GSEB Solutions Class 11 Statistics Chapter 6 क्रमचय, संचय और द्विपद विस्तार Ex 6

Gujarat Board Statistics Class 11 GSEB Solutions Chapter 6 क्रमचय, संचय और द्विपद विस्तार Ex 6 Textbook Exercise Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 11 Statistics Chapter 6 क्रमचय, संचय और द्विपद विस्तार Ex 6

विभाग – A

निम्न विकल्प प्रश्नों के लिए सहि विकल्प का चयन करो ।

प्रश्न 1.
यदि किसी एक समूह में m भिन्न वस्तु और दूसरे समूह में n भिन्न वस्तु हो तो दोनों समूह में से किसी एक वस्तु का चयन कितने प्रकार से हो सकता है ?
(A) mn
(B) \(\frac{m}{n}\)
(C) m – n
(D) m + n
उत्तर :
(D) m + n

प्रश्न 2.
यदि प्रथम क्रिया m प्रकार से हो सकती हो और दूसरी क्रिया n प्रकार से हो सकती हो, तो दोनों क्रिया एक-साथ होने के कुल प्रकार कितना होगा ?
(A) mn
(B) \(\frac{m}{n}\)
(C) m – n
(D) m + n
उत्तर :
(A) mn

प्रश्न 3.
n! अर्थात् क्या ?
(A) 1 से n तक की प्राकृतिक संख्याओं का योग
(B) 1 से n तक की प्राकृतिक संख्याओं का गुणाकार
(C) 1 से n – r तक की प्राकृतिक संख्याओं का गुणाकार
(D) 0 से n तक की संख्याओं का गुणाकार
उत्तर :
(B) 1 से n तक की प्राकृतिक संख्याओं का गुणाकार

प्रश्न 4.
क्रमचय और संचय के प्रचलित संकेत अनुसार निम्न में से कौन-सा संबंध सही है ?
(A) ⁿC_r = ⁿP_r × r!
(B) ⁿP_r = ⁿC_r + r!
(C) ⁿP_r = \(\frac{{ }^n C_r}{r !}\)
(D) ⁿC_r = \(\frac{{ }^n P_r}{r !}\)
उत्तर :
(D) ⁿC_r = \(\frac{{ }^n P_r}{r !}\)

प्रश्न 5.
ⁿC_r का मूल्य निम्न में से किसके बराबर होगा ?
(A) \(\frac{n !}{(n-r) !}\)
(B) ⁿC_{n – r}
(C) ⁿC_{r – 1}
(D) \(\frac{{ }^n C_r+1}{r}\)
उत्तर :
(B) ⁿC_{n – r}

प्रश्न 6.
ⁿC_O + ⁿC_n का मूल्य ज्ञात करो ।
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 2n
उत्तर :
(C) 2

प्रश्न 7.
(n + 1) ! = 120 हो, तो n का मूल्य बताइए ।
(A) 3
(B) 4
(C) 5
(D) 6
उत्तर :
(B) 4

प्रश्न 8.
(x + a)^{n – 1} के विस्तार में कुल कितने पद होते है ?
(A) n
(B) n – 2
(C) n + 1
(D) n + 2
उत्तर :
(A) n

प्रश्न 9.
10 × n! = 240 हो, तो n का मूल्य ज्ञात करो ।
(A) 6
(B) 3
(C) 5
(D) 4
उत्तर :
(D) 4

प्रश्न 10.
(x + a)ⁿ के विस्तार का अंतिम पद बताइए ।
(A) aⁿ
(B) a^{n – 1}
(C) x^O
(D) x^{n – 1}
उत्तर :
(A) aⁿ

प्रश्न 11.
एक फन फेर की राईड में 3 व्यक्तियों को 8 स्थान पर कितनी रीति से बैठा सकते है ? ।
(A) ⁸C₃
(B) ³P₈
(C) ³C₈
(D) ⁸P₃
उत्तर :
(D) ⁸P₃

विभाग – B

निम्न प्रश्नों के उत्तर एक वाक्य में लिखिए ।

प्रश्न 1.
क्रमचय और संचय का मुख्य अंतर क्या है ?
उत्तर :
क्रमचय में क्रम का महत्त्व है जब कि संचय में क्रम को महत्त्व न देकर पसंदगी में समुच्चय या समूह को महत्त्व दिया जाता है ।

