Gujarat Board GSEB Solutions Class 10 Maths Chapter 3 દ્વિચલ સુરેખ સમીકરણયુગ્મ Ex 3.6 Textbook Questions and Answers.
Gujarat Board Textbook Solutions Class 10 Maths Chapter 3 દ્વિચલ સુરેખ સમીકરણયુગ્મ Ex 3.6
પ્રશ્ન 1.
નીચેના સમીકરણયુગ્મને યોગ્ય આદેશ વડે સુરેખ સમીકરણયુગ્મમાં રૂપાંતરિત કરીને તેમનો ઉકેલ મેળવોઃ
(i) \(\frac{1}{2 x}+\frac{1}{3 y}\) = 2
\(\frac{1}{3 x}+\frac{1}{2 y}=\frac{13}{6}\)
(ii) \(\frac{2}{\sqrt{x}}+\frac{3}{\sqrt{y}}\) = 2
\(\frac{4}{\sqrt{x}}-\frac{9}{\sqrt{y}}\) = -1
(iii) \(\frac{4}{x}\) + 3y = 14
\(\frac{3}{x}\) – 4y = 23
(iv) \(\frac{5}{x-1}+\frac{1}{y-2}\) = 2
\(\frac{6}{x-1}-\frac{3}{y-2}\) = 1
(v) \(\frac{7 x-2 y}{x y}\) = 5
\(\frac{8 x+7 y}{x y}\) = 15
(vi) 6x + 3y = 6xy
2x + 4y = 5xy
(vii) \(\frac{10}{x+y}+\frac{2}{x-y}\) = 4
\(\frac{15}{x+y}-\frac{5}{x-y}\) = – 2
(viii) \(\frac{1}{3 x+y}+\frac{1}{3 x-y}=\frac{3}{4}\)
\(\frac{1}{2(3 x+y)}-\frac{1}{2(3 x-y)}=-\frac{1}{8}\)
ઉત્તરઃ
\(\frac{1}{2 x}+\frac{1}{3 y}\) = 2 ……………(1)
\(\frac{1}{3 x}+\frac{1}{2 y}=\frac{13}{6}\) …………..(2)
\(\frac{1}{x}\) = a અને \(\frac{1}{y}\) = b આદેશ લેતાં,
\(\frac{1}{2}\) a + \(\frac{1}{3}\) b = 2 …………(3)
\(\frac{1}{3}\) a + \(\frac{1}{2}\) b = \(\frac{13}{6}\) …………..(4)
બંને સમીકરણને 6 વડે ગુણતાં,
3a + 2b = 12 …………..(5)
2a + 3b = 13 …………..(6)
સમીકરણો (5) અને (6) નો સરવાળો લેતાં,
5a + 5b = 25
∴ a + b = 5 ………… (7)
સમીકરણ (5)માંથી સમીકરણ (6) બાદ કરતાં,
a – b = -1 ………… (8)
સમીકરણ (7) અને સમીકરણ (8) નો ઉકેલ a = 2 અને b = 3 સહેલાઈથી મળે.
હવે, a = \(\frac{1}{x}\) = 2 અને b = \(\frac{1}{y}\) = 3
∴ x = \(\frac{1}{2}\); અને y = \(\frac{1}{3}\)
આમ, આપેલ સમીકરણયુગ્મનો ઉકેલ x = \(\frac{1}{2}\), y = \(\frac{1}{3}\) છે.
(ii) \(\frac{2}{\sqrt{x}}+\frac{3}{\sqrt{y}}\) = 2 ………….(1)
\(\frac{4}{\sqrt{x}}-\frac{9}{\sqrt{y}}\) = – 1 ……………(2)
\(\frac{1}{\sqrt{x}}\) = a અને \(\frac{1}{\sqrt{y}}\) = b આદેશ લેતાં,
2a + 3b = 2 ……………(3)
4a – 9b = – 1 ……………(4)
સમીકરણ (3)ને 3 વડે ગુણતાં,
6a + 9b = 6 ……………(5)
સમીકરણો (4) અને (5)નો સરવાળો લેતાં,
(4a – 9b) + (6a + 9b) = – 1 + 6.
