GSEB Solutions Class 11 Statistics Chapter 6 क्रमचय, संचय और द्विपद विस्तार Ex 6.1

Gujarat Board Statistics Class 11 GSEB Solutions Chapter 6 क्रमचय, संचय और द्विपद विस्तार Ex 6.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 11 Statistics Chapter 6 क्रमचय, संचय और द्विपद विस्तार Ex 6.1

प्रश्न 1.
निम्नलिखित के मूल्य ज्ञात कीजिए ।
(1) ¹⁰P₃
(2) ⁵⁰P₂
(3) ⁸P₇
(4) ⁹P₉
उत्तर :
(1) ¹⁰P₃
∴ ¹⁰P₃ = \(\frac{10 !}{(10-3) !}=\frac{10 !}{7 !}=\frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 !}{7 !}\) = 720

वैकल्पिक रीत :
ⁿP_r की परिभाषा के अनुसार ⁿP_r = n(n – 1) (n – 2) …. (n – r + 1) n = 10, r = 3 रखने पर
¹⁰P₃ = 10 (10 – 1) (10 – 2) = 10 × 9 × 8
= 720

(2) ⁵⁰P₂
ⁿP_r की परिभाषा के अनुसार
ⁿP₂ = n (n – 1)
∴ ⁵⁰P₂ = 50 (50 – 1) = 50 × 49
= 2450

(3) ⁿP_r
की परिभाषा के अनुसार
⁸P₇ = n (n – 1) (n – 2) (n – 3) (n – 4) (n – 5) (n – 6)
⁸P₇ = 8 (8 – 1) (8 – 2) (8 – 3) (8 – 4) (8 – 5) (8 – 6)
= 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2
= 40320

(4) ⁹P₉ महत्त्व के परिणाम के अनुसार
ⁿP_n = n!
∴ ⁹P₉ = 9!
∴ 9! = 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 362880

प्रश्न 2.
ⁿP₃ = 990 हो, तो n का मूल्य ज्ञात करो ।
उत्तर :
ⁿP_r की परिभाषा के अनुसार
ⁿP₃ = n(n – 1) (n – 2)
∴ n (n – 1) (n – 2) = 990
अब हम विचार करेंगे की ऐसी कौन-सी तीन क्रमिक मूल्य है कि जिसका गुणाकार 990 होगा ? तो हल प्राप्त होगा ।
11 × 10 × 9 उसे निम्नस्वरूप में लिखेंगे ।
∴ n (n – 1) (n – 2) = 11 × 10 × 9
∴ n = 11 = 11 (11 – 1) (11 – 2)

प्रश्न 3.
⁹P_r = 3024 हो, तो r का मूल्य ज्ञात करो ।
उत्तर :
परिभाषा के अनुसार ⁿP_r = n (n – 1)….. (n – r + 1)
∴ ⁹P_r = 3024
9 × 8 × 7 × 6 = 3024
∴ ⁹P₄ = 3024
∴ r = 4

प्रश्न 4.
3.^{(n + 3)}P₄ = 5.^{(n + 2)}P₄ हो, तो n का मूल्य ज्ञात करो ।
उत्तर :
परिभाषा के अनुसार
3.(n + 3) (n + 3 – 1) (n + 3 – 2) (n + 3 – 3) = 5 (n + 2) (n + 2 – 1) (n + 2 – 2) (n + 2 – 3)
∴ 3 (n + 3) (n + 2) (n + 1) (n) = 5 (n + 2) (n + 1) (n) (n – 1)
∴ 3 (n + 3) = 5 (n – 1) (दो ओर समान मूल्य कट जायेंगे )
3n + 9 = 5n – 5 |
∴ 5n – 3n = 9 + 5
2n = 14
∴ n = \(\frac{14}{2}\)
n = 7

प्रश्न 5.
4 व्यक्तियों को एक पंक्ति में कितनी रीति से गठित कर सकते है ?
उत्तर :
यहाँ 4 व्यक्तियों को एक पंक्ति में ⁴P₄ रीति से गठित कर सकते है ।
∴ कुल क्रमचय = ⁴P₄
= 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24

