GSEB Solutions Class 11 Statistics Chapter 6 क्रमचय, संचय और द्विपद विस्तार Ex 6

Gujarat Board Statistics Class 11 GSEB Solutions Chapter 6 क्रमचय, संचय और द्विपद विस्तार Ex 6 Textbook Exercise Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 11 Statistics Chapter 6 क्रमचय, संचय और द्विपद विस्तार Ex 6

विभाग – A

निम्न विकल्प प्रश्नों के लिए सहि विकल्प का चयन करो ।

प्रश्न 1.
यदि किसी एक समूह में m भिन्न वस्तु और दूसरे समूह में n भिन्न वस्तु हो तो दोनों समूह में से किसी एक वस्तु का चयन कितने प्रकार से हो सकता है ?
(A) mn
(B) \(\frac{m}{n}\)
(C) m – n
(D) m + n
उत्तर :
(D) m + n

प्रश्न 2.
यदि प्रथम क्रिया m प्रकार से हो सकती हो और दूसरी क्रिया n प्रकार से हो सकती हो, तो दोनों क्रिया एक-साथ होने के कुल प्रकार कितना होगा ?
(A) mn
(B) \(\frac{m}{n}\)
(C) m – n
(D) m + n
उत्तर :
(A) mn

प्रश्न 3.
n! अर्थात् क्या ?
(A) 1 से n तक की प्राकृतिक संख्याओं का योग
(B) 1 से n तक की प्राकृतिक संख्याओं का गुणाकार
(C) 1 से n – r तक की प्राकृतिक संख्याओं का गुणाकार
(D) 0 से n तक की संख्याओं का गुणाकार
उत्तर :
(B) 1 से n तक की प्राकृतिक संख्याओं का गुणाकार

प्रश्न 4.
क्रमचय और संचय के प्रचलित संकेत अनुसार निम्न में से कौन-सा संबंध सही है ?
(A) nCr = nPr × r!
(B) nPr = nCr + r!
(C) nPr = \(\frac{{ }^n C_r}{r !}\)
(D) nCr = \(\frac{{ }^n P_r}{r !}\)
उत्तर :
(D) nCr = \(\frac{{ }^n P_r}{r !}\)

प्रश्न 5.
nCr का मूल्य निम्न में से किसके बराबर होगा ?
(A) \(\frac{n !}{(n-r) !}\)
(B) nCn – r
(C) nCr – 1
(D) \(\frac{{ }^n C_r+1}{r}\)
उत्तर :
(B) nCn – r
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प्रश्न 6.
nCO + nCn का मूल्य ज्ञात करो ।
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 2n
उत्तर :
(C) 2

प्रश्न 7.
(n + 1) ! = 120 हो, तो n का मूल्य बताइए ।
(A) 3
(B) 4
(C) 5
(D) 6
उत्तर :
(B) 4

प्रश्न 8.
(x + a)n – 1 के विस्तार में कुल कितने पद होते है ?
(A) n
(B) n – 2
(C) n + 1
(D) n + 2
उत्तर :
(A) n

प्रश्न 9.
10 × n! = 240 हो, तो n का मूल्य ज्ञात करो ।
(A) 6
(B) 3
(C) 5
(D) 4
उत्तर :
(D) 4

प्रश्न 10.
(x + a)n के विस्तार का अंतिम पद बताइए ।
(A) an
(B) an – 1
(C) xO
(D) xn – 1
उत्तर :
(A) an

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प्रश्न 11.
एक फन फेर की राईड में 3 व्यक्तियों को 8 स्थान पर कितनी रीति से बैठा सकते है ? ।
(A) 8C3
(B) 3P8
(C) 3C8
(D) 8P3
उत्तर :
(D) 8P3

विभाग – B

निम्न प्रश्नों के उत्तर एक वाक्य में लिखिए ।

प्रश्न 1.
क्रमचय और संचय का मुख्य अंतर क्या है ?
उत्तर :
क्रमचय में क्रम का महत्त्व है जब कि संचय में क्रम को महत्त्व न देकर पसंदगी में समुच्चय या समूह को महत्त्व दिया जाता है ।

