GSEB Solutions Class 10 Maths Chapter 4 દ્વિઘાત સમીકરણ Ex 4.4

Gujarat Board GSEB Solutions Class 10 Maths Chapter 4 દ્વિઘાત સમીકરણ Ex 4.4 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 10 Maths Chapter 4 દ્વિઘાત સમીકરણ Ex 4.4

પ્રશ્ન 1.
નીચે આપેલાં દ્વિઘાત સમીકરણનાં બીજનાં સ્વરૂપ શોધો. જો કે તેમને વાસ્તવિક બીજ હોય, તો તે શોધોઃ
(i) 2x² – 3x + 5 = 0
(ii) 3x² – 4√3x + 4 = 0
(iii) 2x² – 6x + 3 = 0

(i) આપેલ સમીકરણ ax² + bx + c = 0 સ્વરૂપનું છે,
જ્યાં a = 2; b = – 3 અને c = 5.
હવે, વિવેચક = b² – 4ac
= (-3)² – 4 (2) (5)
= 9 – 40 = – 31 < 0. આથી આપેલ સમીકરણને વાસ્તવિક બીજ નથી.

(ii) આપેલ સમીકરણ ax² + bx + c = 0 સ્વરૂપનું છે,
જ્યાં a = 3; b = – 4√3 અને c = 4.
હવે, વિવેચક = b² – 4ac
= (-4√3)² – 4 (3) (4)
= 48 – 48 = 0
આથી આપેલ સમીકરણનાં બીજ વાસ્તવિક અને સમાન છે.
દરેક બીજની કિંમત – \(\frac{b}{2 a}\) છે.
આમ, આપેલ સમીકરણનાં બીજ – \(\frac{b}{2 a}\), – \(\frac{b}{2 a}\) એટલે
કે, – \(\frac{-4 \sqrt{3}}{2(3)}\) , – \(\frac{-4 \sqrt{3}}{2(3)}\) રાઈ એટલે કે \(\frac{2}{\sqrt{3}}\), \(\frac{2}{\sqrt{3}}\) છે.

(iii) આપેલ સમીકરણ ax² + bx + c = 0 સ્વરૂપનું છે,
જ્યાં d = 2; b = – 6 અને c = 3. હવે, વિવેચક = b² – 4ac
= (- 6)² –²4 (2) (3)
= 36 – 24 = 12
આથી સમીકરણનાં બીજ વાસ્તવિક અને ભિન્ન છે. સમીકરણના ઉકેલ નીચે મુજબ મળે :
x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

= \(\frac{6 \pm \sqrt{12}}{2(2)}=\frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{4}=\frac{3 \pm \sqrt{3}}{2}\)
આમ, આપેલ સમીકરણનાં બીજ \(\frac{3+\sqrt{3}}{2}\) અને \(\frac{3-\sqrt{3}}{2}\) છે.

પ્રશ્ન 2.
નીચેનાં દ્વિઘાત સમીકરણનાં બીજ સમાન હોય, તો kનું મૂલ્ય શોધો:
(i) 2x² + x + 3 = 0
(ii) kx (x – 2) + 6 = 0
ઉત્તરઃ
(i) આપેલ સમીકરણને દ્વિઘાત સમીકરણના પ્રમાણિત સ્વરૂપ
સાથે સરખાવતાં, a = 2; b = k અને c = 3 મળે.
હવે, વિવેચક = b² – 4ac
= (k)² – 4 (2) (3) = k² – 24
જો સમીકરણનાં બીજ સમાન હોય, તો વિવેચક = 0 થાય.
k² – 24 = 0
k² = 24
k = ± 24
k = ± 2√6

(ii) kx (x – 2) + 6 = 0
kx² – 2x + 6 = 0
અહીં, a = k, b = -2k અને c = 6.
હવે, વિવેચક = b² – 4ac
= (-2k)² -4 (k) (6) = 4k² – 24k
જો સમીકરણનાં બીજ સમાન હોય, તો વિવેચક = 0 થાય.
4k² – 24k = 0
4k (k – 6) = 0
k = 0 અથવા k = 6
પરંતુ, k = 0 શક્ય નથી, કારણ કે k = 0 માટે સમીકરણ દ્વિઘાત સમીકરણ રહે નહીં, પરંતુ 6 = 0 મળે.
∴ k = 6.

