GSEB Solutions Class 10 Maths Chapter 6 ત્રિકોણ Ex 6.6

Gujarat Board GSEB Solutions Class 10 Maths Chapter 6 ત્રિકોણ Ex 6.6 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 10 Maths Chapter 6 ત્રિકોણ Ex 6.6

આ સ્વાધ્યાય પરીક્ષા માટે ધ્યાનમાં લેવાનો નથી.

પ્રશ્ન 1.
આપેલ આકૃતિમાં, PS એ ∆ PQRના ∠QPRનો દ્વિભાજક છે. સાબિત કરો કે, \(\frac{\mathrm{QS}}{\mathrm{SR}}=\frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{PR}}\).

GSEB Solutions Class 10 Maths Chapter 6 ત્રિકોણ Ex 6.6 1

ઉત્તરઃ

GSEB Solutions Class 10 Maths Chapter 6 ત્રિકોણ Ex 6.6 2

રચના: ઉમાંથી PSને સમાંતર રેખા દોરો, જે લંબાવેલ RPને Mમાં છેદે છે.
સાબિતી: ∆ MORમાં બિંદુઓ P અને s અનુક્રમે MR અને QRનાં બિંદુઓ છે તથા PS || MQ.

\(\frac{\mathrm{QS}}{\mathrm{SR}}=\frac{\mathrm{MP}}{\mathrm{PR}}\) (પ્રમેય 6.1) ……… (1)

હવે, PS || MQ અને PQ તેમની છેદિકા છે.
∠SPQ = ∠PQM (યુગ્મકોણ) …… (2)
તે જ રીતે, PS || MQ અને NR તેમની છેદિકા છે.
∴ ∠RPS = ∠PMQ (અનુકોણ) …………. (3)
PS એ ∠QPRનો દ્વિભાજક છે.
∴ ∠SPQ = ∠RPS …………… (4)
(2), (3) અને (4) પરથી,
∴ PQM = ∠PMQ
∆ PMQમાં, MP = PQ …………… (5)
(1) અને (5) પરથી,

\(\frac{\mathrm{QS}}{\mathrm{SR}}=\frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{PR}}\)

GSEB Solutions Class 10 Maths Chapter 6 ત્રિકોણ Ex 6.6

પ્રશ્ન 2.
આપેલ આકૃતિમાં ∆ ABCમાં BD ⊥ AC, DM ⊥ BC અને DN ⊥ AB થાય તેવું બિંદુ D કર્ણ AC પર છે. સાબિત કરો કે,

GSEB Solutions Class 10 Maths Chapter 6 ત્રિકોણ Ex 6.6 3

(i) DM2 = DN . MC
(ii) DN2 = DM . AN
ઉત્તરઃ
યતુષ્કોણ DMBNમાં, ∠B = ∠M = ∠N = 90°.
આથી DMBN લંબચોરસ છે.
DN = MB ………….(1)
અને DM = NB ………….(2)
હવે, BD ⊥ AC
∴ ∠BDC = 90° અને ∆ BDC કાટકોણ ત્રિકોણ છે, જેમાં DM એ કર્ણ BC પરનો વેધ છે.
આથી ∆ BMD ~ ∆ DMC ~ ∆ BDC (પ્રમેય 6.7)
∴ \(\frac{\mathrm{DM}}{\mathrm{CM}}=\frac{\mathrm{BM}}{\mathrm{DM}}\)
∴ DM2 = BM . CM
∴ DM2 = DN . MC ((1) પરથી DN = MB) (પરિણામ (10)
તે જ રીતે, ∆ ADB કાટકોણ ત્રિકોણ છે. જેમાં DN એ કર્ણ AB પરનો વેધ છે.
∆ AND ~ ∆ DNB ~ ∆ ADB (પ્રમેય 6.7)
∴ \(\frac{\mathrm{DN}}{\mathrm{BN}}=\frac{\mathrm{AN}}{\mathrm{DN}}\)
∴ DN2 = BN · AN
∴ DN2 = DM · AN ((2) પરથી DM = NB) (પરિણામ (2))

GSEB Solutions Class 10 Maths Chapter 6 ત્રિકોણ Ex 6.6

પ્રશ્ન 3.
આપેલ આકૃતિમાં, ∆ ABCમાં, ∠ABC > 90° અને AD ⊥ લંબાવેલ CB. સાબિત કરો કે, AC2 = AB2 + BC2 + 2 BC . BD.

