Gujarat Board Statistics Class 12 GSEB Solutions Part 2 Chapter 1 संभावना Ex 1.1 Textbook Exercise Questions and Answers.
Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Statistics Part 2 Chapter 1 संभावना Ex 1.1
प्रश्न 1.
निम्न यादृच्छिक प्रयोग के लिए निदर्श अवकाश लिखिए ।
(i) एक समतुलित सिके को तीन बार उछाला जाय
(ii) छ भुजाओंवाले एक समतुलित पासा और एक समतुलित सिक्के को एकसाथ उछाला जाय ।
(iii) a, b, c,d,e इन 5 व्यक्तियों में से दो व्यक्तियों को यादृच्छिक रीति से चयन किया जाय ।
उत्तर :
(i) समतुलित सिक्के पर के प्रयोग में छाप को H और काटे को T से दर्शाया जाय तो तीन बार उछालने पर निम्नानुसार निदर्श अवकाश
प्राप्त होगा।
U = {HHH HHT HTH HTT THH THT TTH TTT}
गुणाकार के मूलभूत सिद्धांत अनुसार 23 = 2 × 2 × 2 = 8 परिणाम प्राप्त होते है।
(ii) एक समतुलित पासा और सिक्के को उछालने पर पासा पर {1, 2, 3, 4, 5, 6} और सिक्के पर {H, T} परिणाम प्राप्त होगा। दोनों
को साथ में उछालने पर गुणाकार के नियम अनुसार {1, 2, 3, 4, 5, 6} × {H, T} अर्थात् 6 × 2 = 12 परिणाम प्राप्त होंगे। निदर्श अवकाश निम्नानुसार प्राप्त होगा।
U = {H1, H2, H3, H4, H5, H6. T1, T2, T3, T4, T5, T6}
(iii) a, b, c, d, e इन 5 व्यक्ति में से दो व्यक्ति की निदर्श अवकाश निम्नानुसार प्राप्त होगा।
U = {(a, b), (a, c), (a, d), (a, e), (b, c), (b, d), (b, e), (c, d), (c,e), (d, e)} [2]
प्रश्न 2.
100 अंक की एक परीक्षा में बैठनेवाले विद्यार्थी को प्राप्त नंबर (पूर्णांक) का निदर्श अवकाश लिखिए और उसके कुल निदर्श बिंदुओं की संख्या बताइए।
उत्तर :
100 अंक की परीक्षा में न्यूनतम अंक ‘0’ और महत्तम अंक ‘100’ हो सकता है जिसका निदर्श अवकाश U = {0, 1, 2……100}
होगा। इसमें 101 निदर्श बिन्दुओं की संख्या होगा ।
प्रश्न 3.
चार व्यक्तियों में से याद्दच्छिक रीति से एक मंत्री और एक सहमंत्री चयन करने का निदर्श अवकाश लिखिए।
उत्तर :
माना कि चार व्यक्ति ABCD में से प्रथम चयन मंत्री का और दूसरा व्यक्ति सहमंत्री को गिना जाय तो (सारणी में प्रथम स्थान मंत्री और .
दूसरा स्थान सहमंत्री दर्शाता है) निदर्श अवकाश निम्नानुसार प्राप्त होगा।
U = {(A, B), (A, C), (A, D), (B, C), (B, D), (C, D), (B, A), (C,A), (D, A), (C, D), (D, B), (D, C)}
प्रश्न 4.
एक यादृच्छिक प्रयोग में जब तक छाप मिले तब तक एक सिक्के को उछाला जाता है। जिस प्रयत्न में प्रथम बार छाप आए वहाँ
प्रयोग पूर्ण कर दिया जाता है । इस प्रयोग की निदर्श अवकाश लिखिए और वह सान्त है या अनंत वह बताइए।
उत्तर :
यहाँ एक सिक्के को तब तक उछाला जाता है जब तक छाप न आ जाए और जैसे ही उछालने पर छाप मिले, प्रयोग बंद कर दिया जायेगा।
इस प्रकार छाप प्रथम, दूसरे, तीसरे या अनन्त तक मिल सकती है।
निदर्श अवकाश : U = {H, TH, TTH, TTTH….., यहाँ निदर्श अवकाश अनन्त है।
प्रश्न 5.