∴ 10a = 5
∴ a = \(\frac{1}{2}\)
સમીકરણ (3)માં a = \(\frac{1}{2}\) મૂકતાં,
2 (\(\frac{1}{2}\)) + 3b = 2
∴ 1 + 3b = 2
∴ 3b = 1
∴ b = \(\frac{1}{3}\) હવે, a = \(\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{1}{2}\)
2 = √x
x = 4 વળી, b = \(\frac{1}{\sqrt{y}}=\frac{1}{3}\)
∴ 3 = √y
y = 9.
આમ, આપેલ સમીકરણયુગ્મનો ઉકેલ x = 4, 9 = 9 છે.
(iii) \(\frac{4}{x}\) + 3y = 14 …………… (1)
\(\frac{3}{x}\) – 4y = 23 …………… (2)
\(\frac{1}{x}\) = a આદેશ લેતાં,
4a + 3y = 14 …………… (3)
3a – 4y = 23 …………… (4)
સમીકરણ (3) ને 4 વડે તથા સમીકરણ (4) ને ૩ વડે ગુણી તેઓનો સરવાળો લેતાં,
4 (4a + 3b) + 3(3a – 4b) = 4(14) + 3(23)
∴ 16a + 12y + 9a – 12y = 56 + 69
25a = 125
∴ a = 5
હવે, a = \(\frac{1}{x}\) = 5
x = \(\frac{1}{5}\)
સમીકરણ (1)માં x = \(\frac{1}{5}\) મૂકતાં,
\(\frac{4}{\left(\frac{1}{5}\right)}\) + 3y = 14
∴ 20 + 3y = 14
∴ 3y = – 6
y = – 2
આમ, આપેલ સમીકરણયુગ્મનો ઉકેલ x = \(\frac{1}{5}\), y = – 2 છે.
(iv) \(\frac{5}{x-1}+\frac{1}{y-2}\) = 2 …………..(1)
\(\frac{6}{x-1}-\frac{3}{y-2}\) = – 1 …………..(2)
\(\frac{1}{x-1}\) = a \(\frac{1}{y-2}\) = b આદેશ લેતાં,
સમીકરણ (3) ને 3 વડે ગુણી તેમાં સમીકરણ (4) ઉમેરતાં,
3 (5a + b) + (6a – 3b) = 3 (2) + 1
∴ 15a + 3b + 6a – 3b = 6 + 1
∴ 21a = 7
∴ a = \(\frac{1}{3}\)
સમીકરણ (4)માં a = \(\frac{1}{3}\) મૂક્તા,
6(\(\frac{1}{3}\)) – 3b = 1
∴ 2 – 3b = 1
∴ 1 = 3b
∴ b = \(\frac{1}{3}\)
હવે, a = \(\frac{1}{x-1}=\frac{1}{3}\)
∴ x – 1 = 3
∴ x = 4
વળી, b = \(\frac{1}{y-2}=\frac{1}{3}\),
∴ y – 2 = 3
∴ y = 5
આમ, આપેલ સમીકરણયુગ્મનો ઉકેલ x = 4, U = 5 છે.
(v) \(\frac{7 x-2 y}{x y}\) = 5
\(\frac{8 x+7 y}{x y}\) = 15
∴ \(\frac{7}{y}-\frac{2}{x}\) ……… (1) અને
\(\frac{8}{y}+\frac{7}{x}\) ………….. (2)
\(\frac{1}{y}\) = a અને \(\frac{4}{4}\) = b આદેશ લેતા,
7a – 2b = 5 ……… (3)
8a + 7b = 15 …… (4)
સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં દર્શાવતાં,
7a – 2b – 5 = 0 અને 8a + 7b – 15 = 0
a = 1 અને b = 1
હવે, a = \(\frac{1}{y}\) = 1 ∴ y = 1
અને b = \(\frac{1}{x}\) = 1 ∴ x = 1
આમ, આપેલ સમીકરણયુગ્મનો ઉકેલ x = 1, y = 1 છે.