प्रश्न 6.
1, 2, 3, 0, 7, 9 इन सभी अंकों का उपयोग करके छ अंकोंवाली कितनी संख्याएँ बनाई जा सकती है ?
उत्तर :
यदि प्रथम स्थान पर 0 का उपयोग किया जाय तो वह संख्या 6 अंकोंवाली नहि कहलाती इसलिए प्रथम स्थान पर (1, 2, 3,
7, 9) में से कोई एक अंक का गठन 5P, प्रकार से और शेष 5 अंक शून्य सहित 5P, रीति से गठित किया जायेगा ।
∴ 6 अंकों की कुल संख्याओं का क्रमचय
= ⁵P₁ × ⁵P₅
= 5 × 5! = 5 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5 × 120 = 600
∴ 6 अंकोंवाली कुल संख्या 600 होगी ।

प्रश्न 7.
5 लड़के और 3 लड़कियों को एक पंक्ति में कितनी रीति से गठित कर सकते है की जिससे सभी लड़के एकसाथ गठित हो ?
उत्तर :
5 लड़के को एकसाथ गठित करना है । उसे एक समूह गिनने पर कुल 4 व्यक्ति को ⁴P₄ रीति से और 5 लड़कों का आंतरिक । गठन ⁵P₅ रीति से होगा ।
∴ कुल क्रमचय = ⁴P₄ × ⁵P₅
= 4! × 5! = 4 × 3 × 2 × 1 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 24 × 120
= 2880

प्रश्न 8.
एक झू में 7 शेर को रखने के लिए 7 पिंजड़े है । 7 पिंजड़ों में से 3 पिंजड़े इतने छोटे है कि जिसमें 7 शेर में से 3 शेर नहि जा सकते तो 7 शेर को 7 पिंजड़ों में कितनी रीति से रख सकते है ?
उत्तर :
7 पिंजड़ों में 3 पिंजड़े छोटे है इसलिए 4 पिंजड़े बड़े है । 4 शेर में से कोई भी तीन शेर 3 छोटे पिंजडे में जा सकते है । 3 शेर को रखने के प्रकार = ⁴P₃ = 4 × 3 × 2 = 24
शेष 4 बड़े पिंजड़ों मे शेष चार शेर को रखने के प्रकार ⁴P₄ = 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
∴ 7 शेर को 7 पिंजड़ों में रखने के कुल क्रमचय = 24 × 24 = 576

प्रश्न 9.
2, 3, 5, 8, 9 के सभी अंक का उपयोग करके 50,000 से बड़ी कितनी संख्याएँ बन सकती है ?
उत्तर :
50,000 से बड़ी संख्या बनाने के लिए प्रथम स्थान पर 5, 8, 9 अंक आना चाहिए । इसलिए तीन अंकों का क्रमचय ³P₁ और शेष 4 अंकों का उपयोग ⁴P₄ रीति से होगा ।
∴ कुल क्रमचय = ³P₁ × ⁴P₄
= 3 × 4! = 3 × 4 × 3 × 2 × 1 = 3 × 24 = 72

प्रश्न 10.
एक व्यक्ति के पास भिन्न-भिन्न आकार की 5 चोकलेट है । उसे भिन्न-भिन्न उम्र के 5 बालकों के बीच बाँटना है । यदि सबसे बड़ी चोकलेट सबसे छोटा बालक को देनी हो तो पाँच चोकलेट 5 बालक को कितनी रीति से बाँट सकते है ?
उत्तर :
सबसे बड़ी चोकलेट सबसे छोटे बालक को ¹P₁ रीति से और शेष चार चोकलेट 4 बालक को ⁴P₄ रीति से बाँटने पर
कुल क्रमचय = ¹P₁ × ⁴P₄
= 1 × 4! = 1 × 4 × 3 × 2 × 1 = 24