प्रथम पाँच प्राकृतिक संख्याओं में से याद्दछिक नीति से तीन संख्याएँ चयन करने के प्रयोग का निदर्श अवकाश लिखिए।
उत्तर :
प्रथम पाँच प्राकृतिक संख्याएँ 1, 2, 3, 4, 5 है : इसमें से 3 संख्या चयन करने का निदर्श अवकाश निम्नानुसार होगा।
U = {(1, 2, 3), (1, 2, 4), (1, 2, 5), (1, 3, 4), (1, 3, 5), (1, 4, 5), (2, 3, 4), (2, 3, 5), (2, 4, 5), (3, 4, 5)}
प्रश्न 6.
एक संख्या पसंद करने का निदर्श अवकाश U = {1, 2, 3…..20} है, निम्न घटना दर्शाता समुच्चय लिखिए।
(i) पसंद की गई संख्या विषम संख्या हो ।
(ii) पसंद की गई संख्या 3 से विभाज्य हो।
(iii) पसंद की गई संख्या 2 या 3 से विभाज्य हो।
उत्तर :
निदर्श अवकाश U = {1, 2, 3………20} है।
(i) पसंद की गई संख्या विषम हो अर्थात् 2 से विभाज्य न हो तो निदर्श अवकाश उसे घटना A कहे तो
A = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19}
(ii) पसंद की गई संख्या 3 से विभाज्य हो तो निदर्श अवकाश B = {3, 6, 9, 12, 15, 18}
(iii) पसंद की गई संख्या 2 अथवा 3 से विभाज्य हो तो निदर्श अवकाश उसे घटना C कहे तो
C = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20}
प्रश्न 7.
दो शिशुवाले परिवार में से यादृच्छिक रीति से एक परिवार चुना जाता है। इस परिवार से शिशु का लिंग का पंजियन किया जाय
तो इस प्रयोग का निदर्श अवकाश प्राप्त कीजिए और निम्न घटनाएँ दर्शाता समुच्चय लिखिए।
(i) घटना A1 = एक शिशु लड़की हो।
(ii) घटना A2 = कम से कम एक शिशु लड़की हो।
उत्तर :
शिशु नारी जाति का हो (लड़की) उसे G तथा शिशु नर जाति (लड़का) हो उसे B से दर्शायेंगे।
दो शिशुवाले परिवार में से एक परिवार चुना जाय तो उसका निदर्श अवकाश U = {(B, B), (G, G), (B, G), (G, B)}
(i) घटना A1 = एक शिशु लड़की हो अर्थात् एक लड़की और एक लड़का हो। A1 = {(B, G), (G, B}}
(ii) घटना A2 = कम से कम एक शिशु लड़की हो अर्थात् एक या दो शिशु लड़की हो। A2 = {(B, G), (G, B), (G, G)}
प्रश्न 8.
छ भुजाएँवाला दो समतुलित पासा एकसाथ उछाला जाता है। इस यादृच्छिक प्रयोग का निदर्श अवकाश लिखिए और उस पर से निम्न घटनाएँ दर्शाते समुच्चय लिखिए।
(i) घटना A1 = पासा पर के अंकों का योग 7 हो ।
(ii) घटना A2 = पासा पर के अंकों का योग 4 से कम हो ।
(iii) घटना A3 = पासा पर के अंकों का योग 3 से नि:शेष भाज्य हो ।
(iv) घटना A4 = पासा पर के अंकों का योग 12 से अधिक हो।
उत्तर :
यहाँ दो समतुलित पासा में से किसी एक पासा को प्रथम पासा और दूसरा पासा कहेंगे। प्रथम पासा पर मिलते अंक को i और दूसरा पासा
पर मिलते अंक को j से दर्शायेंगे। इसलिए दोनों पासा पर मिलते अंकों की जोड़ को (i, J) से दर्शाएंगे तो निदर्श अवकाश U = {ij}: i,j= 1, 2, 3, 4, 5, 6}
(i) घटना A1 = पासा पर के अंकों का योग 7 हो तो निदर्श अवकाश A1 = {(1, 6); (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}
(ii) घटना A2 = पासा पर के अंकों का योग 4 से कम हो तो निदर्श अवकाश A2 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1)}
(iii) घटना A3 = पासा पर के अंकों का योग 3 से नि:शेष भाज्य हो उसका निदर्श अवकाश A3 = {(1, 2), (1,5), (2, 1), (2,4),
(3, 3), (3, 6), (4, 2), (4, 5), (5, 1), (5, 4), (6, 3), (6, 6)}
(iv) घटना A4 = पासा पर के अंकों का योग 12 से अधिक हो ऐसी घटना नहि होगी अधिक से अधिक योग 12 होगा इसलिए A4 = {Φ} रिक्त समुच्चय
प्रश्न 9.