प्रश्न 2.
गणना का योग का मूलभूत सिद्धांत लिखो ।
उत्तर :
यदि किसी एक समूह में m भिन्न वस्तुओं ओर दूसरे समूह में n भिन्न वस्तुओं हो तो दोनों समूह की कुल वस्तुओं में से किसी एक वस्तु का चयन m + n प्रकार से होगा उसे गणना का योग का नियम कहते है ।

प्रश्न 3.
गणना का गुणाकार का मूलभूत सिद्धांत लिखो ।
उत्तर :
यदि प्रथम क्रिया n प्रकार से और दूसरी क्रिया n प्रकार से हो सकती हो तो दोनों क्रियाएँ एक साथ कुल m × n प्रकार से होगी । इस नियम को संयुक्त क्रिया की गणना का मौलिक सिद्धांत कहते है ।

प्रश्न 4.
प्रचलित संकेत अनुसार क्रमचय और संचय के बीच का गाणितिक संबंध लिखो ।
उत्तर :
क्रमचय nPr और संचय nCr के बीच गाणितिक संबंध nCr = \(\frac{{ }^n P_r}{r !}\)

प्रश्न 5.
(x + a)n में n = 6 रखने पर विस्तरण के सहगुणक लिखिए ।
उत्तर :
सहगुणक 6C0, 6C1, 6C2, 6C3, 6C4, 6C5, 6C, अर्थात् 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1 होगा ।

प्रश्न 6.
(x + a)n के विस्तरण का व्यापक पद लिखो ।
उत्तर :
व्यापक पद nCr xn – r ar होगा ।

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प्रश्न 7.
एक ट्रेन के डिब्बे में 3 व्यक्तियों को बैठने के लिए 5 स्थान है, तो कितनी रीति से अपना स्थान प्राप्त कर सकते है ?
उत्तर :
3 व्यक्ति 5 स्थान पर 5P3 रीति से बैठ सकती है ।
कुल प्रकार = 5P3
= 5 × 4 × 3 = 60

प्रश्न 8.
nC2 = 15 हो, तो n का मूल्य बताइए ।
nCr = \(\frac{n !}{r !(n-r) !}\)
nC2 = \(\frac{n(n-1)(n-2) !}{2 !(n-2) !}\)
∴ 15 = \(\frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}-1)}{2 \times 1}\)
∴ n(n – 1) = 30
6(6 – 1) = 30
∴ n = 6

प्रश्न 9.
nP3 = 219 हो, तो n का मूल्य बताइए ।
उत्तर :
nPr = \(\frac{n !}{(n-r) !}\)
nP3 = \(\frac{n(n-1)(n-3) !}{(n-3) !}\)
∴ 210 = n (n – 2)
= 7(7 – 1) (7 – 2) 7 × 6 × 5
∴ n = 7

प्रश्न 10.
TUESDAY शब्द के सभी अक्षरों का प्रयोग करके कुल कितने नये शब्दों की रचना की जा सकती है ?
उत्तर :
TUESDAY में कुल 7 अक्षर है । सभी अक्षरों का उपयोग करना है । ∴ n = 7 r = 7
उत्तर :
= 7P7 शब्द बन सकते है । = 7!
= 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1
∴ = 5040
∴ नये शब्दों की संख्या = 5040 – 1 = 5039

प्रश्न 11.
VIAAN शब्द के सभी अक्षरों का उपयोग करके कितने शब्द बनाये जा सकते है ?
उत्तर :
VIAAN शब्द में कुल 5 अक्षर है जिस में A का 2 बार पुनरावर्तन होता है ।
∴ कुल क्रमचय = \(\frac{5 !}{2 !}=\frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1}\) = 60

प्रश्न 12.
5 भिन्न भिन्न पत्रों को 5 लिफाफे में कितनी रीति से रख सकते है ?
उत्तर :
5 भिन्न-भिन्न पत्रों को 5 लिफाफे में रखने के कुल प्रकार ‘P, होगा।
∴ कुल प्रकार = 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

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प्रश्न 13.
nPr अर्थात् क्या ?
उत्तर :
n भिन्न-भिन्न वस्तुओं में से r स्थानों पर वस्तुओं का गठन करना है अर्थात् nPr

