Gujarat Board Statistics Class 11 GSEB Solutions Chapter 5 आवृत्ति वितरण की विषमता Ex 5.2 Textbook Exercise Questions and Answers.
Gujarat Board Textbook Solutions Class 11 Statistics Chapter 5 आवृत्ति वितरण की विषमता Ex 5.2
प्रश्न 1.
एक जीमखाने में कसरत करते अलग-अलग युवकों की आयु (वर्ष में) की निम्नलिखित आवृत्ति वितरण से बाउली की पद्धति द्वारा विषमतांक की गणना करके विषमता का प्रकार बताइए ।
उत्तर :
बाउली की पद्धति चतुर्थकों पर आधारित है और चतुर्थकों की गणना के लिए आवृत्ति वितरण को चढ़ते क्रम में गठित करके संचयी आवृत्ति की सारणी बनाकर प्रथम चतुर्थक (Q1), द्वितीय चतुर्थक Q2, तृतीय चतुर्थक Q3 ज्ञात करेंगे ।
| आयु (वर्ष में) | युवकों की संख्या | संचयी आवृत्ति cf |
| 17 | 4 | 4 |
| 18 | 11 | 15 |
| 20 | 19 | 34 |
| 22 | 9 | 43 |
| 23 | 8 | 51 |
| 25 | 22 | 73 |
| 26 | 7 | 80 |
| 28 | 3 | 83 |
प्रथम चतुर्थक Q1 = (\(\frac{n+1}{4}\)) वाँ अवलोकन मूल्य
= \(\frac{83+1}{4}=\frac{84}{4}\)
= 21 वाँ अवलोकन मूल्य cf में देखने पर 21 वाँ अवलोकन का मूल्य 20 है ।
∴ Q1 = 20 वर्ष
मध्यका M = \(\frac{\mathrm{n}+1}{2}\) वाँ अवलोकन मूल्य
= \(\left(\frac{83+1}{2}\right)=\frac{84}{2}\)
= 42 वाँ अवलोकन मूल्य cf की सारणी के अनुसार अवलोकन 22 है ।
∴ M = 22 वर्ष
तृतीय चतुर्थक Q3 = 3 (\(\frac{n+1}{4}\)) वाँ अवलोकन मूल्य
– 3 (\(\frac{83+1}{4}\)) = 3 × \(\frac{84}{4}\) = 3 × 21
= 63 वाँ अवलोकन मूल्य cf की सारणी के अनुसार अवलोकन 25 है ।
∴ Q3 = 25 वर्ष
विषमतांक j = \(\frac{\mathrm{Q}_3+\mathrm{Q}_1-2 \mathrm{M}}{\mathrm{Q}_3-\mathrm{Q}_1}=\frac{25+20-2 \times 22}{25-20}\)
= \(\frac{45-44}{5}\)
= \(\frac{1}{5}\) = 0.2
आवृत्ति वितरण में धन विषमता है ।
प्रश्न 2.
31 औद्योगिक उत्पादन करनेवाली कंपनीयाँ द्वारा जारी किये शेयर पूँजी में से भरपाई हुई पूँजी का आवृत्ति वितरण निम्नानुसार है । उस पर से बाउली की पद्धति से विषमता और विषमतांक ज्ञात करो और उसका प्रकार बताइए ।
उत्तर :
बाउली की पद्धति से विषमतांक ज्ञात करने के लिए मूल आवृत्ति वितरण प्राप्त करेंगे और संचयी आवृत्ति की सारणी बनाकर प्रथम चतुर्थक Q1, मध्यका M और तृतीय चतुर्थक Q3 की गणना करेंगे ।
| भरपाई पूँजी | कंपनीओं की संख्या (f) | cf |
| 0 – 100 | 0 | 0 |
| 100 – 300 | 06 | 6 |
| 300 – 500 | 10 | 16 |
| 500 – 700 | 03 | 19 |
| 700 – 900 | 04 | 23 |
| 900 – 1100 | 04 | 27 |
| 1100 – 1300 | 04 | 31 |
| कुल | 31 |
प्रथम चतुर्थक Q1 = \(\frac{\mathrm{n}}{4}\) वाँ अवलोकन मूल्य
= \(\frac{31}{4}\)
= 7.75 वाँ अवलोकन मूल्य cf की सारणी में देखने पर 300 – 500 के वर्ग में समाविष्ट है इसलिए Q1 वर्ग 300 – 500 प्राप्त होगा ।
