Gujarat Board GSEB Solutions Class 10 Maths Chapter 8 ત્રિકોણમિતિનો પરિચય Ex 8.2 Textbook Questions and Answers.
Gujarat Board Textbook Solutions Class 10 Maths Chapter 8 ત્રિકોણમિતિનો પરિચય Ex 8.2
પ્રશ્ન 1.
કિંમત શોધો :
(i) sin 60° cos 30° + sin 30° cos 60°
(ii) 2 tan2 45° + cos2 30° – sin2 60°
(iii) \frac{\cos 45^{\circ}}{\sec 30^{\circ}+\operatorname{cosec} 30^{\circ}}
(iv) \frac{\sin 30^{\circ}+\tan 45^{\circ}-\operatorname{cosec} 60^{\circ}}{\sec 30^{\circ}+\cos 60^{\circ}+\cot 45^{\circ}}
(v) \frac{5 \cos ^{2} 60^{\circ}+4 \sec ^{2} 30^{\circ}-\tan ^{2} 45^{\circ}}{\sin ^{2} 30^{\circ}+\cos ^{2} 30^{\circ}}
(i) sin 60° cos 30° + sin 30° cos 60°
ઉત્તરઃ
= \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}
= \frac{3}{4}+\frac{1}{4} = 1
(ii) 2 tan2 45° + cos2 30° – sin2 60°
= 2(1)2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}-\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}
= 2 + \frac{3}{4}-\frac{3}{4} = 2
(iii) \frac{\cos 45^{\circ}}{\sec 30^{\circ}+\operatorname{cosec} 30^{\circ}}
ઉત્તરઃ
= \frac{\sqrt{3} \times 2(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{24-8}
= \frac{\sqrt{3} \times 2(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{16}
= \frac{\sqrt{18}-\sqrt{6}}{8} = \frac{3 \sqrt{2}-\sqrt{6}}{8}
(iv) \frac{\sin 30^{\circ}+\tan 45^{\circ}-\operatorname{cosec} 60^{\circ}}{\sec 30^{\circ}+\cos 60^{\circ}+\cot 45^{\circ}}
ઉત્તરઃ
(v) \frac{5 \cos ^{2} 60^{\circ}+4 \sec ^{2} 30^{\circ}-\tan ^{2} 45^{\circ}}{\sin ^{2} 30^{\circ}+\cos ^{2} 30^{\circ}}
ઉત્તરઃ
= \frac{5\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+4\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^{2}-(1)^{2}}{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}
= \frac{\frac{5}{4}+\frac{16}{3}-1}{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}
= \frac{\left(\frac{15+64-12}{12}\right)}{1}=\frac{67}{12}
પ્રશ્ન 2.
સાચો વિકલ્પ પસંદ કરો અને તેની યથાર્થતા ચકાસોઃ
(i) \frac{2 \tan 30^{\circ}}{1+\tan ^{2} 30^{\circ}} = ………..
(A) sin 60°
(B) cos 60°
(C) tan 60°
(D) sin 30°
ઉત્તરઃ
\frac{2 \tan 30^{\circ}}{1+\tan ^{2} 30^{\circ}} = \frac{2\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}{1+\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2}}
= \frac{2\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}{1+\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2}}
= \frac{6}{\sqrt{3}(4)}
= \frac{2 \times 3}{4 \times \sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}
= sin 60° આથી સાચો વિકલ્પ (A) sin 60° છે.
(ii) \frac{1-\tan ^{2} 45^{\circ}}{1+\tan ^{2} 45^{\circ}} = ……..
(D) 0
(A) tan 90°
(B) 1
(C) sin 45
(D) 0
ઉત્તરઃ
\frac{1-\tan ^{2} 45^{\circ}}{1+\tan ^{2} 45^{\circ}} = \frac{1-(1)^{2}}{1+(1)^{2}}
= \frac{0}{2} = 0
આથી સાચો વિકલ્પ (D) 0 છે.
(iii) જ્યારે A = .. . હોય ત્યારે sin 2 = 2 sin A સત્ય હોય.