प्रश्न 14.
(x + a)n के विस्तार के n + 1 पदों का सहगुणक लिखिए ।
उत्तर :
सहगुणक nC0, nC1, nC2 ………. nCn है ।

प्रश्न 15.
यदि nCx = nCy हो, तो x और y के संबंध के दो विकल्प लिखिए ।
उत्तर :
nCx = nCy में प्रथम विकल्प x + y = n और दूसरा विकल्प x = y होगा ।

विभाग – C

निम्न प्रश्नों के उत्तर दीजिए ।

प्रश्न 1.
द्वि-पद विस्तार के लक्षण लिखिए ।
उत्तर :
द्वि-पद विस्तार में निम्न लक्षण देखे जा सकती है ।

  1. इस विस्तार में पदों की संख्या n + 1 होती है ।
  2. विस्तार के पदों का सहगुणक क्रमशः nC0, nC1, nC2 …. nCn है ।
  3. प्रथम पद xn एवं अंतिम पद an होता है।
  4. किसी पद में x की घात और a की घात का योग n होता है ।
  5. मध्य के पद से समान अन्तर पर आये पदों के सहगुणक समान होते है ।

प्रश्न 2.
एक विज्ञानमेला में 10 विद्यालय हिस्सा लेते है । विद्यालय में प्रथम, द्वितीय और तृतीय पारितोषिक कितनी रीति से बाँट सकते है ?
उत्तर :
10 विद्यालयों को तीन पारितोषिक 10P3 रीति से बाँट सकते है ।
कुल प्रकार 10P3 = \(\frac{10 !}{(10-3) !}=\frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 !}{7 !}\) = 720

प्रश्न 3.
4 लड़के और 3 लड़कियों को एक पंक्ति में कितनी रीति से गठित किया जा सकता है कि जिससे कोई दो लड़के या दो लड़कियाँ एकसाथ न आये ?
उत्तर :
B G B G B G B
कुल प्रकार = 4P4 × 3P3 = 4! × 3! = 4 × 3 x 2 × 1 × 3 × 2 × 1 = 24 × 6 = 144

प्रश्न 4.
एक टेबल पर अंकशास्त्र की 6, लेखाशास्त्र की 5 और अंग्रेजी विषय की 4 भिन्न किताब एक पंक्ति में कितनी रीति से गठन कर सकते है कि जिस से प्रत्येक विषय की किताब एकसाथ आये ?
उत्तर :
प्रत्येक विषय की किताब साथ में आये इस प्रकार गठन करना है ।
∴ अंकशास्त्र की 6 किताबें गठन करने के प्रकार 6P6 = 6!
लेखाशास्त्र की 5 किताबें गठन करने के प्रकार 5P5 = 5!
अंग्रेजी की 4 किताबें कठन करने के प्रकार 4P4 = 4!
तीनों भिन्न-भिन्न विषय के गठन के प्रकार 3P3 = 3!
∴ टेबल पर किताबें गठन करने के प्रकार = (6! × 5! × 4!) × 3!
= (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 × 4 × 3 × 2 × 1) × (3 × 2 × 1)
= 720 × 120 × 24 × 6 = 12441600

प्रश्न 5.
3, 8, 0, 76 सभी अंकों का उपयोग करके पाँच अंक की कितनी संख्याएँ बनाई जा सकती है ?
उत्तर :
प्रथम स्थान पर 0 का उपयोग करे तो वह संख्या 5 अंक की नहि कहलाती इसलिए प्रथम स्थान पर (3, 8, 7, 6) में से कोई एक संख्या का गठन 4P1 रीति से और शेष चार अंक शून्य सहित 4P4 रीति से गठन किया जायेगा ।
∴ 5 अंकवाली संख्याओं का कुल क्रमचय = 4P1 × 4P4 = 4 × 4!
= 4 × 4 × 3 × 2 × 1 = 4 × 24 = 96
∴ 5 अंकवाली 96 संख्या होगी ।