∴ Q1 = L + \(\frac{\frac{n}{4}-c f}{f}\) × c
L = 300, \(\frac{n}{4}\) = 7.75, cf = 6, F = 10, c = 200
Q1 = 300 + \(\frac{7.75-6}{10}\) × 200 = 300 + \(\frac{1.75 \times 200}{10}\) = 300 + 35
∴ Q1 = 335 लाख रुपिया
मध्यका M = \(\frac{n}{2}\) वाँ अवलोकन मूल्य
= \(\frac{31}{2}\) वाँ अवलोकन मूल्य
= 15.5 वाँ अवलोकन मूल्य cf की सारणी में देखने पर 300 – 500 के वर्ग में समाविष्ट है इसलिए मध्यका वर्ग 300 – 500 प्राप्त होगा।
M = L + \(\frac{\frac{n}{2}-c f}{f}\) × c
जहाँ L = 300, \(\frac{n}{2}\) = 15.5, cf = 6, f = 10, c = 200
M = 300 + \(\frac{15.5-6}{10}\) × 200 = 300 + \(\frac{9.5 \times 200}{10}\) = 300 + 190
∴ M = 490 लाख रुपिया
तृतीय चतुर्थक Q3 = 3 (\(\frac{n}{2}\)) वाँ अवलोकन मूल्य
= 3(\(\frac{31}{4}\)) = 3 × 7.75 वाँ अवलोकन मूल्य
= 23.25 वाँ अवलोकन मूल्य cf की सारणी में देखने पर 900 – 1100 के वर्ग में समाविष्ट है इसलिए
Q3 वर्ग 900 – 1100 प्राप्त होगा ।
= 0.46
आवृत्ति वितरण में धन विषमता है ।
प्रश्न 3.
निम्न आवृत्ति वितरण 400 कंपनीयों का वर्ष 2014-15 के दौरान की बिक्री दर्शाता है । उस पर से बाउली की पद्धति से विषमता और विषमतांक ज्ञात करो और प्रकार बताइए ।
उत्तर :
आवृत्ति वितरण खुल्ले शिरेवाला है इसलिए प्रथम चतुर्थक Q1, द्वितीय चतुर्थक M, तृतीय चतुर्थक Q3 ज्ञात करेंगे ।
| बिक्री (हजार टन) | कंपनीओं की संख्या (f) | संचयी आवृत्ति cf |
| 20 से कम | 30 | 30 |
| 20 – 40 | 70 | 100 |
| 40 – 50 | 125 | 225 |
| 50 – 75 | 100 | 325 |
| 75 – 90 | 40 | 365 |
| 90 – 120 | 20 | 385 |
| 120 से अधिक | 15 | 400 |
| कुल | 400 |
प्रथम चतुर्थक Q3 = \(\frac{n}{4}\) वाँ अवलोकन मूल्य
= \(\frac{400}{4}\)
= 100 वाँ अवलोकन मूल्य cf में देखने पर अवलोकन वर्ग 20-40 में समाविष्ट है । इसलिए चतुर्थक वर्ग 20-40 होगा ।
Q1 = L + \(\frac{\frac{n}{4}-c f}{f}\) × c
जहाँ L = 20, \(\frac{n}{4}\) = 100, cf = 30, f = 70, c = 20
Q1 = 20 + \(\frac{100-30}{70}\) × 20 = 20 + \(\frac{70 \times 20}{70}\) = 20 + 20
∴ Q1 = 40 हजार टन
मध्यका M = \(\frac{n}{2}\) वाँ अवलोकन मूल्य
= \(\frac{400}{2}\)
= 200 वाँ अवलोकन मूल्य cf की सारणी में देखने पर मध्यका वर्ग 40 – 50 प्राप्त होगा ।
M = L + \(\frac{\frac{n}{2}-c f}{f}\) × c
जहाँ L = 40, \(\frac{\mathrm{n}}{2}\) = 200, cf = 100, f = 125, c = 10
M = 40 + \(\frac{200-100}{125}\) × 10 = 40 + \(\frac{100 \times 10}{125}\) = 40 + 8
∴ M = 48 हजार टन
तृतीय चतुर्थक Q3 = 3(\(\frac{n}{4}\)) वाँ अवलोकन मूल्य
=3(\(\frac{400}{4}\)) = 3 × 100 वाँ अवलोकन मूल्य
= 300 वाँ अवलोकन मूल्य cf की सारणी में देखने पर Q3 वर्ग 50-75 प्राप्त होगा ।
= 0.44
आवृत्ति वितरण में धन विषमता है ।
प्रश्न 4.
