (8)
= x² + 11x + 24

(2) (2-3) (2x + 5)
ઉત્તર:
(2x – 3) (2x + 5)
= (2x)² + (- 3 + 5) (2x) + (-3) (5)
= 4x² + 4x – 15

(3) (3x-2) (3x-6)
ઉત્તર:
(3x – 2) (3x – 6)
= (3x)² +1-2-6) (3x) + (-2)(-6)
= 9x² – 24x + 12

(4) (x + 2t) (x- 5t (1)
ઉત્તર:
(x + 2t) (x – 5t)
= (x)² + (2t – 5t) x + (2t) – 5t)
= x² – 3xt – 10t²

ઉદાહરણ : 2.
અવયવ પાડોઃ 4x² + 4xy – 3y²
ઉત્તર:
4x² + 4xy – 3y²
= 4x² + 6xy – 2xy – 3y²
= 2x (2x + 3g) – U (2x + 3g)
= (2x + 3y) (2x – y)

ઉદાહરણ : 3.
સીધો ગુણાકાર કર્યા સિવાય કિંમત મેળવોઃ
(1) 93 × 95
ઉત્તર:
93 × 95
= (90 + 3) (90 + 5)
= (90) + (1 + 5) 90 + (3) (5)
= 8100 + 720 + 15
= 8835

(2) 78 × 84
ઉત્તર:
78 × 84
= (80 -2) (80 + 4)
= (80)2 + (-2 + 4) 80 + (-2) (4)
= 6400 + 160 – 8
= 6552

ઉદાહરણ : 4.
વિસ્તરણ કરો:
(1) (2x + 5y)²
ઉત્તર:
(2x + 5y)²
(2x)² + 2 (2x) (5y) + (5y)²
= 4x² + 29xy + 25y²

(2) (3a -4)²
ઉત્તર:
(3a – 4)²
= (3a)² – 2 (3a) (4) + (4)²
= 9a² – 24a + 16

ઉદાહરણ : 5.
અવયવ પાડોઃ
(1) 16x² + 40xy + 25y²
ઉત્તર:
16x² + 40xy + 25y²
= (4x)² + 2 (4x) (y) + (5y)²
= (4x + 5y)
= (4x + 50) (4x + 50)

(2) 49x² – 42x + 9
ઉત્તર:
49x² – 42x + 9
= (7x)² – 2 (7x) (3) + (3)²
= (7x – 3)²
= (7x – 3) (7x – 3)

ઉદાહરણ : 6.
યોગ્ય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીને (107)²ની કિંમત મેળવો.
ઉત્તર:
(107)² = (100 + 7)²
= (100)² + 2 (100) (7) + (7)²
= 10000 + 1400 + 49
= 11,449

ઉદાહરણ : 7.
વિસ્તરણ કરો (3x + 79) (3x – 7y)
ઉત્તર:
(3x + 70) (3x – 7g) = (3x)² – (7y)²
= 9x² – 49y²

ઉદાહરણ : 8.
અવયવ પાડો 121x² – 289y²
ઉત્તર:
121x² – 289y²
= (11x)² – (17y)²
= (11x + 179) (11x – 179)

ઉદાહરણ : 9.
યોગ્ય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીને 66 × 74ની કિંમત મેળવો
ઉત્તર:
66 × 74 = (70 – 4) (70 + 4)
= (70)² – (4)²
= 4900 – 16
= 4884

ઉદાહરણ : 10.
વિસ્તરણ કરો:
(1) (x + 3y – 5z)²
ઉત્તર:
(x + 3y – 5z)² = (x)² + (3y)² + (- 5z)² + 2 (x) (3y) + 2 (3y)(-5z) + 2(-5z) (x)
= x² + 9y² + 25z² + 6xy – 30yz – 10zx

(2) (2x – y – 5)².
ઉત્તર:
(2x – y – 5)² = (2x)² + (- y)² + (- 5)² + 2 (2x)(-y) + 2(-y ) (- 5) + 2 (-5) (2x)
= 4x² + y² + 25 – 4xy + 10y -20x

ઉદાહરણ : 11.
અવયવ પાડોઃ
(1) x² + 9y² + 4 + 6xy + 12y + 4x
ઉત્તર:
x² + 9y² + 4 + 6xy + 12y + 4x
(x)² + (3y)² + (2)² + 2 (x) (3g) + 2 (3g) (2) + 2 (2) (x).
= (x + 3y + 2)²
= (x + 3y + 2) (x + 10 + 2)

(2) x² + 4y² + 9z² – 4xy – 12yz + 6zx
ઉત્તર:
x² + 4y² + 9z² – 4xy – 12yz + 6zx
= (x)² + (-2y)² + (3z)² + 2 (x) (-2y) + 2 (–2y) (3z) + 2 (3z) (x)
= (x – 2y + 3z)² = (x – 2y + 3z) (x – 20 + 3z).