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प्रश्न 6.
TANI शब्द के सभी अक्षरों का उपयोग करके कितने शब्दों की रचना की जा सकती है कि जिसमें स्वर एकसाथ आयें ?
उत्तर :
TANI शब्द में 4 अक्षर है । A और I दो स्वर है । दोनों स्वर को 2P2 रीति से उसे एक समूह गिनने पर 2 + 1 = 3 का गठन 3P3 और 2 स्वर का आंतरिक गठन 2P2 रीति से कर सकते है ।
∴ कुल क्रमचय = 3P3 × 2P2 = 3! × 2!
= 3 × 2 × 1 × 2 × 1 = 6 × 2 = 12

प्रश्न 7.
MANGO शब्द के सभी अक्षरों का उपयोग करके कितने शब्द बनेंगे जिसमें स्वर एकसाथ न आये ?
उत्तर :
MANGO शब्द में कुल 5 अक्षर है जिसमें स्वर A, O है । दोनों स्वर साथ में 2P2 रीति से आ सकते है । दो का एक समूह गिनने पर 3 व्यंजन + 1 स्वर का समूह = 4 का गठन 4P4 और दोनों स्वर का आंतरिक गठन 2P2 रीति से होगा ।
दोनों स्वर साथ में आने के प्रकार = 4P4 × 2P2 = 4! × 2!
= 24 × 2 = 48
अब MANGO शब्द के सभी अक्षरों का गठन 5P5 रीति से होगा । 5P5 = 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1
∴ कुल प्रकार = 120
दोनों स्वर एकसाथ न आने के प्रकार = कुल प्रकार – साथ में आने के प्रकार
= 120 – 48 = 72

प्रश्न 8.
अयुग्म अंक अयुग्म स्थान पर आये ऐसा 1234321 के सभी अंकों का उपयोग करके कितनी संख्याएँ बन सकती है?
उत्तर :
1, 2, 3, 4, 3, 2, 1 में अयुग्म अंक 1, 3, 3, 1 चार अंक है जिसमें 1 दो बार और 3 दो बार है इसलिए अयुग्म स्थान पर गठन के कुल प्रकार = \(\frac{4 !}{2 ! \times 2 !}=\frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1 \times 2 \times 1}\) = 6
समअंक 2, 4, 2 है जिस में 2 का 2 बार पुनरावर्तन होता है इसलिए समस्थान पर 3 अंक के कुल प्रकार
= \(\frac{3 !}{2 !}=\frac{3 \times 2 \times 1}{2 \times 1}\) = 3
अब अयुग्म स्थान पर अयुग्म अंक का गठन से बनती संख्या = 6 × 3 = 18

प्रश्न 9.
ROLLS शब्द के सभी अक्षरों का गठन से बनते और DOLLS शब्द के सभी अक्षरों का गठन से बनती संख्याओं का गुणोत्तर कितना होगा ?
उत्तर :
ROLLS शब्द में 5 अक्षर है जिसमें L का 2 बार पुनरावर्तन होता है ।
∴ कुल क्रमचय = \(\frac{5 !}{2 !}=\frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1}\)
DOLLS शब्द में 5 अक्षर है जिस में L का 2 बार पुनरावर्तन होता है ।
∴ कुल क्रमचय = \(\frac{5 !}{2 !}=\frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1}\)
दोनों का अनुपात 60 : 60 = 1 : 1 होगा ।

प्रश्न 10.
एक बोक्स में 6 स्क्रू है जिस में 2 स्क्रू दोषयुक्त है । उसमें से दोषमुक्त दो स्क्रू कितनी रीति से चयन होगे ?
उत्तर :
6 स्क्रू में 2 स्क्रू दोषयुक्त है । इसलिए 4 स्क्रू दोषमुक्त होगे अब दोषमुक्त 2 स्क्रू 4C2 रीति से चयन कर सकते है ।
∴ कुल प्रकार 4C2 = \(\frac{4 !}{2 !(4-2) !}=\frac{4 \times 3 \times 2 !}{2 \times 1 \times 2 !}\) = 6

प्रश्न 11.
तास के 52 पत्तों में से 2 पत्ते पसंद किये जाय तो दोनों पत्ते बेगम अथवा बादशाह का कितनी रीति से पसंद होगा?
उत्तर :
दोनों पत्ते बेगम के 4C2 अथवा दोनों पत्ते बादशाह के 4C2 रीति से चयन होगे ।
∴ कुल प्रकार = 4C2 + 4C2 = \(\frac{4 !}{2 !(4-2) !}+\frac{4 !}{2 !(4-2) !}\)
= \(\frac{4 \times 3 \times 2 !}{2 \times 1 \times 2 !}+\frac{4 \times 3 \times 2 !}{2 \times 1 \times 2 !}\) 6 + 6 = 12