(vi) 6x + 3y = 6xy
2x + 4y = 5xy
બને સમીકરણને ઝg વડે ભાગતાં,
\(\frac{6}{y}+\frac{3}{x}\) = 6 ………. (1)
\(\frac{2}{y}+\frac{4}{x}\) = 5 ………… (2)
\(\frac{1}{y}\) = a અને \(\frac{1}{x}\) = b આદેશ લેતાં,
6a + 3b = 6 એટલે કે,
2a + 4b = 2 …………… (3)
24 + 4b = 5 …………… (4)
સમીકરણ (4) માંથી સમીકરણ (3) બાદ કરતાં,
(2a + 4b) – (2a + b) = 5 – 2
∴ 3b = 3
∴ b = 1
સમીકરણ (3)માં b = 1 મૂકતાં,
2a + 1 = 2
∴ 2a = 1
∴ a = \(\frac{1}{2}\)
હવે, a = \(\frac{1}{y}\) ∴ y = 2 અને
b = \(\frac{1}{x}\) ∴ x = 1
આમ, આપેલ સમીકરણયુગ્મનો ઉકેલ x = 1, y = 2 છે.
(vii) \(\frac{10}{x+y}+\frac{2}{x-y}\) = 4 ……….(1)
\(\frac{15}{x+y}-\frac{5}{x-y}\) = – 2 …………….(2)
\(\frac{1}{x+y}\) = a અને \(\frac{1}{x-y}\) = b આદેશ લેતાં,
10a + 2b = 4 એટલે કે,
5a + b = 2 ……. (3)
15a – 5b = – 2 …….. (4)
સમીકરણ (3)ને 5 વડે ગુણી તેમાં સમીકરણ (4) ઉમેરતાં,
5 (5a + b) + (15a – 5b) = 5 (2) + (- 2)
∴ 25a + 5b + 15a – 5b = 10 – 2
∴ 40a = 8
∴ a = \(\frac{1}{5}\)
સમીકરણ (૩)માં a = \(\frac{1}{5}\) મૂકતાં,
5(\(\frac{1}{5}\)) + b = 2
∴ 1 + b = 2
∴ b = 1
હવે, a = \(\frac{1}{x+y}=\frac{1}{5}\)
∴ x + y = 5 ………..(5)
અને b = \(\frac{1}{x-y}\) =1
∴ x – y = 1 ………… (6)
સમીકરણો (5) અને (6)નો સરવાળો લેતાં,
2x = 6
∴ x = 3
સમીકરણ (5)માં x = 3 મૂકતાં,
3 + y = 5
∴ y = 2
આમ, આપેલ સમીકરણયુગ્મનો ઉકેલ x = 3, y = 2 છે.
(viii) \(\frac{1}{3 x+y}+\frac{1}{3 x-y}=\frac{3}{4}\)………(1)
\(\frac{1}{2(3 x+y)}-\frac{1}{2(3 x-y)}=-\frac{1}{8}\) ……….(2)
\(\frac{1}{3 x+y}\) = a અને \(\frac{1}{3 x-y}\) = b આદેશ લેતાં,
a + b = \(\frac{3}{4}\) ………. (3)
\(\frac{a}{2}-\frac{b}{2}=-\frac{1}{8}\)∴ a – b = \(-\frac{2}{8}\)
∴ a – b = \(-\frac{1}{4}\) ………. (4)
સમીકરણો (3) અને (4)નો સરવાળો લેતાં,
2a = 2
∴ a = 1
સમીકરણ (3)માં a = \(\frac{1}{4}\) મૂકતાં,
\(\frac{1}{4}\) + b = \(\frac{3}{4}\)
∴ b = \(\frac{1}{2}\)
હવે, a = \(\frac{1}{3 x+y}=\frac{1}{4}\)
∴ 3x + y = 4 …….. (5)
અને b = \(\frac{1}{3 x-y}=\frac{1}{2}\)
∴ 3x – y = 2 ……….. (6)
સમીકરણો (5) અને (6)નો સરવાળો લેતાં,
6x = 6 ∴ x = 1
સમીકરણ (5)માં x = 1 મૂકતાં,
3(1) + y = 4
∴ y = 1
આમ, આપેલ સમીકરણયુગ્મનો ઉકેલ x = 1, y = 1 છે.
પ્રશ્ન 2.
