Gujarat Board GSEB Solutions Class 10 Maths Chapter 8 ત્રિકોણમિતિનો પરિચય Ex 8.3 Textbook Questions and Answers.
Gujarat Board Textbook Solutions Class 10 Maths Chapter 8 ત્રિકોણમિતિનો પરિચય Ex 8.3
પ્રશ્ન 1.
કિંમત શોધો :
(i) \(\frac{\sin 18^{\circ}}{\cos 72^{\circ}}\)
(ii) \(\frac{\tan 26^{\circ}}{\cot 64^{\circ}}\)
(iii) cos 48° – sin 42°
(iv) cosec 31° – sec 59°
(i) \(\frac{\sin 18^{\circ}}{\cos 72^{\circ}}\)
ઉત્તરઃ
આ૫ણે જાણીએ છીએ કે, cos A = sin (90° – A)
∴ cos 72° = sin (90° – 72°) = sin 18°
આથી \(\frac{\sin 18^{\circ}}{\cos 72^{\circ}}=\frac{\sin 18^{\circ}}{\sin 18^{\circ}}\) = 1
(ii) \(\frac{\tan 26^{\circ}}{\cot 64^{\circ}}\)
ઉત્તરઃ
આ૫ણે જાણીએ છીએ કે, cot A = tan (90°- A)
∴ cot 64° = tan (90° – 64°) = tan 26°
આથી આ \(\frac{\tan 26^{\circ}}{\cot 64^{\circ}}=\frac{\tan 26^{\circ}}{\tan 26^{\circ}}\) = 1
(iii) cos 48° – sin 42°
ઉત્તરઃ
આ૫ણે જાણીએ છીએ કે, cos A = sin (90° – A)
∴ cos 48° = sin (90° – 48°) = sin 42°
આથી cos 48° – sin 42° = sin 42° – sin 42° = 0
(iv) cosec 31°- sec 59°
ઉત્તરઃ
આ૫ણે જાણીએ છીએ કે, sec A = cosec (90° – A)
∴ sec 59° = cosec (90° – 59°) = cosec 31°
આથી cosec 31° – sec 59° = cosec 31° – cosec 31° = 0
પ્રશ્ન 2.
સાબિત કરો:
(i) tan 48° tan 23° tan 42° tan 67° = 1
(ii) cos 38° cos 52° – sin 38° sin 52° = 0
ઉત્તરઃ
(i) tan 48° tan 23° tan 42° tan 67°
= tan (90° – 42°) tan 23° tan 42° tan (90° – 23o)
= cot 42° tan 23° tan 42° cot 23° [∵ tan (90° – A) = cot A]
= tan 23° cot 23° cot 42° tan 42°
= (1) × (1) (∵ tan A cot A = 1) = 1
(ii) cos 38° cos 52° – sin 38° sin 52°
= cos 38° cos (90°- 38°) – sin 38° sin (90°- 38°)
= cos 38° sin 38° – sin 38° cos 38°
[∵ cos (90° – A) = sin A અને sin (90° – A) = cos A] = 0
પ્રશ્ન 3.
જો 2A એ લઘુકોણનું માપ હોય તથા tan 2A = cot (A – 18°) હોય, તો Aની કિંમત શોધો.
ઉત્તરઃ
tan 2A = cot (A – 18°) (આપેલ છે.)
cot (90° – 2A) = cot (A – 18°)
[∵ cot (90° – A) = tan A અને 2A એ લઘુકોણનું માપ છે.]
90° – 2A = A – 18°
90° + 18° = A + 2A
∴ 3A = 108°
∴ A = 36°
પ્રશ્ન 4.
જો tan A = cot B હોય, તો સાબિત કરો કે A + B = 90°.
ઉત્તરઃ
tan A = cot B (આપેલ છે.)
આ૫ણે જાણીએ છીએ કે, tan θ = cot (90° – θ)
cot (90° – A) = cot B
90° – A = B
∴ A + B = 90°
પ્રશ્ન 5.
જો 4A એ લઘુકોણનું માપ હોય તથા sec 4A = cosec (A – 20°) હોય, તો Aની કિંમત શોધો.
ઉત્તરઃ
sec 4A = cosec (A – 20°)
∴ cosec (90° – 4A) = cosec (A – 20°)
[∵ cosec (90° – θ) = sec θ અને 4A એ લઘુકોણનું માપ છે.]
90° – 4A = A – 20°
90° + 20° = A + 4A
5A = 110°
∴ A = 22°
પ્રશ્ન 6.
જો A, B અને C એ ABCના ખૂણા હોય, તો સાબિત કરો કે sin\(\left(\frac{\mathbf{B}+\mathbf{C}}{2}\right)\) = cos \(\frac{A}{2}\).
ઉત્તરઃ
A, B અને C એ ∆ ABCના ખૂણા છે.
∴ A + B + C = 180°
∴ B + C = 180° – A
∴ \(\frac{\mathrm{B}+\mathrm{C}}{2}=\frac{180^{\circ}-\mathrm{A}}{2}\)
∴ \(\frac{\mathrm{B}+\mathrm{C}}{2}=90^{\circ}-\frac{\mathrm{A}}{2}\) ……. (1)
ડા.બા. = sin \(\left(\frac{\mathbf{B}+\mathbf{C}}{2}\right)\)
= sin(90° – \(\frac{A}{2}\)) [d) પરથી] = cos [∵ sin (90°- θ) = cos θ]
= જ.બા.
પ્રશ્ન 7.
sin 67° + cos 75ને 0° અને 45 વચ્ચેના માપવાળા ખૂણાના ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તર તરીકે દર્શાવો.
ઉત્તરઃ
sin 67° + cos 75°
= sin (90° – 23°) + cos (90° – 15°)
= cos 23° + sin 15° [∵ sin (90° – θ) = cos θ, cos (90° – θ) = sin θ]