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प्रश्न 12.
तास के 52 पत्तों में से तीन पत्ते एक ही रंग के कितनी रीति से पसंदगी की जा सकती है ?
उत्तर :
तास के 52 पत्तों की गड्डी में दो रंग के पत्ते होते है । 26 पत्ते काला रंग और 26 पत्ते लाल रंग के होते है। 26 काला रंग के पत्तों में से 3 पत्ते 26C3 प्रकार से और 26 लाल रंग के पत्तों में से 3 पत्ते 26C3 प्रकार से चयन होगे ।
∴ कुल प्रकार = 26C3 + 26C3 = \(\frac{26 !}{3 !(26-3) !}+\frac{26 !}{3 !(26-3) !}\)
= \(\frac{26 \times 25 \times 24 \times 23 !}{3 \times 2 \times 1 \times 23 !}\) + \(\frac{26 \times 25 \times 24 \times 23 !}{3 \times 2 \times 1 \times 23 !}\) = 2600 + 2600 = 5200

प्रश्न 13.
(2x + 3y)3 का विस्तार करो ।
उत्तर :
(2x + 3y)3 = 3C0 (2x)3 (3y)0 + 3C1 (2x)2 (3y)1 + 3C2 (2x)1 (3y)2 + 3C3 (2x)0 (3y)3
= 1 × 8x3 × 1 + 3 × 4x2 × 3y + 3 × 2x × 9y2 + 1 × 1 × 27y3
= 8x3 + 36x2y + 54xy2 + 27y3

प्रश्न 14.
(x – \(\frac{1}{x}\))3 का विस्तार करो ।
उत्तर :
(x – \(\frac{1}{x}\))3 = 3C0x3(\(\frac{1}{x}\))0
3C1x2(\(\frac{1}{x}\))1 + 3C2x1(\(\frac{1}{x}\))2
3C3x0(\(\frac{1}{x}\))3
= 1 × x3 × 1 – 3 × x2 x + \(\frac{1}{x}\) + 3 × x × \(\frac{1}{x^2}\) – 1 × 1 × \(\frac{1}{x^3}\)
= x3 – 3x + \(\frac{3}{x}-\frac{1}{x^3}\)

प्रश्न 15.
(y + k)5 का विस्तार करो।
उत्तर :
(y + k)5 = 5C0 (y)5 + 5C1 (y)4 (k)1 + 5C2 (y)3 (k)2 + 5C3 (y)2 (k)3 + 5C4 (y)1(k)4 + 5C5 (k)5
= 1 × y5 + 5y4k1 + 10y3k2 + 10y2k2 + 5y1k4 + 1 × k5
= y5 + 5y4k + 10y3k2 + 10y2k3 + 5yk4 + k5

विभाग – D

निम्न प्रश्नों के उत्तर दीजिए ।

प्रश्न 1.
प्रथम 5 प्राकृतिक संख्याओं का उपयोग करके
(1) कुल कितनी संख्याएँ बनेगी ?
(2) 30000 से बड़ी कितनी संख्याएँ बनेगी ?
(3) 5 से निःशेष भाज्य कितनी संख्या बनेगी ?
उत्तर :
प्राकृतिक संख्याएँ 1, 2, 3, 4, 5 होगी ।
(1) सभी संख्याओं का उपयोग करना है। ∴ n = 5 ∴ r = 5
कुल क्रमचय = 5P5 = 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

(2) 30000 से बड़ी संख्या के लिए प्रथम स्थान पर 3 अथवा 4 अथवा 5 का अंक होना चाहिए । प्रथम स्थान पर 3, 4, 5 में से कोई एक अंक का चयन 3P1 रीति से और शेष चार अंक का उपयोग 4P4 रीति से होगा ।
कुल क्रमचय = 3P1 × 4P4 = 3 × 4! = 3 × 4 × 3 × 2 × 1 = 3 × 24 = 72