GSEB Solutions Class 10 Maths Chapter 6 ત્રિકોણ Ex 6.6 4

ઉત્તરઃ
∆ ADCમાં, ∠D = 90°
AC2 = AD2 + DC2
∴ AD2 = AC2 – DC2 ……….. (1)
∆ ADBમાં, ∠D = 90°
AB2 = AD2 + DB2
∴ AD2 = AB2 – DB2 …………. (2)
(1) અને (2) પરથી,
AC2 – DC2 = AB2 – DB2
AC2 = AB2 + DC2 – DB2
AC2 = AB2 + (BC + DB)2 – DB2
AC2 = AB2 + BC2 + 2BC · DB + DB2 – DB2
∴ AC2 = AB2 + BC2 + 2BC · BD

GSEB Solutions Class 10 Maths Chapter 6 ત્રિકોણ Ex 6.6

પ્રશ્ન 4.
આપેલ આકૃતિમાં, ∆ ABCમાં, ∠ABC < 90° અને AD⊥BC છે. સાબિત કરો કે, AC2 = AB2 + BC2 – 2BC · BD.

GSEB Solutions Class 10 Maths Chapter 6 ત્રિકોણ Ex 6.6 5

ઉત્તરઃ
∆ ADCમાં, ∠D = 90°
∴ AC2 = AD2 + CD2
∴ AD2 = AC2 – CD2 …………….. (1)
∆ ADBમાં, ∠D = 90°
∴ AB2 = AD2 + BD2
∴ AD2 = AB2 – BD2 ……………. (2)
(1) અને (2) પરથી,
AC2 – CD2 = AB2 – BD2
AC2 = AB2 + CD2 – BD2
AC2 = AB2 + (BC – BD)2 – BD2
∴ AC2 = AB2 + BC2 – 2BC · BD + BD2 – BD2
∴ AC2 = AB2 + BC2 – 2BC · BD

GSEB Solutions Class 10 Maths Chapter 6 ત્રિકોણ Ex 6.6

પ્રશ્ન 5.
આપેલ આકૃતિમાં, AD એ ∆ ABCની મધ્યગા અને AM ⊥ BC સાબિત કરો કે,
(i) AC2 = AD2 + BC · DM + \(\left(\frac{\mathrm{BC}}{2}\right)^{2}\)
(ii) AB2 = AD2 – BC . DM + \(\left(\frac{\mathrm{BC}}{2}\right)^{2}\)
(iii) AC2 + AB2 = 2AD2 + \(\frac{1}{2}\) BC2

GSEB Solutions Class 10 Maths Chapter 6 ત્રિકોણ Ex 6.6 6

ઉત્તરઃ
અહીં, ∆ AMD, ∆ AMC અને ∆ AMB કાટકોણ ત્રિકોણો છે.
વળી, AD મધ્યગા હોવાથી, D એ BCનું મધ્યબિંદુ છે.
CD = BD = \(\frac{\mathrm{BC}}{2}\)
વળી, DM = CM – CD અને DM = BD – BM

(i) ∆ AMC માં, ∠M = 90°
AC2 = AM2 + CM2
AC2 = AM2 + (DM + CD)2
AC2 = AM2 + DM2 + 2 DM CD + CD2
AC2 = (AM2 + DM2) + (2CD) (DM) + CD2
AC2 = AD2 + BC . DM + \(\left(\frac{\mathrm{BC}}{2}\right)^{2}\)
(∵ ∆ AMDમાં, AD2 = AM2 + DM2)