प्रश्न 2.
गणना का योग का मूलभूत सिद्धांत लिखो ।
उत्तर :
यदि किसी एक समूह में m भिन्न वस्तुओं ओर दूसरे समूह में n भिन्न वस्तुओं हो तो दोनों समूह की कुल वस्तुओं में से किसी एक वस्तु का चयन m + n प्रकार से होगा उसे गणना का योग का नियम कहते है ।

प्रश्न 3.
गणना का गुणाकार का मूलभूत सिद्धांत लिखो ।
उत्तर :
यदि प्रथम क्रिया n प्रकार से और दूसरी क्रिया n प्रकार से हो सकती हो तो दोनों क्रियाएँ एक साथ कुल m × n प्रकार से होगी । इस नियम को संयुक्त क्रिया की गणना का मौलिक सिद्धांत कहते है ।

प्रश्न 4.
प्रचलित संकेत अनुसार क्रमचय और संचय के बीच का गाणितिक संबंध लिखो ।
उत्तर :
क्रमचय nPr और संचय ⁿC_r के बीच गाणितिक संबंध ⁿC_r = \(\frac{{ }^n P_r}{r !}\)

प्रश्न 5.
(x + a)ⁿ में n = 6 रखने पर विस्तरण के सहगुणक लिखिए ।
उत्तर :
सहगुणक ⁶C₀, ⁶C₁, ⁶C₂, ⁶C₃, ⁶C₄, ⁶C₅, ⁶C, अर्थात् 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1 होगा ।

प्रश्न 6.
(x + a)ⁿ के विस्तरण का व्यापक पद लिखो ।
उत्तर :
व्यापक पद ⁿC_r x^{n – r} a^r होगा ।

प्रश्न 7.
एक ट्रेन के डिब्बे में 3 व्यक्तियों को बैठने के लिए 5 स्थान है, तो कितनी रीति से अपना स्थान प्राप्त कर सकते है ?
उत्तर :
3 व्यक्ति 5 स्थान पर ⁵P₃ रीति से बैठ सकती है ।
कुल प्रकार = ⁵P₃
= 5 × 4 × 3 = 60

प्रश्न 8.
ⁿC₂ = 15 हो, तो n का मूल्य बताइए ।
ⁿC_r = \(\frac{n !}{r !(n-r) !}\)
ⁿC₂ = \(\frac{n(n-1)(n-2) !}{2 !(n-2) !}\)
∴ 15 = \(\frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}-1)}{2 \times 1}\)
∴ n(n – 1) = 30
6(6 – 1) = 30
∴ n = 6

प्रश्न 9.
ⁿP₃ = 219 हो, तो n का मूल्य बताइए ।
उत्तर :
ⁿP_r = \(\frac{n !}{(n-r) !}\)
ⁿP₃ = \(\frac{n(n-1)(n-3) !}{(n-3) !}\)
∴ 210 = n (n – 2)
= 7(7 – 1) (7 – 2) 7 × 6 × 5
∴ n = 7

प्रश्न 10.
TUESDAY शब्द के सभी अक्षरों का प्रयोग करके कुल कितने नये शब्दों की रचना की जा सकती है ?
उत्तर :
TUESDAY में कुल 7 अक्षर है । सभी अक्षरों का उपयोग करना है । ∴ n = 7 r = 7
उत्तर :
= ⁷P₇ शब्द बन सकते है । = 7!
= 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1
∴ = 5040
∴ नये शब्दों की संख्या = 5040 – 1 = 5039

प्रश्न 11.
VIAAN शब्द के सभी अक्षरों का उपयोग करके कितने शब्द बनाये जा सकते है ?
उत्तर :
VIAAN शब्द में कुल 5 अक्षर है जिस में A का 2 बार पुनरावर्तन होता है ।
∴ कुल क्रमचय = \(\frac{5 !}{2 !}=\frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1}\) = 60

प्रश्न 12.
5 भिन्न भिन्न पत्रों को 5 लिफाफे में कितनी रीति से रख सकते है ?
उत्तर :
5 भिन्न-भिन्न पत्रों को 5 लिफाफे में रखने के कुल प्रकार ‘P, होगा।
∴ कुल प्रकार = 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