(3) 5 से निःशेष विभाज्य संख्या के लिए इकाई के स्थान पर 5 का अंक 1P1 रीति से और शेष 4 अंक का उपयोग 4P4 रीति से होगा ।
5 द्वारा निःशेष भाज्य हो ऐसी संख्या = 1P1 × 4P4 = 1 × 4! = 1 × 4 × 3 × 2 × 1 = 24

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प्रश्न 2.
4 लड़के और 4 लड़कियों को एक पंक्ति में कितने प्रकार से खड़े किये जा सकते है कि जिसमें कोई भी दो लड़के और कोई भी दो लड़कियाँ एकसाथ न आये ?
उत्तर :
4 लड़के और 4 लड़कियों को निम्न क्रम अनुसार एक पंक्ति में गठित कर सकते है जिसमें दो लड़के और दो लड़कियाँ एकसाथ न आये ।
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∴ कुल प्रकार = 1152

प्रश्न 3.
3 लड़के और 2 लड़कियों को एक पंक्ति में कितने प्रकार से खड़े किये जा सकते है कि जिसमें
(1) दोनों लड़कियाँ एकसाथ आये ?
(2) लड़के और लडकियाँ बारीबारी से आये ?
(3) तीनों लड़के एकसाथ आये ?
उत्तर :
(1) दोनों लड़कियों का एक समूह गीनने पर 3 लड़के + 1 लड़की = 4 का गठन 4P4 रीति से और 2 लड़कियों का आंतरिक गठन 2P2 रीति से
∴ दोनों लड़कियाँ पास पास में आने के प्रकार = 4P4 × 2P2
= 4! × 2! = 24 × 2 = 48

(2) लड़के और लड़कियाँ बारी बारी से आये उसे निम्न क्रम से गठित कर सकते है । B G B G B
∴ कुल प्रकार = 3P3 × 2P2
= 3! × 2! = 6 × 2 = 12

(3) तीनों लड़के एकसाथ हो उसे एक समूह गिनने पर 2 लड़की + 1 लड़कों का समूह = 3 का गठन 3P3 और 3 लड़कों का आंतरिक गठन 3P3 रीति से होगा ।
∴ तीनों लड़के एकसाथ आये उसके प्रकार = 3P3 × 3P3
= 3! × 3! = 6 × 6 = 36

प्रश्न 4.
WAKEFUL शब्द सभी अक्षरों का उपयोग करके बनते सभी शब्दों को शब्दकोषानुसार गठित किया जाय तो WAKEFUL शब्द किस क्रम पर आयेगा ?
उत्तर :
WAKEFUL शब्द के अक्षर 7 है ।
शब्दों को क्रमानुसार AEFKLUW
A प्रथम स्थान पर हो ऐसे शब्दों की संख्या = 1P1 × 6P6 = 1 × 6! = 720 प्रकार
E प्रथम स्थान पर हो ऐसे शब्दों की संख्या = 1P1 × 6P6 = 1 × 6! = 720 प्रकार
F प्रथम स्थान पर हो ऐसे शब्दों की संख्या = 1P1 × 6P6 = 1 × 720 = 720 प्रकार
K प्रथम स्थान पर हो ऐसे शब्दों की संख्या = 1P1 × 6P6 = 1 × 6! = 720 प्रकार
L प्रथम स्थान पर हो ऐसे शब्दों की संख्या = 1P1 × 6P6 = 1 × 6! = 720 प्रकार
U प्रथम स्थान पर हो ऐसे शब्दों की संख्या = 1P1 × 6P6 = 1 × 6! = 720 प्रकार
W प्रथम स्थान और A दूसरे स्थान E तीसरे स्थान पर हो ऐसे शब्दों की संख्या
1P1 × 1P1 × 1P1 × 4P4 = 1 × 1 × 1 × 4! = 24 प्रकार
W प्रथम स्थान और A दूसरे स्थान पर F तीसरे स्थान पर हो ऐसे शब्दों की संख्या
1P1 × 1P1 × 1P1 × 4P4 = 1 × 1 × 1 × 4! = 24 प्रकार
W प्रथम स्थान, A दूसरे स्थान K तीसरे स्थान E चौथा स्थान
F पाँचवा स्थान पर हो ऐसे शब्द 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 = 1
W प्रथम स्थान, A दूसरे स्थान K तीसरे स्थान E चौथा स्थान F पाचवा स्थान U और L का गठन
1P1 × 1P1 × 1P1 × 1P1 × 1P1 × 1P1 × 1P1 = 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 = 1
WAKEFUL शब्द का क्रम = 720 + 720 + 720 + 720 + 720 + 720 + 24 + 24 + 1 + 1 = 4370 वा क्रम पर होगा ।

