GSEB Solutions Class 10 Maths Chapter 2 બહુપદીઓ Ex 2.2

Gujarat Board GSEB Solutions Class 10 Maths Chapter 2 બહુપદીઓ Ex 2.2 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 10 Maths Chapter 2 બહુપદીઓ Ex 2.2

પ્રશ્ન 1.
નીચે દર્શાવેલ દ્વિઘાત બહુપદીઓનાં શૂન્યો શોધો તથા તેમનાં શૂન્યો અને સહગુણકો વચ્ચેનો સંબંધ ચકાસોઃ

(i) x² – 2x – 8
(ii) 4s² – 4s + 1
(iii) 6x² – 3 – 7x
(iv) 4u² + 8u
(v) t² – 15
(vi) 3x² – x – 4

(i) x² – 2x – 8
ઉત્તરઃ
x² – 2x – 8 = x² – 4x + 2x – 8
= x (x – 4) + 2 (x – 4)
= (x – 4) (x + 2)

x² – 2x – 8 ની કિંમત શૂન્ય લેતાં, x – 4 = 0 અથવા x + 2 = 0 થાય. એટલે કે, x = 4 અથવા x = – 2 માટે બહુપદી x² – 2x – 8 નાં શૂન્યો 4 અને -2 થાય. હવે,

શૂન્યોનો સરવાળો = 4 + (-2) = 2
= \(\frac{-(-2)}{1}\)

=

અને શૂન્યોનો ગુણાકાર = (4) (-2) = – 8

= \(\frac{-(8)}{1}\)

=

(ii) 4s² – 4s + 1
ઉત્તરઃ
= 4s² – 2s – 2s + 1
= 2s (2s – 1) – 1 (2s – 1)
= (2s – 1) (2s – 1).
4s² – 4s + 1ની કિંમત શૂન્ય લેતાં, 2s – 1 = 0 અથવા 2s – 1 = 0 થાય. એટલે કે, s = \(\frac{1}{2}\) અથવા s = \(\frac{1}{2}\). માટે, બહુપદી 4s² – 4s + 1 નાં શૂન્યો છે \(\frac{1}{2}\) અને \(\frac{1}{2}\) (સમાન) થાય.
હવે, શૂન્યોનો સરવાળો = \(\frac{1}{2}\) + \(\frac{1}{2}\) = 1
= \(\frac{-(-4)}{4}\)

=

અને શૂન્યોનો ગુણાકાર = \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{1}{2}\)
= \(\frac{1}{4}\)

=

(iii) 6x² – 3 – 7x
ઉત્તરઃ
= 6x² – 9x + 2x – 3
= 3x (2x – 3) + 1 (2x – 3)
= (2x – 3) (3x + 1)
6x² – 3 – 7x = 0 લેતાં, 2x – 3 = 0 અથવા 3x + 1 = 0, એટલે કે, x = \(\frac{3}{2}\) અથવા x = – \(\frac{-1}{3}\) માટે બહુપદી 6x² – 3 – 7x નાં શૂન્ય \(\frac{3}{2}\) અને \(\frac{-1}{3}\) થાય.
હવે,
શૂન્યોનો સરવાળો = \(\frac{3}{2}\) + (\(\frac{-1}{3}\))
= \(\frac{9-2}{6}\)
= \(\frac{7}{6}\)

=

સ્નો સહગુણક અને શૂન્યોનો ગુણાકાર = (\(\frac{3}{2}\)) – (\(\frac{1}{3}\))
= (- \(\frac{1}{2}\))
= \(\frac{-3}{6}\)

=

(iv) 4u² + 8u
ઉત્તરઃ
= 4u (u + 2)
4u² + 8u = 0 લેતાં, 4u = 0 અથવા u + 2 = 0, એટલે કે, u = 0 અથવા u = – 2.
માટે બહુપદી 4u² + 8 નાં શૂન્યો 0 અને -2 થાય.
હવે,
શૂન્યોનો સરવાળો = 0 + (-2) = -2
= \(\frac{-8}{4}\)

=

અને શૂન્યોનો ગુણાકાર = (0) (-2) = 0
= \(\frac{0}{4}\)

=

નોંધઃ બહુપદી 4u² + 8u = 4u² + 8u + 0માં અચળ પદ 0 છે.

(v) t² – 15
ઉત્તરઃ
= (t)² – (\(\sqrt{15}\))²
= (t + \(\sqrt{15}\)) (t – \(\sqrt{15}\))
t – 15 = 0 લેતાં, t + \(\sqrt{15}\) = 0 અથવા t – \(\sqrt{15}\) = 0 એટલે કે,
t = – \(\sqrt{15}\) અથવા t = \(\sqrt{15}\).

માટે બહુપદી t² – 15નાં શૂન્યો – \(\sqrt{15}\) અને \(\sqrt{15}\) થાય.
હવે,
શૂન્યોનો સરવાળો = (-\(\sqrt{15}\)) + (\(\sqrt{15}\))
= 0
= \(\frac{-0}{1}\)

=

અને
જોનો ગુણાકાર = (-\(\sqrt{15}\)) (\(\sqrt{15}\))
= – 15
= \(-\frac{15}{1}\)

=

નોંધઃ બહુપદી t² – 15 = t² + 0t – 15માં નો સહગુણક 0 છે.