प्रथम पाँच प्राकृतिक संख्याओं में से दो संख्याएँ याद्दच्छिक रीति से चुना जाय तो चुनी गई दो संख्याओं का योग कम से कम 6
हो उसे घटना A और चुनी गई दो संख्याओं का योग युग्म हो उसे घटना B कहे तो निम्न घटनाएँ दर्शाते समुच्य लिखिए और पूछे गए प्रश्नों के उत्तर दीजिए।
(1) U
(2) A
(3) B
(4) A∪B
(5) A∩B
(6) A’
(7) A – B
(8) A∩B
(9) क्या A और B परस्पर निवारक घटनाएँ कहलायेगी? कारण दीजिए।
(10) इस प्रयोग के निदर्श अवकाश के निदर्श बिन्दुओं की संख्या लिखो।
उत्तर :
प्रथम पाँच प्राकृतिक संख्याएँ 1, 2, 3, 4, 5 है। इसका निदर्श अवकाश
(1) U = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2,4), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 5)}
(2) दो संख्याओं का योग कम से कम 6 हो उसे घटना A हे तो A = {(1, 5), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 5)}
(3) दो संख्याओं का योग युग्म हो उसे घटना B कहे तो B = {(1, 3), (1, 5), (2, 4), (3, 5)}
(4) A∪B = {(1, 3), (1, 5), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 5)}
(5) A∩B = {(1, 5), (2, 4), (3, 5)}
(6) A’ अर्थात् A के अलावा U के शेष घटकों से बनता समुच्चय A’ = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3)}
(7) A – Bअर्थात् सिर्फ घटना A घटे B न घटे ∴ A – B = {(2, 5), (3, 4), (4, 5)}
(8) A’∩B घटना B – A B बने परंतु A न घटे ∴ A’∩B = B – A = {1, 3}
(9) A और B परस्पर निवारक घटनाएँ नहि है क्योंकि A और B रिक्त समुच्चय नहि है अर्थात् A∩B ≠ {Φ}
(10) निदर्श अवकाश के निदर्श बिन्दुओं की संख्या 10 है।
प्रश्न 10.
एक ऑफिस में तीन स्त्री कर्मचारी और दो पुरुष कर्मचारी नौकरी करते है। ऑफिस के कर्मचारीयों में से एक कर्मचारी को यादृच्छिक रीति से प्रशिक्षण देने हेतु चुना जाता है। यदि प्रशिक्षण हेतु पसंद हुआ कर्मचारी स्त्री हो, उसे घटना A और पुरुष हो उसे घटना B से दर्शाया जाय तो निम्न घटना दर्शाते समुच्चय प्राप्त कीजिए और पूछे गए प्रश्नों के उत्तर दीजिए।
(1) U
(2) A
(3) B
(4) A∪B
(5) A∩B
(6) A∩B
(7) घटनाएँ A और B परस्पर निवारक घटनाएँ है ? कारण दीजिए ।
(8) घटनाएँ A और B निःशेष कहलायेगी ? कारण दीजिए।
उत्तर :
ऑफिस की तीन स्त्री कर्मियों को संकेत में a, b, c और दो पुरुष कर्मियों को x, y द्वारा निर्दिष्ट करे तो
(1) निदर्श अवकाश U = {a, b, c, x, y}
(2) चुना गया कर्मी स्त्री हो उसे घटना A कहे तो A = {A, B, C}
(3) चुना गया कर्मी पुरुष हो उसे घटना B कहे तो B = {x, y}
(4) A∪B अर्थात् A बने अथवा B बने अथवा दोनों घटनाएँ घटे :. A∪B = {a, b, c, x, y} = U
(5) A∩B अर्थात् A और B दोनों बने । A और B में से कोई सामान्य घटक नहि है। ∴ A∩B = {Φ}
(6) A’∩B अर्थात् सिर्फ घटना B बने A’∩B = B – A = {x, y} ∴ (A’ = B)
(7) घटना A और B परस्पर निवारक घटनाएँ है क्योंकि A∩B = Φ होता है।
(8) घटना A और B निःशेष घटनाएँ है क्योंकि A∪B = U होता है।
प्रश्न 11.