(ii) ∆ AMBમાં, ∠M = 90°
AB2 = AM2 + BM2
AB2 = AM2 + (BD – DM)2
AB2 = AM2 + BD2 – 2 . BD . DM + DM2
AB2 = (AM2 + DM2) – (2BD) (DM) + BD2
AB2 = AD2 – BC . DM + (\(\left(\frac{\mathrm{BC}}{2}\right)^{2}\))
(∵ ∆ AMDમાં, AD2 = AM2 + DM2)

(iii) વિભાગ (1) અને (2) નાં પરિણામોનો સરવાળો લેતાં,
AC2 + AB2 = AD2 + BC · DM + (\(\left(\frac{\mathrm{BC}}{2}\right)^{2}\)) + AD2 – BC DM + (\(\left(\frac{\mathrm{BC}}{2}\right)^{2}\))
AC2 + AB2 = 2AD2 + 2 \(\left(\frac{\mathrm{BC}^{2}}{4}\right)\)
AC2 + AB2 = 2AD2 + \(\frac{1}{2}\) BC2
[નોંધઃ વિભાગ (3)ના પરિણામમાં BCના સ્થાને 2BD
લેતાં, આપણને અતિ પ્રખ્યાત એપોલોનિસ પ્રમેય મળે જેનું વિધાન નીચે મુજબ છેઃ જો AD એ ∆ ABCની મધ્યમા હોય, તો
AB2 + AC2 = 2 (AD2 + BD2).]

GSEB Solutions Class 10 Maths Chapter 6 ત્રિકોણ Ex 6.6

પ્રશ્ન 6.
સાબિત કરો કે, સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણોના વર્ગોનો સરવાળો તેની બાજુઓના વર્ગોના સરવાળા જેટલો હોય છે. સૌપ્રથમ આપણે ઍપોલોનિસ પ્રમેય સાબિત કરીએ.
ઉત્તરઃ

GSEB Solutions Class 10 Maths Chapter 6 ત્રિકોણ Ex 6.6 7

આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ, ∆ ABCમાં AD મધ્યગા અને AM વેધ છે.
આથી AB2 + AC2 = AM2 + BM2 + AM2+ CM2
= 2AM2 + (BD – MD)2 + (CD + MD)2
= 2AM2 + (BD – MD)2 + (BD + MD)2
(∵ CD = BD)
= 2 AM2 + 2BD2 + 2MD2
= 2 (AM2 + MD2) + 2BD2
= 2 AD2 + 2BD2
∴ AB2 + AC2 = 2 (AD2 + BD2)

GSEB Solutions Class 10 Maths Chapter 6 ત્રિકોણ Ex 6.6 8

ધારો કે, સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ PQRSના વિકણ પરસ્પર 0 બિંદુમાં દુભાગે છે.
આથી PO = RO = \(\frac{1}{2}\) PR અને
QO = SO = \(\frac{1}{2}\)
હવે, ∆ PQRમાં, QO મધ્યગા છે.
PQ2 + QR2 = 2 (QO2 + PO2)

PQ2 + QR2 = \(2\left\{\left(\frac{\mathrm{QS}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{\mathrm{PR}}{2}\right)^{2}\right\}\)

PQ2 + QR2 = \(\frac{1}{2}\) (QS2 + PR2) …….. (1)
તે જ રીતે,
∆ QRSમાં, QR2 + RS2 = \(\frac{1}{2}\) (QS2 + PR2) …………(2)
∆ RSPમાં, RS2 + SP2 = \(\frac{1}{2}\) (QS2 + PR2) ………….. (3)
∆ SPOમાં, SP2 + PQ2 = \(\frac{1}{2}\) (QS2 + PR2) ………….. (4)
(1), (2), (3) અને (4)નો સરવાળો લેતાં,
2 (PQ2+ QR2 + RS2 + SP2) = 2 (QS2 + PR2)
∴ PQ2 + QR2 + RS2 + SP2 = QS2 + PR2
આમ, સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના વિકણોના વર્ગોનો સરવાળો તેની બાજુઓના વર્ગોના સરવાળા જેટલો હોય છે.