પ્રશ્ન 3.
જેની લંબાઈ, પહોળાઈ કરતાં બમણી હોય અને ક્ષેત્રફળ 800 મીટ હોય એવી લંબચોરસ આંબાવાડી બનાવવી શક્ય છે? જો તમારો જવાબ “હા” માં હોય, તો તેની લંબાઈ અને પહોળાઈ મેળવો.
ઉત્તરઃ
માગ્યા મુજબની આંબાવાડી બનાવવી શક્ય છે તેમ માની લઈએ, તો ધારો કે તે આંબાવાડીની પહોળાઈ x મી છે.
આથી આંબાવાડીની લંબાઈ 2x મી થાય.
લંબચોરસ આંબાવાડીનું ક્ષેત્રફળ = લંબાઈ × પહોળાઈ
= 2x × x = 2x² મી²
માગ્યા મુજબ આંબાવાડીનું ક્ષેત્રફળ 800 મી² છે.
2x² = 800
2x² – 800 = 0
x² – 400 = 0
જો ઉપરોક્ત સમીકરણને વાસ્તવિક બીજ હોય, તો આંબાવાડી બનાવવાનું શક્ય થાય. અહીં, a = 1; b = 0 અને c = – 400
હવે, વિવેચક = b² – 4ac
= (0)² – 4 (1) (- 400) = 1600 > 0.
આમ, સમીકરણને વાસ્તવિક બીજ છે. આથી માગ્યા મુજબના માપવાળી આંબાવાડી બનાવવાનું શક્ય છે.
હવે, x² – 400 = 0
(x + 20) (x – 20) = 0
x + 20 = 0 અથવા x – 20 = 0
x = – 20 અથવા x = 20
પરંતુ, x એ આંબાવાડીની પહોળાઈ દર્શાવે છે. તેથી તે ઋણ ન હોઈ શકે, એટલે કે, x = – 20 શક્ય નથી.
x = 20 અને 2x = 40 આમ, આંબાવાડીની લંબાઈ 40 મી અને પહોળાઈ 20 મી રાખવી જોઈએ.

પ્રશ્ન 4.
બે મિત્રોની ઉંમરનો સરવાળો 20 વર્ષ છે. 4 વર્ષ પહેલાં તેમની ઉંમર દર્શાવતી સંખ્યાઓનો ગુણાકાર (વર્ષમાં) 48 હતો. શું આ પરિસ્થિતિ શક્ય છે? જો હોય, તો તેમની અત્યારની ઉંમર શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, બે મિત્રોની અત્યારની ઉંમર ૪ વર્ષ અને (20 – x) વર્ષ છે.
આથી ચાર વર્ષ પહેલાં તેઓની ઉંમર (x – 4) વર્ષ અને (20 – x – 4) = (16 – x) વર્ષ હતી.
આપેલ માહિતી મુજબ,
(x – 4) (16 – x) = 48
16x – x² – 64 + 4x = 48
– x² + 20x – 64 – 48 = 0
– x² + 20x – 112 = 0
x² – 20x + 112 = 0
અહીં, a = 1; b = – 20 અને c = 112
હવે, વિવેચક = b² – 4ac
= (- 20)² – 4(1) (112)
= 400 – 448 = – 48 < 0
આથી સમીકરણને વાસ્તવિક બીજ નથી.
આમ, આપેલ પરિસ્થિતિ શક્ય નથી.

પ્રશ્ન 5.
જેની પરિમિતિ 80 મી અને ક્ષેત્રફળ 400 મી² હોય, તેવો છે લંબચોરસ બગીચો બનાવવાનું શક્ય છે? જો તે શક્ય હોય, તો તેની લંબાઈ અને પહોળાઈ શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, લંબચોરસ બગીચાની લંબાઈ xમી છે. લંબચોરસ બગીચાની પરિમિતિ = 2 (લંબાઈ + પહોળાઈ)
80 = 2 (x + પહોળાઈ)
40 = x + પહોળાઈ
પહોળાઈ = (40 – x) મી
હવે, લંબચોરસ બગીચાનું ક્ષેત્રફળ = લંબાઈ x પહોળાઈ
400 = x (40 – x)
400 = 40x – x²
– 40x + 400 = 0 અહીં, a = 1; b = – 40 અને c = 400.
હવે, વિવેચક = b² – 4ac
= (- 40)² – 4 (1) (400).
= 1600 – 1600 = 0
આથી, સમીકરણનાં બીજ વાસ્તવિક છે. આથી આપેલ માપ મુજબનો લંબચોરસ બગીચો બનાવવાનું શક્ય છે.
x² – 40x + 400 = 0
x² – 20x – 20x + 400 = 0
x (x – 20) – 20 (x – 20) = 0
(x – 20) (x – 20) = 0
x – 20 = 0 અથવા x – 20 = 0
x = 20 અથવા x = 20 આમ, માગ્યા મુજબના લંબચોરસ બગીચાની લંબાઈ = x = 20 મી અને પહોળાઈ = 40 –x = 40–20 = 20 મી.
નોંધઃ
અહીં, માગેલ બગીચાનો આકાર ચોરસ બને છે, પરંતુ આપણે જાણીએ છીએ કે, દરેક ચોરસ એ લંબચોરસ છે જ.