નોંધઃ

• આપેલ રકમમાં છેલ્લા ત્રણ પદ પૈકી જીવાળા બે પદ ઋણ હોવાથી 4y² = (-2y)² લેવું જોઈએ.
• કોઈ પણ બહુપદીનો વર્ગ તેની વિરોધી બહુપદીનો પણ વર્ગ થાય. આથી આ દાખલાનો જવાબ (–x + 2y – 3z) (-x + 2y – 3z) પણ મેળવી શકાય. આપણે ફક્ત એક પદ ઋણ હોય તે પ્રકારના જવાબ આપવા પ્રયત્ન કરીશું, પછી ભલે તે પ્રથમ પદ હોય.

ઉદાહરણ : 12.
યોગ્ય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીને (132)²ની કિંમત મેળવો.
ઉત્તર:
(132)² = (100 + 30 + 2)²
= (100) + (30) + (2) + 2 (100) (30) + 2 (30) (2) + 2 (2) (100)
= 10000 + 900 + 4 + 6000 + 120 + 400
= 17,424

ઉદાહરણ : 13.
વિસ્તરણ કરો:
(1) (3x + 2)³
ઉત્તર:
(3x + 2)³
= 3x³ + (2y)³ + 3(3x) (2y) (3x + 2y)
= 27x³ + 8y³ + 18xy(3x + 2y)
= 27x³ + 8y³ + 54x²y + 36xy²

(2) (2a – 5b)³
ઉત્તર:
(2a – 5b)³
= (2a)³ – (5b)³ – 3 (2a) (5b) (2a – 5b)
= 8a³ – 125b³ – 30ab (2a – 5b)
= 8a³ – 125b³ – 60a²b + 150ab²

ઉદાહરણ : 14.
અવયવ પાડોઃ
(1) 8x³ + 27y³ + 36x²y + 54xy²
ઉત્તર:
8x³ + 27y³ + 36x²y + 54xy²
= (2x)³ + (3y)³ + 3(4x²) (3y) + 3(2x) (9y²)
= (2x)³ + (3y)³ + 3(x)²(3y) + 3(2) (3y)²
= (2x + 3y)³
= (2x + 3y) (2x + 3y) (2x + 3y)

(2) 27x³ – 64 – 108x² + 144x
ઉત્તર:
27x³ – 64 – 108x² + 144x
= (3x)³ + (-4)³ + 3(9x²)-4) + 3(3x) (16)
= (3x)³ + (-4)² + 3 (3x)²(-4) + 3(3x) (-4)²
= {3x + (-4)}³
= (3x – 4) (3x – 4) (3x – 4)

ઉદાહરણ : 15.
યોગ્ય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીને (9980ની કિંમત મેળવો.
ઉત્તર:
(998)³ = (1000 -2)³
= (1000)³ + (-2)² + 3 (1000)²(-2) + 3 (1000)(-2)²
= 1000000000 – 8 – 6000000 + 12000
= 994011992
અથવા
(998)³ = (1000 – 2)³
= (1000)³ – (2)³ – 3(1000) (2) (1000–2)
= 1000000000 – 8 – 6000000 + 12000
= 994011992

ઉદાહરણ : 16.
અવયવ પાડોઃ 8x³ + y³ – 27z³ + 18xyz
ઉત્તર:
8x³ + y³ – 27z³ + 18xyz
= (2x)³ + (y)³ + (-3z)³ – 3(2x) (y) (-3z)
= {2x + y + (-3z)}{(2x)² + (y)² + (-3z)² – (2x) (y) – (y)(-3z) – (-3z) (2x)}
= (2x + y – 3z) (4x² + y² + 9z² – 2xy + 3yz + 6zx)

ઉદાહરણ : 17.
ઘનનું મૂલ્ય મેળવ્યા સિવાય (21)³ + (15)³ + (-36)³ની કિંમત મેળવો.
ઉત્તર:
a = 21, b = 15 અને c = (–36) લેતાં,
a + b + c = 21 + 15 + (-36) = 0 મળે.
હવે, જો a + b + c = 0 હોય, તો
a³ + b³ + c³ = 3abc.
∴ (21)³ + (15)³ + (–36)³ = 3 (21) (15) (–36)
= 63 × (- 540)
= -34020