Gujarat Board GSEB Solutions Class 10 Maths Chapter 3 દ્વિચલ સુરેખ સમીકરણયુગ્મ Ex 3.4 Textbook Questions and Answers.
Gujarat Board Textbook Solutions Class 10 Maths Chapter 3 દ્વિચલ સુરેખ સમીકરણયુગ્મ Ex 3.4
પ્રશ્ન 1.
નીચેનાં સુરેખ સમીકરણયુગ્મનો ઉકેલ લોપની રીતે અને આદેશની રીતે શોધોઃ
(i) x + y = 5 અને 2x – 3y = 4
(ii) 3x + 4y = 10 અને 2x – 2y = 2
(iii) 3x – 5y – 4 = 0 અને 9x = 29 + 7
(iv) \(\frac{x}{2}+\frac{2 y}{3}\) = – 1 અને x – \(\frac{y}{3}\) = 3
ઉત્તરઃ
(i) લોપની રીત:
x + y = 5 ……….. (1)
2x – 30 = 4 ……….. (2)
સમીકરણ (1)ને 3 વડે અને સમીકરણ (2)ને 1 વડે ગુણતાં નીચેનાં સમીકરણ મળે :
3x + 3y = 15
2x – 3y = 4 ……………. (4)
સમીકરણો (3) અને (4)નો સરવાળો લેતાં,
(3x + 3y) + (2x – 3y) = 15 + 4
∴ 5x = 19.
∴ x = \(\frac{19}{5}\)
સમીકરણ (1)માં x = \(\frac{19}{5}\) મૂકતાં,
\(\frac{19}{5}\) + y = 5
∴ y = 5 – \(\frac{19}{5}\)
y = \(\frac{6}{5}\)
આમ, આપેલ સમીકરણયુગ્મનો ઉકેલ x = \(\frac{19}{5}\), y = \(\frac{6}{5}\) છે.
આદેશની રીતઃ
x + y = 5 ………..(1)
2x – 3y = 4 …………(2)
સમીકરણ (1)માંથી y = 5 – x મળે.
સમીકરણ (2)માં y = 5 – x મૂકતાં,
2x – 3 (5 – x) = 4.
∴ 2x – 15 + 3x = 4
∴ 5x = 19
∴ x = \(\frac{19}{5}\)
y = 5 – xમાં x = \(\frac{19}{5}\) મૂકતાં,
y = 5 – \(\frac{19}{5}\)
∴ y = \(\frac{6}{5}\)
આમ, આપેલ સમીકરણયુગ્મનો ઉકેલ x = \(\frac{19}{5}\), y = \(\frac{6}{5}\) છે.
(ii) લોપની રીતઃ
3x + 4y = 10 ………….(1)
2x – 2y = 2 …………(2)
સમીકરણ (1)ને 1 વડે અને સમીકરણ (2)ને 2 વડે ગુણતાં નીચેનાં સમીકરણ મળે:
3x + 4y = 10 …………(3)
4x – 4y = 4 …………..(4)
સમીકરણો (3) અને (4)નો સરવાળો લેતાં,
(3x + 4y) + (4x – 4y) = 10 + 4
∴ 7x = 14
∴ x = 2
સમીકરણ (1)માં x = 2 લેતાં,
3(2) + 4y = 10
∴ 4y = 10 – 6
∴ 4y = 4
∴ y = 1 આમ, આપેલ સમીકરણયુગ્મનો ઉકેલ x = 2, y = 1 છે.
આદેશની રીત:
3x + 4y = 10 ………. (1)
2x – 2y = 2 ………… (2)
સમીકરણ (2)માંથી 2x = 2y + 2,
એટલે કે, x = y + 1 મળે.
સમીકરણ (1)માં x = y + 1 મૂકતાં,
3(y + 1) + 4y = 10
∴ 3y + 3 + 4y = 10
∴ 7y = 7
∴ y = 1
x = y + 1માં y = 1 મૂકતાં,
x = 1 + 1
∴ x = 2.
આમ, આપેલ સમીકરણયુગ્મનો ઉકેલ x = 2, y = 1 છે.