प्रश्न 11.
निम्न शब्द के सभी अक्षरों का उपयोग करके कुल कितना गठन कर सकते है ?
(1) STATISTICS
(2) BOOKKEEPER
(3) APPEARING
उत्तर :
(1) STATISTICS शब्द में 10 अक्षर है जिस में S का 3 बार, T का 3 बार, I का 2 बार पुनरावर्तन होता है ।
∴ कुल क्रमचय = \(\frac{10 !}{3 ! \times 3 ! \times 2 !}\)
= \(\frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1 \times 3 \times 2 \times 1 \times 2 \times 1}\) = \(\frac{3628800}{72}\) = 50400

(2) BOOKKEEPER में 10 अक्षर है जिस में 0 का 2 बार, K का 2 बार, E का 3 बार पुनरावर्तन होता है ।
∴ कुल क्रमचय = \(\frac{10 !}{2 ! \times 2 ! \times 3 !}\)
= \(\frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1 \times 2 \times 1 \times 3 \times 2 \times 1}\) = \(\frac{3628800}{24}\) = 151200

(3) APPEARING में 9 अक्षर है जिस में A का 2 बार, P का 2 बार पुनरावर्तन होता है ।
∴ कुल क्रमचय = \(\frac{9 !}{2 ! \times 2 !}\)
= \(\frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1 \times 2 \times 1}\) = \(\frac{362880}{4}\) = 90720

प्रश्न 12.
ASHOK शब्द के सभी अक्षरों बनते गठन और GEETA शब्द के सभी अक्षरों से बनते गठन का अनुपात कितना होगा ?
उत्तर :
ASHOK शब्द के सभी अक्षरों का गठन ⁵P₅ रीति से होगा ।
⁵P₅ = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
GEETA शब्द में 5 अक्षर है जिस में E का 2 बार पुनरावर्तन है ।
∴ कुल क्रमचय = \(\frac{5 !}{2 !}\) = \(\frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1}=\frac{120}{2}\) = 60
ASHOK और GEETA शब्द का अनुपात 120 : 60 = 2 : 1 का होगा ।

प्रश्न 13.
एक मोटरकार में ड्राईवर की सीट सहित कुल 5 बैठने की सीट्स है । एक परिवार के 10 सदस्यों में से 3 सदस्यों को ड्राईवींग आती है तो 10 सदस्यों में से 5 व्यक्तियों को भिन्न-भिन्न तरह से कितने प्रकार से बैठाये जा सकते है ?
उत्तर :
ड्राईवर की सीट्स पर 3 में से किसी 1 व्यक्ति को ³P₁ रीति से और शेष 4 सीट्स पर 9 व्यक्तियों में से 4 को ⁹P₄ रीति
से बैठा सकते है ।
∴ कुल क्रमचय = ³P₁ × ⁹P₄
= 3 × 9 × 8 × 7 x 6 = 3 x 3024
= 9072

प्रश्न 14.
निम्न दिये गए शब्दों के सभी अक्षरों से बनते गठन को शब्दकोषानुसार गठित करे तो वह शब्द किस क्रम पर आयेगा ?
(1) PINTU
(2) NURI
(3) NIRAL
(4) SUMAN
उत्तर :
(1) PINTU शब्द के अक्षर PINTU ऐसे पाच है ।
अक्षरों को क्रमानुसार INPTU होगा ।
प्रथम स्थान पर I हो ऐसे शब्दों की संख्या = ¹P₁ × ⁴P₄ = 1 × 24 = 24 प्रकार
प्रथम स्थान पर N हो ऐसे शब्दों की संख्या = ¹P₁ × ⁴P₄ = 1 × 24 = 24
प्रकार प्रथम स्थान पर P तथा दूसरे स्थान पर 1 तथा तीसरे स्थान पर N तथा चौथे स्थान पर T और पाँचवे स्थान पर U हो ऐसे शब्दों के प्रकार ¹P₁ × ¹P₁ × ¹P₁ × ¹P₁ × ¹P₁ = 1 प्रकार
शब्द PINTU का क्रम = 24 + 24 + 1 = 49 वा होगा ।