નીચેની સમસ્યાઓમાંથી સમીકરણયુગ્મ રચો અને તેમનો ઉકેલ શોધો :
(i) રીતુ પ્રવાહની દિશામાં 20 કિમી અંતર 2 કલાકમાં અને પ્રવાહની સામેની દિશામાં 4 કિમી અંતર 2 કલાકમાં કાપે છે. તેની સ્થિર પાણીમાં ઝડપ અને પ્રવાહની ઝડપ શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, રીતની સ્થિર પાણીમાં ઝડપ x કિમી/ કલાક છે અને પ્રવાહની ઝડપ y કિમી / કલાક છે. આથી પ્રવાહની દિશામાં રીતુની ઝડપ (x + y) કિમી/ કલાક થાય અને પ્રવાહની સામેની દિશામાં રીતુની ઝડપ (x – y) કિમી / કલાક થાય.
વળી, 
આથી પ્રથમ શરત અનુસાર,
2 = \(\frac{20}{x+y}\)
∴ x + y = 10 ……………(1)
દ્વિતીય શરત અનુસાર, 2 = \(\frac{4}{x-y}\),
x – y = 2 …………. (2)
સમીકરણો (1) અને (2)નો સરવાળો લેતાં,
2x = 12
x = 6
સમીકરણ (1)માં x = 6 મૂકતાં,
6 + y = 10
∴ y= 4 આમ, રીતુની સ્થિર પાણીમાં ઝડપ કિમી/કલાક છે અને પ્રવાહની ઝડપ 4કિમી/ કલાક છે.
(ii) 2 સ્ત્રીઓ અને 5 પુરુષો સાથે મળીને એક ભરતકામ 4 દિવસમાં પૂરું કરી શકે છે. જો 3 સ્ત્રીઓ અને 6 પુરુષોને તે જ કામ સોપવામાં આવે, તો તે કામ ૩ દિવસમાં પૂરું કરે છે. તો એક સ્ત્રીને સ્વતંત્ર રીતે કામ પૂરું કરતાં કેટલો સમય લાગે? એક પુરુષને સ્વતંત્ર રીતે કામ પૂરું કરતાં કેટલો સમય લાગે?
ઉત્તરઃ
ધારો કે, એક સ્ત્રીને સ્વતંત્ર રીતે કામ પૂરું કરતાં ૪ દિવસ લાગે અને એક પુરુષને સ્વતંત્ર રીતે કામ પૂરું કરતાં ૫ દિવસ લાગે છે.
1 સ્ત્રીએ 1 દિવસમાં કરેલ કામ = \(\frac{1}{x}\) ભાગનું કામ
અને 1 પુરુષે 1 દિવસમાં કરેલ કામ = \(\frac{1}{y}\) ભાગનું કામ.
આથી 2 સ્ત્રીઓ અને 5 પુરુષોએ સાથે મળીને 1 દિવસમાં કરેલ કામ = \(\frac{1}{4}\) ભાગનું કામ.
પરંતુ, પ્રથમ શરત મુજબ 2 સ્ત્રીઓ અને 5 પુરુષો સાથે મળીને તે કામ \(\frac{1}{4}\) દિવસમાં કરે છે, આથી તેઓ 1 દિવસમાં તે ભાગનું કામ કરે.
આથી \(\frac{2}{x}+\frac{5}{y}=\frac{1}{4}\) ………………(1)
તે જ રીતે, દ્વિતીય શરત મુજબ નીચેનું સમીકરણ મળે :
\(\frac{3}{x}+\frac{6}{y}=\frac{1}{3}\) ……….. (2)
\(\frac{1}{x}\) = a અને \(\frac{1}{y}\) = b આદેશ લેતાં,
2a + 5b = 1 ……….. (3)
3a + 6b = 1 ……….(4)
સમીકરણ (3)ને 6 વડે અને સમીકરણ (4)ને 5 વડે ગુણતાં,
12a + 30b = \(\frac{6}{4}\) ………. (5)
15a + 30b = \(\frac{5}{3}\) ……… (6)
સમીકરણ (6)માંથી સમીકરણ (5) બાદ કરતાં,
(15a + 30b) – (12a + 30b) = \(\frac{5}{3}-\frac{6}{4}\)
∴ 15a + 30b – 12a – 30b = \(\frac{20-18}{12}\)
∴ 3a = \(\frac{2}{12}\)
∴ a = \(\frac{1}{18}\)
સમીકરણ (૩)માં a = \(\frac{1}{18}\) મૂકતાં,
2 (\(\frac{1}{18}\) ) + 5b = \(\frac{1}{4}\)
∴ 5b = \(\frac{1}{4}-\frac{1}{9}\)
∴ 5b = \(\frac{5}{36}\)
∴ b = \(\frac{1}{36}\)
હવે, a = \(\frac{1}{x}=\frac{1}{18}\)
∴ x = 18
b = \(\frac{1}{y}=\frac{1}{36}\)
∴ y = 36
આમ, એક સ્ત્રીને સ્વતંત્ર રીતે કામ પૂરું કરતાં 18 દિવસ લાગે અને એક પુરુષને સ્વતંત્ર રીતે કામ પૂરું કરતાં 36 દિવસ લાગે.