प्रश्न 13.
ⁿP_r अर्थात् क्या ?
उत्तर :
n भिन्न-भिन्न वस्तुओं में से r स्थानों पर वस्तुओं का गठन करना है अर्थात् ⁿP_r

प्रश्न 14.
(x + a)ⁿ के विस्तार के n + 1 पदों का सहगुणक लिखिए ।
उत्तर :
सहगुणक ⁿC₀, ⁿC₁, ⁿC₂ ………. ⁿC_n है ।

प्रश्न 15.
यदि ⁿC_x = ⁿC_y हो, तो x और y के संबंध के दो विकल्प लिखिए ।
उत्तर :
ⁿC_x = ⁿC_y में प्रथम विकल्प x + y = n और दूसरा विकल्प x = y होगा ।

विभाग – C

निम्न प्रश्नों के उत्तर दीजिए ।

प्रश्न 1.
द्वि-पद विस्तार के लक्षण लिखिए ।
उत्तर :
द्वि-पद विस्तार में निम्न लक्षण देखे जा सकती है ।

1. इस विस्तार में पदों की संख्या n + 1 होती है ।
2. विस्तार के पदों का सहगुणक क्रमशः ⁿC₀, ⁿC₁, ⁿC₂ …. ⁿC_n है ।
3. प्रथम पद xⁿ एवं अंतिम पद aⁿ होता है।
4. किसी पद में x की घात और a की घात का योग n होता है ।
5. मध्य के पद से समान अन्तर पर आये पदों के सहगुणक समान होते है ।

प्रश्न 2.
एक विज्ञानमेला में 10 विद्यालय हिस्सा लेते है । विद्यालय में प्रथम, द्वितीय और तृतीय पारितोषिक कितनी रीति से बाँट सकते है ?
उत्तर :
10 विद्यालयों को तीन पारितोषिक ¹⁰P₃ रीति से बाँट सकते है ।
कुल प्रकार ¹⁰P₃ = \(\frac{10 !}{(10-3) !}=\frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 !}{7 !}\) = 720

प्रश्न 3.
4 लड़के और 3 लड़कियों को एक पंक्ति में कितनी रीति से गठित किया जा सकता है कि जिससे कोई दो लड़के या दो लड़कियाँ एकसाथ न आये ?
उत्तर :
B G B G B G B
कुल प्रकार = ⁴P₄ × ³P₃ = 4! × 3! = 4 × 3 x 2 × 1 × 3 × 2 × 1 = 24 × 6 = 144

प्रश्न 4.
एक टेबल पर अंकशास्त्र की 6, लेखाशास्त्र की 5 और अंग्रेजी विषय की 4 भिन्न किताब एक पंक्ति में कितनी रीति से गठन कर सकते है कि जिस से प्रत्येक विषय की किताब एकसाथ आये ?
उत्तर :
प्रत्येक विषय की किताब साथ में आये इस प्रकार गठन करना है ।
∴ अंकशास्त्र की 6 किताबें गठन करने के प्रकार ⁶P₆ = 6!
लेखाशास्त्र की 5 किताबें गठन करने के प्रकार ⁵P₅ = 5!
अंग्रेजी की 4 किताबें कठन करने के प्रकार ⁴P₄ = 4!
तीनों भिन्न-भिन्न विषय के गठन के प्रकार ³P₃ = 3!
∴ टेबल पर किताबें गठन करने के प्रकार = (6! × 5! × 4!) × 3!
= (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 × 4 × 3 × 2 × 1) × (3 × 2 × 1)
= 720 × 120 × 24 × 6 = 12441600

प्रश्न 5.
3, 8, 0, 76 सभी अंकों का उपयोग करके पाँच अंक की कितनी संख्याएँ बनाई जा सकती है ?
उत्तर :
प्रथम स्थान पर 0 का उपयोग करे तो वह संख्या 5 अंक की नहि कहलाती इसलिए प्रथम स्थान पर (3, 8, 7, 6) में से कोई एक संख्या का गठन ⁴P₁ रीति से और शेष चार अंक शून्य सहित ⁴P₄ रीति से गठन किया जायेगा ।
∴ 5 अंकवाली संख्याओं का कुल क्रमचय = ⁴P₁ × ⁴P₄ = 4 × 4!
= 4 × 4 × 3 × 2 × 1 = 4 × 24 = 96
∴ 5 अंकवाली 96 संख्या होगी ।