(2) NURI शब्द में अक्षर ·N.U.R.I. ऐसे चार है ।
अक्षरों को क्रमानुसार I, N, R, U होगा ।
प्रथम स्थान पर I हो ऐसे शब्दों की संख्या = ¹P₁ × ³P₃ = 1 × 6 = 6 प्रकार
प्रथम स्थान पर N तथा दूसरे स्थान I और शेष 2 अक्षरों का गठन = ¹P₁ × ¹P₁ × ²P₂ = 1 × 1 × 2 = 2 प्रकार
प्रथम स्थान पर N तथा दूसरे स्थान पर R और शेष दो अक्षरों का गठन = ¹P₁ × ¹P₁ × ²P₂ = 1 × 1 × 2 = 2 प्रकार
प्रथम स्थान पर N तथा दूसरे स्थान पर U तथा तीसरे स्थान पर 1 हो ऐसे शब्दों का गठन
= ¹P₁ × ¹P₁ × ¹P₁ × ¹P₁ = 1 प्रकार

प्रथम स्थान पर N तथा दूसरे स्थान पर U तथा तीसरे स्थान पर R तथा चौथे स्थान पर I हो ऐसे शब्दों का गठन
= ¹P₁ × ¹P₁ × ¹P₁ × ¹P₁ = 1 × 1 × 1 × 1 = 1 प्रकार
शब्द NURI का क्रम = 6 + 2 + 2 + 1 + 1 = 12 वा क्रम होगा ।

(3) NIRAL शब्द के अक्षर N.I.R.A.L. ऐसे पाँच है । अक्षरों को क्रमानुसार A, I, L, N, R होगा ।
प्रथम स्थान पर A हो ऐसे शब्दों की संख्या ¹P₁ × ⁴P₄ = 1 × 24 = 24 प्रकार
प्रथम स्थान पर I हो ऐसे शब्दों की संख्या = ¹P₁ × ⁴P₄ = 1 × 24 = 24 प्रकार
प्रथम स्थान पर L हो ऐसे शब्दों की संख्या = ¹P₁ × ⁴P₄ = 1 × 24 = 24 प्रकार
प्रथम स्थान पर N, दूसरे स्थान पर A हो ऐसे शब्दों की संख्या = ¹P₁ × ¹P₁ × ³P₃ = 1 × 1 × 6 = 6 प्रकार
प्रथम स्थान पर N, दूसरे स्थान पर I, तीसरे स्थान पर A हो ऐसे शब्दों की संख्या = ¹P₁ × ¹P₁ × ¹P₁ × ²P₂
= 1 × 1 × 1 × 2 = 2 प्रकार
प्रथम स्थान पर N, दूसरे स्थान पर I, तीसरे स्थान पर L हो ऐसे शब्दों की संख्या = ¹P₁ × ¹P₁ × ¹P₁ × ²P₂
= 1 × 1 × 1 × 2 = 2 प्रकार
प्रथम स्थान पर N, दूसरे स्थान पर I, तीसरे स्थान पर R, चौथे स्थान पर A और पाँचवे स्थान पर L हो ऐसे शब्दों की संख्या = ¹P₁ × ¹P₁ × ¹P₁ × ¹P₁ × ¹P₁ = 1 × 1 × 1 × 1 × 1 = 1 प्रकार
शब्द NIRAL का क्रम = 24 + 24 + 24 + 6 + 2 + 2 + 1 = 83 वा क्रम होगा ।