(vi) 3x² – x – 4
ઉત્તરઃ
= 3x² + 3x – 4x – 4
= 3x (x + 1) – 4 (x + 1) = (x + 1) (3x – 4)

3x² – x – 4 = લેતાં, x + 1 = 0 અથવા 3x – 4 = 0 એટલે કે, x = – 1 અથવા x = \(\frac{4}{3}\). મ
ાટે બહુપદી 3x² x – 4 નાં શૂન્યો -1 અને \(\frac{4}{3}\) થાય.
હવે, શૂન્યોનો સરવાળો = (-1) + \(\frac{4}{3}\)
= \(\frac{1}{3}\)
= \(-\frac{(-1)}{3}\)

=
–
અને
શૂન્યોનો ગુણાકાર = (- 1) + \(\frac{4}{3}\)
= \(-\frac{4}{3}\)

=

પ્રશ્ન 2.
નીચે દર્શાવેલ સંખ્યાઓ અનુક્રમે દ્વિઘાત બહુપદીનાં શૂન્યોનો સરવાળો અને શૂન્યોનો ગુણાકાર છે. તે પરથી દ્વિઘાત બહુપદી મેળવોઃ
(i) \(\frac{1}{4}\), – 1
(ii) √2, \(\frac{1}{3}\)
(iii) 0, √5
(iv) 1, 1
(v) \(-\frac{1}{4}\), \(\frac{1}{4}\)
(vi) 4, 1

(i) \(\frac{1}{4}\), – 1
ઉત્તરઃ
ધારો કે, માગેલ દ્વિઘાત બહુપદી ax² + bx + cનાં શૂન્યો a અને B છે.
આપેલ માહિતી મુજબ,
α + β = \(\frac{1}{4}=\frac{-b}{a}\) અને αβ = – 1 = \(\frac{c}{a}\)
જો a = 4, તો b = – 1 અને c = – 4. આથી આપેલ શરતને અનુરૂપ એક દ્વિઘાત બહુપદી 4x² – x – 4 છે.
કોઈ પણ શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યા k માટે k(4x² – x – 4) સ્વરૂપની દરેક બહુપદી આપેલ શરતને અનુરૂપ બહુપદી છે.

(ii) √2, \(\frac{1}{3}\)
ઉત્તરઃ
ધારો કે, માગેલ દ્વિઘાત બહુપદી ax² + bx + cનાં શૂન્યો α અને β છે.
આપેલ માહિતી મુજબ,
α + β = √2 = \(\frac{-b}{a}\) અને αβ = \(\frac{1}{3}=\frac{c}{a}\)
જો a = 3, તો b = -3√2 અને c = 1.
આથી આપેલ શરતને અનુરૂપ એક દ્વિઘાત બહુપદી 3x² – 3√2x + 1 છે.
કોઈ પણ શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યા k માટે k (3x² – 3√2 x + 1) સ્વરૂપની દરેક બહુપદી આપેલ શરતને અનુરૂપ બહુપદી છે.

(iii) 0, √5
ઉત્તરઃ
ધારો કે, માગેલ દ્વિઘાત બહુપદી ax² + bx + cનાં શૂન્યો α અને β છે.
આપેલ માહિતી મુજબ,
α + β = 0 = \(\frac{-b}{a}\) અને αβ = √5 = \(\frac{c}{a}\)
જો a = 1, તો b = 0 અને c = √5.
આથી આપેલ શરતને અનુરૂપ એક દ્વિઘાત બહુપદી x² + √5 છે.
કોઈ પણ શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યા k માટે k (x² + √5) સ્વરૂપની દરેક બહુપદી આપેલ શરતને અનુરૂપ બહુપદી છે.

 

(iv) 1, 1
ઉત્તરઃ
ધારો કે, માગેલ દ્વિઘાત બહુપદી ax² + bx + cનાં શૂન્યો α અને β છે.
આપેલ માહિતી મુજબ,
α + β = 1 = \(\frac{-b}{a}\) અને αβ = 1 = \(\frac{c}{a}\)
જો a = 1, તો b = – 1 અને c = 1.
આથી આપેલ શરતને અનુરૂપ એક દ્વિઘાત બહુપદી x² – x + 1 છે.
કોઈ પણ શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યા k માટે k (x² – x + 1) સ્વરૂપની દરેક બહુપદી આપેલ શરતને અનુરૂપ બહુપદી છે.

(v) \(-\frac{1}{4}\), \(\frac{1}{4}\)
ઉત્તરઃ
ધારો કે, માગેલ દ્વિઘાત બહુપદી ax² + bx + cનાં શૂન્યો α અને β છે.
આપેલ માહિતી મુજબ,
α + β = 1 = \(-\frac{1}{4}=\frac{-b}{a}\) અને αβ = \(\frac{1}{4}=\frac{c}{a}\)
જો a = 4, તો b = 1 અને c = 1. આથી આપેલ શરતને અનુરૂપ એક દ્વિઘાત બહુપદી 4x² + x + 1 છે. કોઈ પણ શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યા kમાટે k(4x² + x + 1)
સ્વરૂપની દરેક બહુપદી આપેલ શરતને અનુરૂપ બહુપદી છે.

(vi) 4, 1
ઉત્તરઃ
ધારો કે, માગેલ દ્વિઘાત બહુપદી ax² + bx + cનાં શૂન્યો α અને β છે.
આપેલ માહિતી મુજબ,
α + β = 4 = \(\frac{-b}{a}\) અને αβ = 1 = \(\frac{c}{a}\)
જો a = 1, તો b = – 4 અને c = 1. આથી આપેલ શરતને અનુરૂપ એક દ્વિઘાત બહુપદી x² – 4x + 1 છે.
કોઈ પણ શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યા kમાટે k(x² – 4x + 1) સ્વરૂપની દરેક બહુપદી આપેલ શરતને અનુરૂપ બહુપદી છે.