(iii) લોપની રીતઃ
3x – 5y – 4 = 0 ……..(1)
9x = 2y + 7 ……….. (2)
એટલે કે, 3x – 5y = 4 ……….. (3)
9x – 2y = 7 …………(4)
સમીકરણ (3)ને 3 વડે અને સમીકરણ (4)ને 1 વડે ગુણતાં,
9x – 15y = 12 ………. (5)
9x – 2y = 7
સમીકરણ (6)માંથી સમીકરણ (5) બાદ કરતાં,
(9x – 2y) – (9x – 15y) = 7 – 12
∴ 9x – 2y – 9x + 15y = – 5
∴ 13y = -5
∴ y = – \(\frac{5}{13}\)
સમીકરણ (5)માં y = – \(\frac{5}{13}\) મૂકતાં,
9x – 15(-\(\frac{5}{13}\)) = 12
∴ 9x + \(\frac{75}{13}\) = 12
∴ 9x = 12 – \(\frac{75}{13}\)
∴ x = \(\frac{81}{13}\)
∴ x = \(\frac{9}{13}\)
આમ, આપેલ સમીકરણયુગ્મનો ઉકેલ x = \(\frac{9}{13}\), y = – \(\frac{5}{13}\) છે.
આદેશની રીતઃ
3x – 5y – 4 = 0 ………..(1)
9x = 2y + 7 …………..(2)
સમીકરણ (2)માંથી x = \(\frac{2 y+7}{9}\) મળે.
સમીકરણ 10માં x = \(\frac{2 y+7}{9}\) મૂકતાં,
3(\(\frac{2 y+7}{9}\)) – 5y – 4 = 0
∴ \(\frac{2 y+7}{9}\) – 5y – 4 = 0
∴ 2y + 7 – 15y – 12 = 0 (3 વડે ગુણતાં)
∴ – 13y – 5 = 0
∴ – 13y = 5
∴ y = – \(\frac{5}{13}\)
x = \(\frac{2 y+7}{9}\) માં y = – \(\frac{5}{13}\) મૂકતાં,
x = \(\frac{2\left(-\frac{5}{13}\right)+7}{9}\)
x = \(\frac{-\frac{10}{13}+7}{9}\)
x = \(\frac{\frac{81}{13}}{9}\)
x = \(\frac{81}{13} \times \frac{1}{9}\)
∴ x = \(\frac{9}{13}\)
આમ, આપેલ સમીકરણયુગ્મનો ઉકેલ x = \(\frac{9}{13}\), y = – \(\frac{5}{13}\) છે.
(iv) લોપની રીત:
\(\frac{x}{2}+\frac{2 y}{3}\) = – 1 ……………(1)
x – \(\frac{y}{3}\) = 3 …………(2)
સમીકરણ (1)ને 3 વડે અને સમીકરણ (2)ને 6 વડે ગુણતાં,
\(\frac{3}{2}\) x + 2y = – 3 …………. (3)
6x – 2y = 18 …………. (4)
સમીકરણો (3) અને (4)નો સરવાળો લેતાં,
(\(\frac{3}{2}\)x + 2y) + (6x – 2y) = – 3 + 18
∴ \(\frac{15}{2}\) x = 15
∴ x = 2
સમીકરણ (3)માં x = 2 મૂકતાં,
\(\frac{3}{2}\) (2) + 2y = – 3
∴ 3 + 2y = – 3
∴ 2y = – 6
∴ y = – 3.
આમ, આપેલ સમીકરણયુગ્મનો ઉકેલ x = 2, y = – ૩ છે.
આદેશની રીત:
\(\frac{x}{2}+\frac{2 y}{3}\) = – 1 ……………(1)
x – \(\frac{y}{3}\) = 3 …………(2)
સમીકરણ (2)માંથી x = \(\frac{y}{3}\) + 1 મળે.
સમીકરણ (1)માં x = \(\frac{y}{3}\) + 1 મૂકતાં,
y = \(\frac{-5}{2} \times \frac{6}{5}\)
∴ y = – 3
x = \(\frac{y}{3}\) + 3માં y = -3મૂકતાં,
x = \(\frac{-3}{3}\) + 3
∴ x = – 1 + 3
∴ x = 2
આમ, આપેલ સમીકરણયુગ્મનો ઉકેલ x = 2, y = – 3 છે.
પ્રશ્ન 2.