(4) SUMAN शब्द के अक्षर SUMAN ऐसे पाँच है । शब्दों के क्रमानुसार A M N S U होगा ।
प्रथम स्थान पर A हो ऐसे शब्दों की संख्या = ¹P₁ × ⁴P₄ = 1 × 24 = 24 प्रकार
प्रथम स्थान पर M हो ऐसे शब्दों की संख्या = ¹P₁× ⁴P₄ = 1 × 24 = 24 प्रकार
प्रथम स्थान पर N हो ऐसे शब्दों की संख्या = ¹P₁ × ⁴P₄ = 1 × 24 = 24 प्रकार
प्रथम स्थान पर S तथा दूसरे स्थान पर A हो ऐसे शब्दों की संख्या = ¹P₁ × ¹P₁ × ³P₃ = 1 × 1 × 6 = 6 प्रकार
प्रथम स्थान पर S तथा दूसरे स्थान पर M हो ऐसे शब्दों की संख्या ¹P₁ × ¹P₁ × ³P₃ = 1 × 1 × 6 = 6 प्रकार
प्रथम स्थान पर S तथा दूसरे स्थान पर N हो ऐसे शब्दों की संख्या = ¹P₁ × ¹P₁ × ³P₃ = 1 × 1 × 6 = 6 प्रकार
प्रथम स्थान पर S तथा दूसरे स्थान पर U तथा तीसरे स्थान पर A हो ऐसे शब्दों की संख्या = ¹P₁ × ¹P₁ × ¹P₁ × ²P₂
= 1 × 1 × 1 × 2 = 2 प्रकार
प्रथम स्थान पर S तथा दूसरे स्थान पर U तथा तीसरे स्थान पर M तथा चौथे स्थान पर A तथा पाँचवे स्थान पर N हो ऐसे शब्दों की संख्या = ¹P₁ × ¹P₁ × ¹P₁ × ¹P₁ × ¹P₁ = 1 × 1 × 1 × 1 × 1 = 1 प्रकार
SUMAN शब्द का क्रम = 24 + 24 + 24 + 6 + 6 + 6 + 2 + 1 = 93 वा क्रम

प्रश्न 15.
SHLOKA शब्द के सभी अक्षरों का उपयोग करके कितने शब्दों की रचना की जा सकती है कि जिसमें स्वर एकसाथ
आये?
उत्तर :
SHLOKA शब्द में कुल 6 अक्षर है ।
A और O तो स्वर है उसे ²P₂ रीति से एकसाथ रख सकते है ।
दो स्वर को एक अक्षर गिनने पर 4 + 1 = 5 अक्षर की रचना की जाएगी ।
स्वर एकसाथ आये ऐसे शब्दों की कुल संख्या = ²P₂ × ⁵P₅ = 2! × 5! = 2 × 1 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1
= 2 × 120 = 240 इसलिए स्वर एकसाथ हो ऐसे कुल 240 शब्द बन सकते है ।

प्रश्न 16.
एक कार्यक्रम में 7 वक्ता A, B, C, D, E, F, G को भाषण के लिए आमंत्रित किया है। प्रत्येक वक्ता को बारीबारी से भाषण देना है। यदि वक्ता A के बाद तुरंत B को भाषण देना हो तो सात वक्ताओं के भाषण कुल कितनी रीति से गठित कर सकते है ?
उत्तर :
प्रत्येक वक्ता को क्रमानुसार आमंत्रण देना है इसलिए आमंत्रण ⁶P₆ रीति से दे सकते है ।
∴ ⁶P₆ = 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720
⇒ संचय : क्रमचय में क्रम का महत्त्व होता है जब कि संचय में क्रम को महत्त्व दिया नहि जाता है । संचय को संकेत में
ⁿC_r से दर्शाया जाता है ।
ⁿC_r = \(\frac{n !}{r !(n-r) !}\) हा सूत्र का उपयोग करेंगे ।

⇒ महत्त्व के परिणाम :
(1) ⁿC_O = 1
(2) ⁿC_n = 1
(3) ⁿC₁ = n
(4) ⁿC_{n – 1} = n
(5) ⁿC_r = ⁿC_{n – r}
(6) ⁿC_r + ⁿC_{r – 1} = (n + 1) C_r
(7) ⁿC_x = ⁿC_y हो तो x + y = n अथवा x = y होगा ।
(8) ⁿC_O + ⁿC₁ + ……… ⁿC_n = 2ⁿ