बीमा कंपनी द्वारा एक ब्रान्च में उसके एजन्टों को एक मास में बीमा पोलिसी की राशि पर भुगतान किया गया कमिशन का आवत्ति वितरण निम्नानसार है। उस पर से बाउली की पद्धति से विषमतांक ज्ञात करो ।
उत्तर :
बाउली की पद्धति के लिए प्रथम चतुर्थक Q1, द्वितीय चतुर्थक M, तृतीय चतुर्थक Q3 ज्ञात करेंगे ।
| कमिशन का भुगतान (हजार रु. में) | एजन्टों की संख्या (f) | cf |
| 10 – 12 | 4 | 4 |
| 12 – 14 | 10 | 14 |
| 14 – 16 | 16 | 30 |
| 16 – 18 | 29 | 59 |
| 18 – 20 | 52 | 111 |
| 20 – 22 | 80 | 191 |
| 22 – 24 | 32 | 223 |
| 24 – 26 | 23 | 246 |
| 26 – 28 | 17 | 263 |
| 28 – 30 | 1 | 264 |
प्रथम चतुर्थक Q1 = \(\frac{\mathrm{n}}{4}\) वाँ अवलोकन मूल्य
= \(\frac{264}{4}\)
= 66 वाँ अवलोकन मूल्य cf की सारणी में देखने पर Q1 वर्ग 18-20 प्राप्त होगा ।
Q1 = L + \(\frac{\frac{n}{4}-c f}{f}\) × c
जहाँ L = 18, \(\frac{n}{4}\) = 66, cf = 59, f = 52, c = 2
Q1 = 18 + \(\frac{66-59}{52}\) × 2 = 18 + \(\frac{14}{52}\) = 18 + 0.27
∴ Q1 = 12.27 हजार रु.
द्वितीय चतुर्थक M = \(\frac{n}{2}\) वाँ अवलोकन मूल्य
= \(\frac{264}{2}\)
= 132 वाँ अवलोकन मूल्य cf की सारणी में देखने पर Q2 = M वर्ग 20 – 22
M = L + \(\frac{\frac{n}{2}-c f}{f}\) × c
जहाँ L = 20, \(\frac{\mathrm{n}}{2}\) = 132, cf = 111, f = 80, c = 2
M = 20 + \(\frac{132-111}{80}\) × 2 = 20 + \(\frac{21 \times 2}{80}\) = 20 + \(\frac{42}{80}\) = 20 + 0.53
∴ M = 20.53 हजार रु.
तृतीय चतुर्थक Q3 = 3 (\(\frac{\mathrm{n}}{4}\)) वा अवलोकन मूल्य
= 3(\(\frac{264}{4}\)) = 3 × 66
= 198 वाँ अवलोकन मूल्य cf की सारणी में देखने पर Q3 वर्ग 22-24 प्राप्त होगा ।
Q3 = L + \(\frac{3\left(\frac{n}{4}\right)-c f}{f}\) × c
जहाँ L = 22, 3(\(\frac{\mathrm{n}}{4}\)) = 198, cf = 191, f = 32, c = 2
Q3 = 22 + \(\frac{198-191}{32}\) × 2 = 22 + \(\frac{14}{32}\) = 22 + 0.44
∴ Q3 = 22.44 हजार रु.
विषमतांक = \(\frac{\mathrm{Q}_3+\mathrm{Q}_1-2 \mathrm{M}}{\mathrm{Q}_3-\mathrm{Q}_1}\) = \(\frac{22.44+18.27-2 \times 20.53}{22.44-18.27}\) = \(\frac{40.71-41.06}{4.17}=\frac{-0.35}{4.17}\)
j = – 0.08