GSEB Solutions Class 10 Maths Chapter 6 ત્રિકોણ Ex 6.6

પ્રશ્ન 7.
આપેલ આકૃતિમાં, બે જીવાઓ AB અને CD એકબીજાને બિંદુ Pમાં છેદે છે. સાબિત કરો કે,
(i) ∆ ARC ~ ∆ DPB
(ii) ∆ PPB = CP . DP.

GSEB Solutions Class 10 Maths Chapter 6 ત્રિકોણ Ex 6.6 9

ઉત્તરઃ
અહીં, ∠CAB = ∠CDB (એક જ વૃત્તખંડના ખૂણા)
∠CAP = ∠BDP
તે જ રીતે, ∠ACD = ∠DBA (એક જ વૃત્તખંડના ખૂણા)
∴ ∠ACP = ∠DBP
હવે, ∆ APC અને ∆ DPBમાં,
∠CAP = ∠BDP અને ∠ACP = ∠DBP
ખૂબૂ શરત મુજબ, ∆ APC ~ ∆ DPB (પરિણામ 1)
∴ AP . PB = CP . DP (પરિણામ 2)

GSEB Solutions Class 10 Maths Chapter 6 ત્રિકોણ Ex 6.6

પ્રશ્ન 8.
આપેલ આકૃતિમાં, એક વર્તુળની બે જીવાઓ AB અને CD (લંબાવીએ તો) વર્તુળના બહારના ભાગમાં એકબીજાને Pમાં છેદે છે. સાબિત કરો કે,
(i) ∆ PAC ~ ∆ PDB
(ii) PA . PB = PC . PD

GSEB Solutions Class 10 Maths Chapter 6 ત્રિકોણ Ex 6.6 10

ઉત્તરઃ
ચક્રીય ચતુષ્કોણ ACDBમાં,
∠ACD + ∠ABD = 180°
વળી, ∠ACD + ∠ACP = 180° (રખિક જોડના ખૂણા).
∠ABD = ∠ACP
∠PBD = ∠PCA.
તે જ રીતે, ∠CAB + ∠CDB = 180° (ચક્રીય ચતુષ્કોણ)
∠CAB + ∠CAP = 180° રિખિક જોડના ખૂણા)
∠CDB = ∠CAP
∠PDB = ∠PAC
હવે, ∆ PDB અને ∆ PACમાં,
∠PBD = ∠PCA
∠PDB = ∠PAC
ખૂબું શરત મુજબ, ∆ PAC ~ ∆ PDB (પરિણામ (1)).
∴ \(\frac{\mathrm{PA}}{\mathrm{PD}}=\frac{\mathrm{PC}}{\mathrm{PB}}\)
∴ PA . PB = PC . PD (પરિણામ (2))

GSEB Solutions Class 10 Maths Chapter 6 ત્રિકોણ Ex 6.6

પ્રશ્ન 9.
આપેલ આકૃતિમાં, D એ ત્રિકોણ ABC ની બાજુ BC પરનું એવું બિંદુ છે કે જેથી \(\frac{\mathbf{B D}}{\mathbf{C D}}=\frac{\mathbf{A B}}{\mathbf{A C}}\) સાબિત કરો કે, AD એ ∠BACનો દ્વિભાજક છે.