प्रश्न 5.
एक पार्टी में 4 युगल हिस्सा लेते है । वह 8 व्यक्तियों मे से 2 व्यक्तियों का चयन किया जाय तो
(1) चयन हुए दोनों व्यक्ति पति-पत्नी हो उसके प्रकार कितने होगे ?
(2) एक पुरुष और एक स्त्री हो उसके प्रकार कितने ?
(3) चयन किये दो व्यक्तियों में एक पुरुष और एक स्त्री हो लेकिन पति-पत्नी न हो ऐसा चयन कितने प्रकार से होगा?
उत्तर :
(1) पति-पत्नी हो अर्थात् 4 में से किसी एक युगल का चयन 4C1 होगा ।
कुल प्रकार = 4C1 = 4 प्रकार

(2) एक पुरुष और एक स्त्री हो 4 पुरुष में से 1 पुरुष 4C1 और 4 स्त्री में से 1 स्त्री 4C1 रीति से चयन होगा ।
कुल प्रकार = 4C1 × 4C1= 4 × 4 = 16 प्रकार

(3) एक पुरुष और एक स्त्री का चयन हो लेकिन पति-पत्नी न हो अर्थात् एक पुरुष और एक स्त्री होने के प्रकार में से .. पति-पत्नी होने का प्रकार घटाने पर एक पुरुष और एक स्त्री होंगे लेकिन पति-पत्नी नहि होंगे ।
∴ प्रकार = 16 – 4 = 12 प्रकार

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प्रश्न 6.
एक टेबल पर अंकशास्त्र की 4 और अर्थशास्त्र की 3 भिन्न-भिन्न किताबें है । दो किताब का चयन किया जाय तो चयन .
किये दोनों किताब में
(1) दोनों किताबें एक विषय की कितने प्रकार से चयन किया जायेगा ?
(2) दोनों किताबें भिन्न-भिन्न विषय के कितनी रीति से चयन किया जायेगा ?
(3) अर्थशास्त्र विषय का एक भी किताब न हो ऐसा चयन कितनी रीति से हो सकता है ? ।
उत्तर :
(1) दोनों पुस्तकें एक ही विषय के हो उसके चयन के कुल प्रकार में दोनों अंकशास्त्र की अथवा दोनों अर्थशास्त्र विषय की होगी ।
∴ कुल प्रकार = 4C2 + 3C2 = \(\frac{4 !}{2 !(4-2) !}+\frac{3 !}{2 !(3-2) !}\)
= \(\frac{4 \times 3 \times 2 !}{2 \times 1 \times 2 !}+\frac{3 \times 2 !}{2 ! \times 1}\) = 6 + 3 = 9

(2) दोनों किताबें अलग अलग विषय की हो अर्थात् 1 किताब अंकशास्त्र की और 1 किताब अर्थशास्त्र की होगी ।
∴ कुल प्रकार = 4C1 + 3C1 = 4 × 3 = 12

(3) अर्थशास्त्र की एक भी किताब न हो अर्थात् दोनों किताबे अंकशास्त्र की होगी ।
∴ कुल प्रकार = 4C2 = \(\frac{4 \times 3 \times 2 !}{2 \times 1 \times 2 !}\) = 6

प्रश्न 7.
एक खिलौने की दुकान में 3 गुड़िया, 4 किचनसेट और 3 कार डिस्प्ले में रखा है । एक बच्चा उसमें से 3 खिलौने चयन करता है तो
(1) तीनों गुडिया का कितनी रीति से चयन होगा?
(2) तीनों खिलौने भिन्न-भिन्न कितनी रीति से चयन कर सकते है ?
(3) दो गुडिया और 1 किचन सेट कितनी रीति से चयन कर सकते है ?
उत्तर :
(1) तीनों गुडिया 3C3 रीति से चयन होगा ।
∴ कुल प्रकार = 3C3 = \(\frac{3 !}{3 !(3-3) !}\) = 1