प्रश्न 6.
TANI शब्द के सभी अक्षरों का उपयोग करके कितने शब्दों की रचना की जा सकती है कि जिसमें स्वर एकसाथ आयें ?
उत्तर :
TANI शब्द में 4 अक्षर है । A और I दो स्वर है । दोनों स्वर को ²P₂ रीति से उसे एक समूह गिनने पर 2 + 1 = 3 का गठन ³P₃ और 2 स्वर का आंतरिक गठन ²P₂ रीति से कर सकते है ।
∴ कुल क्रमचय = ³P₃ × ²P₂ = 3! × 2!
= 3 × 2 × 1 × 2 × 1 = 6 × 2 = 12

प्रश्न 7.
MANGO शब्द के सभी अक्षरों का उपयोग करके कितने शब्द बनेंगे जिसमें स्वर एकसाथ न आये ?
उत्तर :
MANGO शब्द में कुल 5 अक्षर है जिसमें स्वर A, O है । दोनों स्वर साथ में ²P₂ रीति से आ सकते है । दो का एक समूह गिनने पर 3 व्यंजन + 1 स्वर का समूह = 4 का गठन ⁴P₄ और दोनों स्वर का आंतरिक गठन ²P₂ रीति से होगा ।
दोनों स्वर साथ में आने के प्रकार = ⁴P₄ × ²P₂ = 4! × 2!
= 24 × 2 = 48
अब MANGO शब्द के सभी अक्षरों का गठन ⁵P₅ रीति से होगा । ⁵P₅ = 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1
∴ कुल प्रकार = 120
दोनों स्वर एकसाथ न आने के प्रकार = कुल प्रकार – साथ में आने के प्रकार
= 120 – 48 = 72

प्रश्न 8.
अयुग्म अंक अयुग्म स्थान पर आये ऐसा 1234321 के सभी अंकों का उपयोग करके कितनी संख्याएँ बन सकती है?
उत्तर :
1, 2, 3, 4, 3, 2, 1 में अयुग्म अंक 1, 3, 3, 1 चार अंक है जिसमें 1 दो बार और 3 दो बार है इसलिए अयुग्म स्थान पर गठन के कुल प्रकार = \(\frac{4 !}{2 ! \times 2 !}=\frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1 \times 2 \times 1}\) = 6
समअंक 2, 4, 2 है जिस में 2 का 2 बार पुनरावर्तन होता है इसलिए समस्थान पर 3 अंक के कुल प्रकार
= \(\frac{3 !}{2 !}=\frac{3 \times 2 \times 1}{2 \times 1}\) = 3
अब अयुग्म स्थान पर अयुग्म अंक का गठन से बनती संख्या = 6 × 3 = 18

प्रश्न 9.
ROLLS शब्द के सभी अक्षरों का गठन से बनते और DOLLS शब्द के सभी अक्षरों का गठन से बनती संख्याओं का गुणोत्तर कितना होगा ?
उत्तर :
ROLLS शब्द में 5 अक्षर है जिसमें L का 2 बार पुनरावर्तन होता है ।
∴ कुल क्रमचय = \(\frac{5 !}{2 !}=\frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1}\)
DOLLS शब्द में 5 अक्षर है जिस में L का 2 बार पुनरावर्तन होता है ।
∴ कुल क्रमचय = \(\frac{5 !}{2 !}=\frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1}\)
दोनों का अनुपात 60 : 60 = 1 : 1 होगा ।

प्रश्न 10.
एक बोक्स में 6 स्क्रू है जिस में 2 स्क्रू दोषयुक्त है । उसमें से दोषमुक्त दो स्क्रू कितनी रीति से चयन होगे ?
उत्तर :
6 स्क्रू में 2 स्क्रू दोषयुक्त है । इसलिए 4 स्क्रू दोषमुक्त होगे अब दोषमुक्त 2 स्क्रू ⁴C₂ रीति से चयन कर सकते है ।
∴ कुल प्रकार ⁴C₂ = \(\frac{4 !}{2 !(4-2) !}=\frac{4 \times 3 \times 2 !}{2 \times 1 \times 2 !}\) = 6