तास के 52 पत्तों के ढेर में से एक पत्ता यादृच्छिक रूप से खींचा जाता है। खींचा गया पत्ता हुकम का आये, उसे घटना A कहे
और पत्ता एक्के से दहले तक हो (चित्रवाला न हो) उसे घटना B कहे तो निम्न घटनाएँ दर्शाते समुच्चय लिखिए।
(1) U
(2) A
(3) B
(4) A∪B
(5) A∩B
(6) B1
उत्तर :
52 पत्तों की ढेर में कुल चार प्रकार के पत्ते होते है। S = Spade (हुकम), C = Club (चिड़ी), D = Diamond (ईट), H = Heart
(लाल पान)। प्रत्येक प्रकार के 13 पत्ते होते हैं।
(1) इन 52 पत्तों के ढेर में से एक पत्ता याद्दच्छिक रूप से खींचा जाता है जिसका निदर्श अवकाश U = {SA, S2, S3….. S10, Sj,
SQ, SK, CA, C2, C3 ….. C10, C, Cj, CQ, CK, DA, D2, D3, …..D10, Di, DQ, DK, HA, H2, H3…..H10, Hj, HQ, HK}
(2) खींचा गया पत्ता हुकम का हो उसे घटना A कहे तो A = {SA, S2, S3…….. S10, Sj, SQ, SK}
(3) पत्ता एक्के से दहले तक हो उसे घटना B कहे तो B = {SA, S2, S3……. S10, CA, C2, C3…..C10, DA, D2, D3,…..D10,
HA, H2, H3,….H10}
(4) A∪B अर्थात् A = पत्ता हुकम का हो अथवा B = पत्ता एक्के से दहले तक का हो दोनों की संघ घटना AUB = {SA, S2,S3…… S10, Sj, SQ, SK……CA, C2, C3……C10, DA, D2, D3……D10, HA, H2, H3……H10}
(5) A∩B अर्थात् पत्ता हुकम का हो और एक्के से दहले तक का हो A और B दोनों घटना घटे A∩B = {SA, S2, S3……… S10}
(6) B1 अर्थात् B की पूरक घटना B के अलावा U के शेष घटकों से बनता समुच्चय B1 = {Sj, SQ, SK, Dj, DQ, DK,Cj,CQ, CK, Hj, HQ, HK}
प्रश्न 12.
एक यादृच्छिक प्रयोग A1 तथा A2 घटनाएँ निम्नानुसार है। इसके आधार पर A1∪A2 योग घटना और A1∩A2 प्रतिछेद घटना प्राप्त
कीजिए। A1 = {x/0 < x < 5}, A2 = {x/-/ < x < 3, x पूर्णांक संख्या है}
उत्तर :
A1 = {x/0 < x < 5}
∴. A2 = {x/- 1 < x < 3, x पूर्णांक संख्या है}
∴ A2 = {0, 1, 2}
∴ A1∪A2 = {x :- 1 < x < 5} अथवा A1∪A2 = {x/0 < x < 5} अंतराल {0, 1, 2, 3, 4}
A1∩A2 = {x : 0 < x < 3} अंतराल {1, 2}
प्रश्न 13.
एक यादृच्छिक प्रयोग की घटनाएँ A1 और A2 निम्नानुसार है। इस पर से योग घटना A1∪A2 और प्रतिच्छेद घटना A1∩A2 दर्शाते समुच्य प्राप्त कीजिए।
A1 = {x/2 ≤ x < 6, x ∈ N},
A2 = {x/3 < x < 9, x ∈ N}
उत्तर :
A1 = {x/2 ≤ x < 6, x ∈ N}
A2 = {x/3 < x < 9, x ∈ N}
A1∪A2 = {x/2 ≤ x ≤ 8} अंतराल {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
A1∩A2 = {x/4 ≤ x ≤ 5} अंतराल {4, 5}
प्रश्न 14.
एक याद्दच्छिक प्रयोग का निदर्श अवकाश U और उसकी कोई घटना A निम्नानुसार पारिभाषित है। घटना A’ की पूरक घटना A’ ज्ञात कीजिए। U = {x/x = 0, 1, 2……10}, A= {x/x = 2, 4, 6}
उत्तर :
U = {x/x = 0,1,2……10} A = {x/x = 2, 4, 6}
∴ A1 = {x/x = 0, 1, 3, 5, 7, 8, 9, 10}
प्रश्न 15.
एक यादृच्छिक प्रयोग का निदर्श अवकाश U और उसकी कोई घटना A निम्नानुसार पारिभाषित है। घटना A की पूरक घटना A’ ज्ञात कीजिए।
U = {x/0 < x < 1}, A= {x/1/2 ≤ x < 1}
उत्तर :
U = {x /0 < x < 1}
A = {x/1/2 ≤ x < 1}
पूरक घटना A1 = {x/0 < x < 1/2}