(2) तीनों भिन्न-भिन्न अर्थात् 1 गुडिया, 1 किचन सेट और 1 कार के चयन की रीति 3C1, 4C1, 3C1 होगा ।
∴ कुल प्रकार = 3C1 × 4C1 × 3C1 = 3 × 4 × 3 = 36

(3) दो गुडिया का चयन 3C2 और एक किचन सेट का चयन 4C1 रीति से होगा ।
∴ कुल प्रकार = 3C2 × 4C1 = \(\frac{3 \times 2 !}{2 !(3-2) !}\) × 4 = 3 × 4 = 12

प्रश्न 8.
एक सामाजिक संस्था के साथ 4 C.A और 5 डोक्टर जुड़े हुए है । उसमें से 3 सदस्यों की समिति बनानी है ।
(1) C.A. की संख्या बहुमत में हो ।
(2) डोक्टर की संख्या बहुमत में हो ऐसी पसंदगी कितने प्रकार से कर सकते है ?
उत्तर :
(1) C.A. की संख्या बहुमत में रखने के लिए निम्न विकल्प बनेगे ।
(1) 2 C.A. 1 डोक्टर
अथवा
(2) 3 C.A. 0 डोक्टर
∴ कुल प्रकार = 4C2 × 5C1 + 4C3 × 5C0 = \(\frac{4 \times 3 \times 2 !}{2 \times 1 \times 2 !}\) × 5 + \(\frac{4 \times 3 \times 2}{3 \times 2 \times 1}\) × 1
= 6 × 5 + 4 × 1 = 30 + 4 = 34

(2) डोक्टर बहुमत में हो उसके लिए निम्न विकल्प बनेंगे ।
(1) 2 डोक्टर 1 C.A.
अथवा (2) 3 डोक्टर 0 C.A.
∴ कुल प्रकार = 5C2 × 4C1 + 5C3 × 4C0 = \(\frac{5 \times 4}{2 \times 1}\) × 4 + \(\frac{5 \times 4 \times 3 !}{3 !(5-3) !}\) × 1
= 10 × 4 + 10 × 1 = 40 + 10 = 50

प्रश्न 9.
(√7 + 1)3 – (√7 – 1)3 का मूल्य द्वि-पद विस्तार की विधि से प्राप्त करो ।
उत्तर :
GSEB Solutions Class 11 Statistics Chapter 6 क्रमचय, संचय और द्विपद विस्तार Ex 6 2
(दो पदावलि के बीच ऋण चिन्ह होने से दूसरी पदावलि के चिन्हों में परिवर्तन होगा जिससे दोनों पदावलि में प्रथम और तृतीय पद का लोप होगा)
= 2[3C1 (√7)2 (1)1 + 3C3 (√7)0 (1)3] = 2[3 × 7 × 1 + 1 × 1 × 1]
= 2 [21 + 1] = 2 [22] = 44

GSEB Solutions Class 11 Statistics Chapter 6 क्रमचय, संचय और द्विपद विस्तार Ex 6

प्रश्न 10.
(√3 + 1)6 + (√3 – 1)6 का मूल्य द्वि-पद विस्तार की विधि से प्राप्त करो ।
उत्तर :
GSEB Solutions Class 11 Statistics Chapter 6 क्रमचय, संचय और द्विपद विस्तार Ex 6 3
(दो पदावलि के बीच धन चिन्ह होने से दूसरी पदावलि के चिन्हों में परिवर्तन नहि होगा जिस से दोनों पदावलि में दूसरा, चौथा और छठा पद का लोप होगा ।)
= 2[6C0 (√3)6 (1)0 + 6C2 (√3)4 (1)2 + 6C4 (√3)2 (1)4 + 6C6 (√3)0 (1)6]
= 2[1 × 27 × 1 + 15 × 9 × 1 + 15 × 3 × 1 + 1 × 1 × 1]
= 2 [27 + 135 + 45 + 1] = 2 [208] = 416

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