प्रश्न 11.
तास के 52 पत्तों में से 2 पत्ते पसंद किये जाय तो दोनों पत्ते बेगम अथवा बादशाह का कितनी रीति से पसंद होगा?
उत्तर :
दोनों पत्ते बेगम के ⁴C₂ अथवा दोनों पत्ते बादशाह के ⁴C₂ रीति से चयन होगे ।
∴ कुल प्रकार = ⁴C₂ + ⁴C₂ = \(\frac{4 !}{2 !(4-2) !}+\frac{4 !}{2 !(4-2) !}\)
= \(\frac{4 \times 3 \times 2 !}{2 \times 1 \times 2 !}+\frac{4 \times 3 \times 2 !}{2 \times 1 \times 2 !}\) 6 + 6 = 12

प्रश्न 12.
तास के 52 पत्तों में से तीन पत्ते एक ही रंग के कितनी रीति से पसंदगी की जा सकती है ?
उत्तर :
तास के 52 पत्तों की गड्डी में दो रंग के पत्ते होते है । 26 पत्ते काला रंग और 26 पत्ते लाल रंग के होते है। 26 काला रंग के पत्तों में से 3 पत्ते ²⁶C₃ प्रकार से और 26 लाल रंग के पत्तों में से 3 पत्ते ²⁶C₃ प्रकार से चयन होगे ।
∴ कुल प्रकार = ²⁶C₃ + ²⁶C₃ = \(\frac{26 !}{3 !(26-3) !}+\frac{26 !}{3 !(26-3) !}\)
= \(\frac{26 \times 25 \times 24 \times 23 !}{3 \times 2 \times 1 \times 23 !}\) + \(\frac{26 \times 25 \times 24 \times 23 !}{3 \times 2 \times 1 \times 23 !}\) = 2600 + 2600 = 5200

प्रश्न 13.
(2x + 3y)³ का विस्तार करो ।
उत्तर :
(2x + 3y)³ = ³C₀ (2x)³ (3y)⁰ + ³C₁ (2x)² (3y)¹ + ³C₂ (2x)¹ (3y)² + ³C₃ (2x)⁰ (3y)³
= 1 × 8x³ × 1 + 3 × 4x² × 3y + 3 × 2x × 9y² + 1 × 1 × 27y³
= 8x³ + 36x²y + 54xy² + 27y³

प्रश्न 14.
(x – \(\frac{1}{x}\))³ का विस्तार करो ।
उत्तर :
(x – \(\frac{1}{x}\))³ = ³C₀x³(\(\frac{1}{x}\))⁰ –
³C₁x²(\(\frac{1}{x}\))¹ + ³C₂x¹(\(\frac{1}{x}\))² –
³C₃x⁰(\(\frac{1}{x}\))³
= 1 × x³ × 1 – 3 × x² x + \(\frac{1}{x}\) + 3 × x × \(\frac{1}{x^2}\) – 1 × 1 × \(\frac{1}{x^3}\)
= x³ – 3x + \(\frac{3}{x}-\frac{1}{x^3}\)

प्रश्न 15.
(y + k)⁵ का विस्तार करो।
उत्तर :
(y + k)⁵ = ⁵C₀ (y)⁵ + ⁵C₁ (y)⁴ (k)¹ + ⁵C₂ (y)³ (k)² + ⁵C₃ (y)² (k)³ + ⁵C₄ (y)¹(k)⁴ + ⁵C₅ (k)⁵
= 1 × y⁵ + 5y⁴k¹ + 10y³k² + 10y²k² + 5y¹k⁴ + 1 × k⁵
= y⁵ + 5y⁴k + 10y³k² + 10y²k³ + 5yk⁴ + k⁵

विभाग – D

निम्न प्रश्नों के उत्तर दीजिए ।

प्रश्न 1.
प्रथम 5 प्राकृतिक संख्याओं का उपयोग करके
(1) कुल कितनी संख्याएँ बनेगी ?
(2) 30000 से बड़ी कितनी संख्याएँ बनेगी ?
(3) 5 से निःशेष भाज्य कितनी संख्या बनेगी ?
उत्तर :
प्राकृतिक संख्याएँ 1, 2, 3, 4, 5 होगी ।
(1) सभी संख्याओं का उपयोग करना है। ∴ n = 5 ∴ r = 5
कुल क्रमचय = ⁵P₅ = 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