(iii) રૂહી તેના વતન જવા માટે 300 કિમીની મુસાફરી અંશતઃ
ટ્રેન દ્વારા અને અંશતઃ બસ દ્વારા કરે છે. જો તે 60 કિમી મુસાફરી ટ્રેન દ્વારા અને બાકીની મુસાફરી બસ દ્વારા કરે, તો તેને વતન પહોંચતા 4 કલાક લાગે છે. જો તે ટ્રેન દ્વારા 100 કિમી અને બાકીની મુસાફરી બસ દ્વારા કરે, તો તેને વતન પહોંચતા 10 મિનિટ વધારે લાગે છે, તો ટ્રેન અને બસની પ્રતિકલાક સરેરાશ ઝડપ શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, ટ્રેનની સરેરાશ ઝડપ x કિમી / ક્લાક અને બસની સરેરાશ ઝડપ y કિમી/ કલાક છે.
વળી,
પ્રથમ કિસ્સામાં, ટ્રેનમાં કાપેલ અંતર = 60 કિમી અને બસમાં કાપેલ અંતર = 300 – 60 = 240 કિમી .
∴ ટ્રેનની મુસાફરી માટે લાગેલ સમય = \(\frac{60}{x}\)
ક્લાક અને બસની મુસાફરી માટે લાગેલ સમય = \(\frac{240}{y}\) કલાક
∴ મુસાફરીનો કુલ સમય = (\(\frac{60}{x}\) + \(\frac{240}{y}\)) કલાક
પ્રથમ કિસ્સામાં તેને લાગતો સમય 4 કલાક છે.
∴ \(\frac{60}{x}\) + \(\frac{240}{y}\) = 4 …….. (1)
તે જ રીતે, બીજા કિસ્સામાં, ટ્રેનમાં કાપેલ અંતર = 100 કિમી
અને બસમાં કાપેલ અંતર = 300 – 100 = 200 કિમી
અને તે મુસાફરી માટે લાગતો સમય \(\frac{100}{x}\) કલાક તેમજ \(\frac{200}{y}\) કલાક થાય.
બીજા કિસ્સામાં તેને લાગતો સમય = 4 કલાક + 10 મિનિટ = 4\(\frac{1}{6}\) કલાક
આથી \(\frac{100}{x}+\frac{200}{y}=4 \frac{1}{6}\)
∴ \(\frac{100}{x}+\frac{200}{y}=\frac{25}{6}\) ……………. (2)
\(\frac{1}{x}\) = a અને \(\frac{1}{y}\) = b આદેશ લેતાં,
60a + 240b = 4 ………………(3)
100a + 200b = 88 ………….. (4)
સમીકરણ (3)ને 5 વડે અને સમીકરણ (4) ને 6 વડે ગુણતાં,
300a + 1200b = 20 ………..(5)
600a + 1200b = 25 ………. (6)
સમીકરણ (6)માંથી સમીકરણ (5) બાદ કરતાં,
(60oa + 1200b) – (300a + 1200b) = 25 – 20
∴ 300a = 5
∴ a = \(\frac{1}{60}\)
સમીકરણ (3)માં a = \(\frac{1}{60}\) મૂકતાં,
60(\(\frac{1}{60}\)) + 240b = 4
∴ 1 + 240b = 4
∴ 240b = 3
∴ b = \(\frac{1}{80}\)
હવે, a = \(\frac{1}{x}=\frac{1}{60}\)
∴ x = 60
અને b = \(\frac{1}{y}=\frac{1}{80}\)
∴ y = 80
આમ, ટ્રેનની સરેરાશ ઝડપ 60 કિમી/ કલાક છે અને બસની સરેરાશ ઝડપ 80 કિમી/ કલાક છે.