(A) 0°
(B) 30°
(C) 45
(D) 60°
ઉત્તરઃ
A = 0° માટે, sin 2A = sin 0° = 0 અને
2 sin A = 2 × sin 0° = 2 × 0 = 0
∴ A = 0° માટે, sin 2A = 2 sin A A = 30° માટે, sin 2A = sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2} અને
2 sin A = 2 sin 30° = 2 × \frac{1}{2} = 1
∴ A = 30° માટે, sin 2A ≠ 2 sin A
A = 45° માટે, sin 2A = sin 90° = 1
અને 2 sin A = 2 × sin 45° = 2 × \frac{1}{\sqrt{2}} = √2
∴ A માટે = 45°, sin 2A ≠ 2 sin A
A = 60° માટે, sin 2A = sin 120°
sin 120° આપણા હાલના અભ્યાસક્રમમાં નથી. આથી સાચો વિકલ્પ (A) 0° છે.
(iv) \frac{2 \tan 30^{\circ}}{1-\tan ^{2} 30^{\circ}} = ………..
(A) cos 60°
(B) sin 60°
(C) tan 60°
(D) sin 30°
ઉત્તરઃ
\frac{2 \tan 30^{\circ}}{1-\tan ^{2} 30^{\circ}} = \frac{2\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}{1-\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2}}
= \frac{\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)}{1-\frac{1}{3}}
= \frac{2 \times 3}{\sqrt{3} \times 2} = √3
= tan 60° આથી સાચો વિકલ્પ (C) tan 60° છે.
પ્રશ્ન 3.
જો tan (A + B) = √3 અને tan (A – B) = \frac{1}{\sqrt{3}}; 0° < A + B ≤ 90°; A > B, તો A અને B શોધો.
ઉત્તરઃ
tan (A + B) = √3
∴ tan (A + B) = tan 60°
∴ A + B = 60° ………..(1)
tan (A – B) = \frac{1}{\sqrt{3}}
∴ tan (A – B) = tan 30°
∴ A – B = 30° ………..(2)
સમીકરણ (1) અને (2) પરથી, A = 45° અને B = 15° મળે.
પ્રશ્ન 4.
નીચેના વિધાનો સત્ય છે કે અસત્ય તે જણાવો. તમારા જવાબની યથાર્થતા ચકાસોઃ
(i) sin (A + B) = sin A + sin B
ઉત્તરઃ
આપેલ વિધાન અસત્ય છે, કારણ કે sin (A + B) એ sin અને (A + B)નો ગુણાકાર નથી.
A = B = 30° લઈને આપણે સહેલાઈથી ચકાસી શકીએ.
A = B = 30° માટે, sin (A + B) = sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}
અને sin A + sin B = sin 30° + sin 30° = \frac{1}{2}+\frac{1}{2} = 1
(ii) જેમ જેમ નું મૂલ્ય વધે તેમ તેમ sin નું મૂલ્ય વધે છે.
ઉત્તરઃ
આપેલ વિધાન સત્ય છે, કારણ કે આપણે જાણીએ જ છીએ કે જેમ જેમ નું મૂલ્ય 0થી વધીને 90° થાય તેમ તેમ sin 9નું મૂલ્ય 0થી વધીને 1 થાય છે.
(iii) જેમ જેમ નું મૂલ્ય વધે તેમ તેમ cos નું મૂલ્ય 3 વધે છે.
ઉત્તરઃ
આપેલ વિધાન અસત્ય છે, કારણ કે આપણે જાણીએ જ છીએ કે જેમ જેમ નું મૂલ્ય 0થી વધીને 90° થાય છે તેમ તેમ cos θ નું મૂલ્ય 1થી ઘટીને 0 થાય છે.
(iv) θ ના દરેક મૂલ્ય માટે sin θ = cos θ થાય.
ઉત્તરઃ
આપેલ વિધાન અસત્ય છે, કારણ કે 45° સિવાયના છે ના કોઈ પણ મૂલ્ય માટે sin θ = cos θ ન થાય. ફક્ત તે θ = 45° હોય તો જ sin 45° = cos 45 = \frac{1}{\sqrt{2}}, મળે. sin 30° = \frac{1}{2} અને cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2} છે તથા sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2} અને cos 60° = \frac{1}{2} છે.
(v) A = 0° માટે cot A અવ્યાખ્યાયિત છે.
ઉત્તરઃ
આપેલ વિધાન સત્ય છે, કારણ કે sin 0° = 0 અને cos 0° = 1 પરથી cot 0° = \frac{\cos 0^{\circ}}{\sin 0^{\circ}}=\frac{1}{0} મળે અને 0 દ્વારા કોઈ પણ સંખ્યાનો ભાગાકાર અવ્યાખ્યાયિત છે.