(2) 30000 से बड़ी संख्या के लिए प्रथम स्थान पर 3 अथवा 4 अथवा 5 का अंक होना चाहिए । प्रथम स्थान पर 3, 4, 5 में से कोई एक अंक का चयन ³P₁ रीति से और शेष चार अंक का उपयोग ⁴P₄ रीति से होगा ।
कुल क्रमचय = ³P₁ × ⁴P₄ = 3 × 4! = 3 × 4 × 3 × 2 × 1 = 3 × 24 = 72

(3) 5 से निःशेष विभाज्य संख्या के लिए इकाई के स्थान पर 5 का अंक ¹P₁ रीति से और शेष 4 अंक का उपयोग ⁴P₄ रीति से होगा ।
5 द्वारा निःशेष भाज्य हो ऐसी संख्या = ¹P₁ × ⁴P₄ = 1 × 4! = 1 × 4 × 3 × 2 × 1 = 24

प्रश्न 2.
4 लड़के और 4 लड़कियों को एक पंक्ति में कितने प्रकार से खड़े किये जा सकते है कि जिसमें कोई भी दो लड़के और कोई भी दो लड़कियाँ एकसाथ न आये ?
उत्तर :
4 लड़के और 4 लड़कियों को निम्न क्रम अनुसार एक पंक्ति में गठित कर सकते है जिसमें दो लड़के और दो लड़कियाँ एकसाथ न आये ।

∴ कुल प्रकार = 1152

प्रश्न 3.
3 लड़के और 2 लड़कियों को एक पंक्ति में कितने प्रकार से खड़े किये जा सकते है कि जिसमें
(1) दोनों लड़कियाँ एकसाथ आये ?
(2) लड़के और लडकियाँ बारीबारी से आये ?
(3) तीनों लड़के एकसाथ आये ?
उत्तर :
(1) दोनों लड़कियों का एक समूह गीनने पर 3 लड़के + 1 लड़की = 4 का गठन ⁴P₄ रीति से और 2 लड़कियों का आंतरिक गठन ²P₂ रीति से
∴ दोनों लड़कियाँ पास पास में आने के प्रकार = ⁴P₄ × ²P₂
= 4! × 2! = 24 × 2 = 48

(2) लड़के और लड़कियाँ बारी बारी से आये उसे निम्न क्रम से गठित कर सकते है । B G B G B
∴ कुल प्रकार = ³P₃ × ²P₂
= 3! × 2! = 6 × 2 = 12

(3) तीनों लड़के एकसाथ हो उसे एक समूह गिनने पर 2 लड़की + 1 लड़कों का समूह = 3 का गठन ³P₃ और 3 लड़कों का आंतरिक गठन ³P₃ रीति से होगा ।
∴ तीनों लड़के एकसाथ आये उसके प्रकार = ³P₃ × ³P₃
= 3! × 3! = 6 × 6 = 36

प्रश्न 4.
WAKEFUL शब्द सभी अक्षरों का उपयोग करके बनते सभी शब्दों को शब्दकोषानुसार गठित किया जाय तो WAKEFUL शब्द किस क्रम पर आयेगा ?
उत्तर :
WAKEFUL शब्द के अक्षर 7 है ।
शब्दों को क्रमानुसार AEFKLUW
A प्रथम स्थान पर हो ऐसे शब्दों की संख्या = ¹P₁ × ⁶P₆ = 1 × 6! = 720 प्रकार
E प्रथम स्थान पर हो ऐसे शब्दों की संख्या = ¹P₁ × ⁶P₆ = 1 × 6! = 720 प्रकार
F प्रथम स्थान पर हो ऐसे शब्दों की संख्या = ¹P₁ × ⁶P₆ = 1 × 720 = 720 प्रकार
K प्रथम स्थान पर हो ऐसे शब्दों की संख्या = ¹P₁ × ⁶P₆ = 1 × 6! = 720 प्रकार
L प्रथम स्थान पर हो ऐसे शब्दों की संख्या = ¹P₁ × ⁶P₆ = 1 × 6! = 720 प्रकार
U प्रथम स्थान पर हो ऐसे शब्दों की संख्या = ¹P₁ × ⁶P₆ = 1 × 6! = 720 प्रकार
W प्रथम स्थान और A दूसरे स्थान E तीसरे स्थान पर हो ऐसे शब्दों की संख्या
¹P₁ × ¹P₁ × ¹P₁ × ⁴P₄ = 1 × 1 × 1 × 4! = 24 प्रकार
W प्रथम स्थान और A दूसरे स्थान पर F तीसरे स्थान पर हो ऐसे शब्दों की संख्या
¹P₁ × ¹P₁ × ¹P₁ × ⁴P₄ = 1 × 1 × 1 × 4! = 24 प्रकार
W प्रथम स्थान, A दूसरे स्थान K तीसरे स्थान E चौथा स्थान
F पाँचवा स्थान पर हो ऐसे शब्द 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 = 1
W प्रथम स्थान, A दूसरे स्थान K तीसरे स्थान E चौथा स्थान F पाचवा स्थान U और L का गठन
¹P₁ × ¹P₁ × ¹P₁ × ¹P₁ × ¹P₁ × ¹P₁ × ¹P₁ = 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 = 1
WAKEFUL शब्द का क्रम = 720 + 720 + 720 + 720 + 720 + 720 + 24 + 24 + 1 + 1 = 4370 वा क्रम पर होगा ।