આપેલી સમસ્યાઓ પરથી સુરેખ સમીકરણયુગ્મ બનાવો અને તેમના ઉકેલો (જો શક્ય હોય તો) લોપની રીતે શોધોઃ
(i) એક અપૂર્ણાકના અંશમાં 1 ઉમેરતાં અને છેદમાંથી 1 બાદ કરતાં અપૂર્ણાક કિંમત અતિસંક્ષિપ્ત રૂપમાં 1 બને છે. જો માત્ર છેદમાં 1 ઉમેરતાં અપૂર્ણાકનું અતિસંક્ષિપ્ત સ્વરૂપ \(\frac{1}{2}\) બને, તો તે અપૂર્ણાંક શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, માગેલ અપૂર્ણાકનો અંશ x અને છેદ ઇ છે. આથી માગેલ અપૂર્ણાંક = \(\frac{x}{y}\)
પ્રશ્નમાં આપેલ પ્રથમ શરત મુજબ,
\(\frac{x+1}{y-1}\) = 1
∴ x + 1 = y – 1 .
∴ x – y = – 2
પ્રશ્નમાં આપેલ દ્વિતીય શરત મુજબ,
\(\frac{x}{y+1}=\frac{1}{2}\)
∴ 2x = y + 1
∴ 2x – y = 1 ………… (2)
સમીકરણ (2)માંથી સમીકરણ (1) બાદ કરતાં,
(2x – y) – (x – y) = 1 – (-2)
2x – y – x + y = 3
∴ x = 3
સમીકરણ (1)માં x = 3 મૂકતાં,
3 – y = – 2
∴ – y = – 2 – 3
∴ – y = – 5
∴ y = 5
આથી માગેલ અપૂર્ણાંક = \(\frac{x}{y}=\frac{3}{5}\)
આમ, માહિતી પરથી મળતું સુરેખ સમીકરણયુગ્મ x – y = – 2 અને 2x – y = 1 છે તથા માગેલ અપૂર્ણાંક \(\frac{3}{5}\) છે.
(ii) પાંચ વર્ષ પહેલા, નૂરીની ઉંમર સોનુની ઉંમરથી ત્રણ ગણી હતી. દસ વર્ષ પછી નૂરીની ઉંમર સોનુની ઉંમરથી બે ગણી થશે, તો નૂરી અને સોનુની વર્તમાન ઉંમર કેટલી થશે?
ઉત્તરઃ
ધારો કે, નૂરીની વર્તમાન ઉંમર x વર્ષ અને સોનુની વર્તમાન ઉંમર y વર્ષ છે.
આથી પાંચ વર્ષ પહેલાં, નૂરીની ઉંમર (x – 5) વર્ષ અને સોનુની ઉંમર (y – 5) વર્ષ હતી.
તો, પ્રથમ શરત મુજબ,
(x – 5) = 3 (y – 5)
∴ x – 5 = 30 – 15
∴ x – 30 = – 10 ………….(1)
તે જ રીતે, દસ વર્ષ પછી, નૂરીની ઉંમર (x + 10) વર્ષ અને સોનુની ઉંમર (y + 10) વર્ષ થશે.
તો, દ્વિતીય શરત મુજબ,
x + 10 = 2 (y + 10)
∴ x + 10 = 2 + 20
∴ x – 2y = 10 …………… (2)
સમીકરણ (2)માંથી સમીકરણ (1) બાદ કરતાં,
(x – 2y) – (x – 3y) = 10 – (-10)
∴ x – 2y – x + 3y = 10 + 10
∴ y = 20
સમીકરણ (2)માં પુ = 20 મૂકતાં,
x – 2 (20) = 10
∴ x – 40 = 10
∴ x = 50
આમ, માહિતી પરથી મળતું સુરેખ સમીકરણયુગ્મ x – 3y = -10 અને x – 2y = 10 છે તથા નૂરી અને સોનુની વર્તમાન ઉંમર અનુક્રમે 50 વર્ષ અને 20 વર્ષ છે.
(iii) બે અંકોની સંખ્યાના અંકોનો સરવાળો 9 છે. વળી સંખ્યાના નવ ગણા કરતાં મળતી સંખ્યા એ અંકોની અદલાબદલી કરતાં મળતી સંખ્યા કરતાં બે ગણી છે, તો તે સંખ્યા શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, મૂળ સંખ્યામાં દશકનો અંક x અને એકમનો અંક યુ છે.
આથી મૂળ સંખ્યા = 10x + y
તો, પ્રથમ શરત મુજબ, x + y = 9
અંકોની અદલાબદલી કરતાં મળતી સંખ્યામાં દશકનો અંક અને એકમનો અંક x થાય.
આથી નવી સંખ્યા = 10y + x.