GSEB Solutions Class 10 Maths Chapter 6 ત્રિકોણ Ex 6.6 11

ઉત્તરઃ
B માંથી ADને સમાંતર રેખા દોરો, જે લંબાવેલ CAને Pમાં છેદે છે.
હવે, ∆ PBCમાં, A અને D અનુક્રમે PC અને BC પરનાં બિંદુઆો છે તથા PB || AD.
∴ \(\frac{\mathrm{PA}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{CD}}\)
વળી, \(\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{CD}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}\) (આપેલ છે.)
∴ PA = AB.
હવે, ∆ PABમાં, PA = AB
∴ ∠ABP = ∠APB ………… (1)
AD || BP અને AB તેમની છેદિકા છે.
∴ ∠ABP = ∠BAD (યુગ્મકોણ) …………..(2)
AD || BP અને CP તેમની છેદિકા છે.
∠APB = ∠CAD (અનુકોણ) …………….(3)
(1), (2) અને (3) પરથી,
∠BAD = ∠CAD
વળી, ∠BAD + ∠CAD = ∠BAC.
આથી AD એ ∠BAC નો દ્વિભાજક છે.

GSEB Solutions Class 10 Maths Chapter 6 ત્રિકોણ Ex 6.6

પ્રશ્ન 10.
નાઝીમા પાણીના પ્રવાહમાં માછલીઓ પકડી રહી છે. તેનો માછલી પકડવાનો સળિયાનો હૂક પાણીની સપાટીથી 1.8 મીટર ઊંચે છે અને દોરીના નીચેના છેડા પરનો આંકડો પાણીની સપાટી પર એવી રીતે સ્થિર છે કે નાઝીમાથી તેનું અંતર 3.6 મીટર છે અને સળિયાના હૂક નીચેની પાણીની સપાટીથી તેનું અંતર 2.4 મીટર છે. એવું માની લઈએ કે (સળિયાના હૂકથી આંકડા સુધી) તેની દોરી તંગ છે, તો તેણે કેટલી દોરી બહાર કાઢી છે? (જુઓ આપેલ આકૃતિ) જો તે દોરીને 5 સેમી / સેના દરથી અંદર ખેંચે, તો 12 સેકન્ડ પછી નાઝીમાનું આંકડાથી સમક્ષિતિજ અંતર કેટલું હશે?

GSEB Solutions Class 10 Maths Chapter 6 ત્રિકોણ Ex 6.6 12

ઉત્તરઃ

GSEB Solutions Class 10 Maths Chapter 6 ત્રિકોણ Ex 6.6 13

અહીં, ∆ ABC એ મૂળ સ્થિતિ દર્શાવે છે જેમાં A માછલી પકડવાના સળિયાનો હૂક છે, C દોરીના નીચેના છેડા પરનો આંકડો છે અને B સળિયાના હૂકની નીચેનું પાણી પરનું બિંદુ છે.
તો, ∆ ABCમાં, ∠B = 90° , AB = 1.8 મી અને BC = 2.4 મી.
હવે, AC2 = AB2 + BC2 (પાયથાગોરસ પ્રમેય)
AC2 = (1.8)2 + (2.4)2
AC2 = 3.24 + 5.76
AC2 = 9
AC = 3 મી
આમ, મૂળ સ્થિતિમાં તેણે ૩મી દોરી બહાર કાઢી છે.
1 સેકન્ડમાં અંદર ખેંચેલ દોરીની લંબાઈ = 5 સેમી
12 સેકન્ડમાં અંદર ખેંચેલ દોરીની લંબાઈ = 60 સેમી = 0.6 મી
હવે, બીજી સ્થિતિમાં, દોરીની લંબાઈ AC = 3મી – 0.6 મી = 2.4 મી
અને AB = 1.8 મી.
ફરીથી, AC2 = AB2 + BC2
(2.4)2 = (1.8)2 + BC2
BC2 = (2.4)2 – (1.8)2
BC2 = (2.4 + 1.80 (2.4 – 1.8).
BC2 = 4.2 x 0.6
BC2 = 2.52
∴ BC = \(\sqrt{2.52}\)
∴ BC = 1.59 મી (આશરે)
હવે, નાઝીમાનું આંકડાથી સમક્ષિતિજ અંતર = BC + 1.2 મી = (1.59 + 1.20 મી = 2.79 મી

Leave a Comment

Your email address will not be published.