प्रश्न 5.
एक पार्टी में 4 युगल हिस्सा लेते है । वह 8 व्यक्तियों मे से 2 व्यक्तियों का चयन किया जाय तो
(1) चयन हुए दोनों व्यक्ति पति-पत्नी हो उसके प्रकार कितने होगे ?
(2) एक पुरुष और एक स्त्री हो उसके प्रकार कितने ?
(3) चयन किये दो व्यक्तियों में एक पुरुष और एक स्त्री हो लेकिन पति-पत्नी न हो ऐसा चयन कितने प्रकार से होगा?
उत्तर :
(1) पति-पत्नी हो अर्थात् 4 में से किसी एक युगल का चयन ⁴C₁ होगा ।
कुल प्रकार = ⁴C₁ = 4 प्रकार

(2) एक पुरुष और एक स्त्री हो 4 पुरुष में से 1 पुरुष ⁴C₁ और 4 स्त्री में से 1 स्त्री ⁴C₁ रीति से चयन होगा ।
कुल प्रकार = ⁴C₁ × ⁴C₁= 4 × 4 = 16 प्रकार

(3) एक पुरुष और एक स्त्री का चयन हो लेकिन पति-पत्नी न हो अर्थात् एक पुरुष और एक स्त्री होने के प्रकार में से .. पति-पत्नी होने का प्रकार घटाने पर एक पुरुष और एक स्त्री होंगे लेकिन पति-पत्नी नहि होंगे ।
∴ प्रकार = 16 – 4 = 12 प्रकार

प्रश्न 6.
एक टेबल पर अंकशास्त्र की 4 और अर्थशास्त्र की 3 भिन्न-भिन्न किताबें है । दो किताब का चयन किया जाय तो चयन .
किये दोनों किताब में
(1) दोनों किताबें एक विषय की कितने प्रकार से चयन किया जायेगा ?
(2) दोनों किताबें भिन्न-भिन्न विषय के कितनी रीति से चयन किया जायेगा ?
(3) अर्थशास्त्र विषय का एक भी किताब न हो ऐसा चयन कितनी रीति से हो सकता है ? ।
उत्तर :
(1) दोनों पुस्तकें एक ही विषय के हो उसके चयन के कुल प्रकार में दोनों अंकशास्त्र की अथवा दोनों अर्थशास्त्र विषय की होगी ।
∴ कुल प्रकार = ⁴C₂ + ³C₂ = \(\frac{4 !}{2 !(4-2) !}+\frac{3 !}{2 !(3-2) !}\)
= \(\frac{4 \times 3 \times 2 !}{2 \times 1 \times 2 !}+\frac{3 \times 2 !}{2 ! \times 1}\) = 6 + 3 = 9

(2) दोनों किताबें अलग अलग विषय की हो अर्थात् 1 किताब अंकशास्त्र की और 1 किताब अर्थशास्त्र की होगी ।
∴ कुल प्रकार = ⁴C₁ + ³C₁ = 4 × 3 = 12

(3) अर्थशास्त्र की एक भी किताब न हो अर्थात् दोनों किताबे अंकशास्त्र की होगी ।
∴ कुल प्रकार = ⁴C₂ = \(\frac{4 \times 3 \times 2 !}{2 \times 1 \times 2 !}\) = 6