તો, દ્વિતીય શરત મુજબ,
9 (10x + y) = 2 (10y + x)
∴ 90x + 9y = 20y + 2x
∴ 88x – 11 = 0
∴ 8x – y = 0 (11 વડે ભાગતાં) ……….. (2)
સમીકરણો (1) અને (2)નો સરવાળો લેતાં,
(x + y) + (8x – y) = 9 + 0
∴ 9x = 9
∴ x = 1
સમીકરણ (1)માં x = 1 મૂક્તાં, ‘
1 + y = 9
∴ y = 8
આથી મૂળ સંખ્યા = 10x + y
= 10 (1) + 8 = 18
આમ, માહિતી પરથી મળતું સુરેખ સમીકરણયુગ્મ x + y = 9 અને 8x – y = 0 છે તથા માગેલ સંખ્યા 18 છે.
(iv) મીના ૨2000 ઉપાડવા બૅન્કમાં ગઈ હતી. તેણે કેશિયરને કહ્યું હતું કે મને માત્ર 50 અને 1000ની નોટો જ જોઈએ છે. મીનાને કુલ 25 નોટો મળી હતી, તો તેણે 50 અને 100ની પ્રત્યેકની કેટલી કેટલી નોટો મેળવી હશે?
ઉત્તરઃ
ધારો કે, મીનાને 50ની x નોટો અને 100ની U નોટો મળી હોય.
આથી તેને મળેલ કુલ રકમ = ₹ (50x + 100y)
પરંતુ, પ્રથમ શરત મુજબ તેને કુલ ₹ 2000 મળેલ છે.
50x + 100y = 2000
∴ x + 2y = 40 (50 વડે ભાગતા) ….. (1)
દ્વિતીય શરત મુજબ તેને કુલ 25 નોટો મળી છે.
∴ x + y = 25 …………. (2)
સમીકરણ (1)માંથી સમીકરણ (2) બાદ કરતાં, (x + 2y) – (x + y) = 40 -25
∴ y = 15
સમીકરણ (2)માં y = 15 મૂકતાં,
x + 15 = 25
∴ x = 10
આમ, માહિતી પરથી મળતું સુરેખ સમીકરણયુગ્મ x + 2y = 40 અને x + y = 25 છે તથા મીનાએ ₹ 50ની 10 નોટો તથા ₹ 100ની 15 નોટો મેળવી હશે.
(v) એક પ્રતિષ્ઠિત પુસ્તકાલય પ્રથમ ત્રણ દિવસનું એક પુસ્તકનું નિશ્ચિત ભાડું લે છે અને પછીના પ્રત્યેક દિવસદીઠ અતિરિક્ત ભાડું લે છે. સરિતા સાત દિવસ પુસ્તક રાખવાના ₹ 27 ચૂકવે છે. સુસી પાંચ દિવસ પુસ્તક રાખવાના ₹ 21 ચૂકવે છે, તો નિશ્ચિત ભાડું અને પ્રત્યેક વધારાના દિવસનું ભાડું શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, પ્રથમ ત્રણ દિવસનું નિશ્ચિત ભાડું ₹ x અને પ
્રથમ ત્રણ દિવસ પછીના વધારાના દિવસો માટે દિવસદીઠ ભાડું ₹ y છે.
સરિતા 7 દિવસ પુસ્તક રાખે છે.
આથી સરિતાને 4 દિવસ (7 – 3) માટેનું વધારાનું ભાડું ચૂકવવું પડે.
આથી આપણને સરિતા માટે નીચેનું સમીકરણ મળે
x + 4y = 27 ……………. (1)
સુસી 5 દિવસ પુસ્તક રાખે છે.
આથી સુસીને 2 દિવસ (5 – 3) માટેનું વધારાનું ભાડું ચૂકવવું પડે. આથી આપણને સુસી માટે નીચેનું સમીકરણ મળે :
x + 2y = 21 …………. (2)
સમીકરણ (1)માંથી સમીકરણ (2) બાદ કરતાં,
(x + 4y) – (x + 2y) = 27 – 21
∴ 2y = 6
∴ y = 3 સમીકરણ (1)માં y = 3 મૂકતાં,
x + 4 (3) = 27
∴ x + 12 = 27
∴ x = 15. આમ, માહિતી પરથી મળતું સુરેખ સમીકરણયુગ્મ x + 4y = 27 અને x + 2y = 21 છે તથા પ્રથમ ત્રણ દિવસનું નિશ્ચિત ભાડું ₹ 15 અને પ્રત્યેક વધારાના દિવસનું ભાડું ₹ ૩ છે.