प्रश्न 7.
एक खिलौने की दुकान में 3 गुड़िया, 4 किचनसेट और 3 कार डिस्प्ले में रखा है । एक बच्चा उसमें से 3 खिलौने चयन करता है तो
(1) तीनों गुडिया का कितनी रीति से चयन होगा?
(2) तीनों खिलौने भिन्न-भिन्न कितनी रीति से चयन कर सकते है ?
(3) दो गुडिया और 1 किचन सेट कितनी रीति से चयन कर सकते है ?
उत्तर :
(1) तीनों गुडिया ³C₃ रीति से चयन होगा ।
∴ कुल प्रकार = ³C₃ = \(\frac{3 !}{3 !(3-3) !}\) = 1

(2) तीनों भिन्न-भिन्न अर्थात् 1 गुडिया, 1 किचन सेट और 1 कार के चयन की रीति ³C₁, ⁴C₁, ³C₁ होगा ।
∴ कुल प्रकार = ³C₁ × ⁴C₁ × ³C₁ = 3 × 4 × 3 = 36

(3) दो गुडिया का चयन ³C₂ और एक किचन सेट का चयन ⁴C₁ रीति से होगा ।
∴ कुल प्रकार = ³C₂ × ⁴C₁ = \(\frac{3 \times 2 !}{2 !(3-2) !}\) × 4 = 3 × 4 = 12

प्रश्न 8.
एक सामाजिक संस्था के साथ 4 C.A और 5 डोक्टर जुड़े हुए है । उसमें से 3 सदस्यों की समिति बनानी है ।
(1) C.A. की संख्या बहुमत में हो ।
(2) डोक्टर की संख्या बहुमत में हो ऐसी पसंदगी कितने प्रकार से कर सकते है ?
उत्तर :
(1) C.A. की संख्या बहुमत में रखने के लिए निम्न विकल्प बनेगे ।
(1) 2 C.A. 1 डोक्टर
अथवा
(2) 3 C.A. 0 डोक्टर
∴ कुल प्रकार = ⁴C₂ × ⁵C₁ + ⁴C₃ × ⁵C₀ = \(\frac{4 \times 3 \times 2 !}{2 \times 1 \times 2 !}\) × 5 + \(\frac{4 \times 3 \times 2}{3 \times 2 \times 1}\) × 1
= 6 × 5 + 4 × 1 = 30 + 4 = 34

(2) डोक्टर बहुमत में हो उसके लिए निम्न विकल्प बनेंगे ।
(1) 2 डोक्टर 1 C.A.
अथवा (2) 3 डोक्टर 0 C.A.
∴ कुल प्रकार = ⁵C₂ × ⁴C₁ + ⁵C₃ × ⁴C₀ = \(\frac{5 \times 4}{2 \times 1}\) × 4 + \(\frac{5 \times 4 \times 3 !}{3 !(5-3) !}\) × 1
= 10 × 4 + 10 × 1 = 40 + 10 = 50

प्रश्न 9.
(√7 + 1)³ – (√7 – 1)³ का मूल्य द्वि-पद विस्तार की विधि से प्राप्त करो ।
उत्तर :

(दो पदावलि के बीच ऋण चिन्ह होने से दूसरी पदावलि के चिन्हों में परिवर्तन होगा जिससे दोनों पदावलि में प्रथम और तृतीय पद का लोप होगा)
= 2[³C₁ (√7)² (1)¹ + ³C₃ (√7)⁰ (1)³] = 2[3 × 7 × 1 + 1 × 1 × 1]
= 2 [21 + 1] = 2 [22] = 44

प्रश्न 10.
(√3 + 1)⁶ + (√3 – 1)⁶ का मूल्य द्वि-पद विस्तार की विधि से प्राप्त करो ।
उत्तर :

(दो पदावलि के बीच धन चिन्ह होने से दूसरी पदावलि के चिन्हों में परिवर्तन नहि होगा जिस से दोनों पदावलि में दूसरा, चौथा और छठा पद का लोप होगा ।)
= 2[⁶C₀ (√3)⁶ (1)⁰ + ⁶C₂ (√3)⁴ (1)² + ⁶C₄ (√3)² (1)⁴ + ⁶C₆ (√3)⁰ (1)⁶]
= 2[1 × 27 × 1 + 15 × 9 × 1 + 15 × 3 × 1 + 1 × 1 × 1]
= 2 [27 + 135 + 45 + 1] = 2 [208] = 416