GSEB Solutions Class 12 Statistics Part 2 Chapter 2 याद्दच्छिक चल और असतत संभावना-वितरण Ex 2.1

Gujarat Board Statistics Class 12 GSEB Solutions Part 2 Chapter 2 याद्दच्छिक चल और असतत संभावना-वितरण Ex 2.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Statistics Part 2 Chapter 2 याद्दच्छिक चल और असतत संभावना-वितरण Ex 2.1

प्रश्न 1.
निम्न दिया आवृत्ति वितरण यह असतत चल x के लिए संभावना-वितरण है या नहि उसे जाचिए।
P(x) = \(\frac{x+2}{25}\), x = 1, 2, 3, 4, 5
उत्तर :
असतत आवृत्ति वितरण के लिए संभावना का कुल योग 1 होना चाहिए इसके लिए ΣP(x) = 1 होना चाहिए।

\(\frac{25}{25}\) = 1 होता है इसलिए दिया गया आवृत्ति वितरण यह असतत चल x का संभावना-वितरण है।

प्रश्न 2.
निम्न दिया वितरण यह चल X का संभावना-वितरण हो, तो अचलांक k ज्ञात कीजिए।
P(x) = \(\frac{6-|x-7|}{k}\), x = 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
उत्तर :
X का संभावना वितरण के लिए ΣP(x) = 1 होना चाहिए ।
P(x) = \(\frac{6-|x-7|}{k}\) में x = 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 रखने पर यहाँ |x – 7| मानांक में दिया गया है इसलिए चिह्न की अवगणना करेंगे।

असतत संभावना-वितरण की परिभाषा अनुसार ΣP(x)
= P(4) + P(5) + P(6) + P(7) + P(8) + P(9) + P(10) = 1
\(\frac{3}{k}+\frac{4}{k}+\frac{5}{k}+\frac{6}{k}+\frac{5}{k}+\frac{4}{k}+\frac{3}{k}\) = 1 ∴ \(\frac{30}{k}\) = 1 ∴ 30 = k ∴ k = 30
k = 30 हो, तो दिया गया आवृत्ति वितरण यह असतत चल का संभावना-वितरण बनता है जिसे निम्नानुसार प्राप्त करेंगे।

प्रश्न 3.
एक यादृच्छिक चल X का संभावना-वितरण निम्नानुसार पारिभाषित है।
P(x) = \(\frac{\mathrm{k}}{(\mathrm{x}+\mathrm{l}) !}\), x = 1, 2, 3 k = अचलांक
उस पर से (i) अचलांक k ज्ञात करो
(ii)P(1 < x< 4) ज्ञात करो ।
उत्तर :

प्रश्न 4.
एक यादृच्छिक चल X का संभावना-वितरण निम्नानुसार है।

तो (i) अचलांक k का स्वीकार्य मूल्य निश्चित कीजिए।
(ii) वितरण का माध्य ज्ञात कीजिए।
उत्तर :
(i) अचलांक k का स्वीकार्य मूल्य निश्चित कीजिए । असतत संभावना-वितरण की परिभाषा अनुसार ΣP(x) = 1
P(-2) + P(-1) + P(0) + P(1) + P(2) = 1
∴ \(\frac{k}{3}+\frac{k}{3}+\frac{k}{3}\) + 2k + 4k² = 1 \(\frac{\mathrm{k}+\mathrm{k}+\mathrm{k}+6 \mathrm{k}+12 \mathrm{k}^2}{3}\) = 1 9k + 12k² = 3
12k² + 9k – 3 = 0 (उसे भाग देने पर)
4k² + 3k – 1 = 0, 4k² + 4k – k – 1 = 0, 4k (k + 1) – 1 (k + 1) = 0
∴ 4k – 1 = 0 or k + 1 = 0 k = \(\frac{1}{4}\) or k = -1
k = -1 रखने से संभावना ऋण में प्राप्त होगी संभावना ऋण असंभव है इसलिए k का स्वीकार्य मूल्य 1/4 होगा स्वीकार्य मूल्य k = 1/4

(ii) वितरण का माध्य
वितरण का माध्य = μ = Σxp(α)
= -2(\(\frac{\mathrm{k}}{3}\)) + (-1)(\(\frac{\mathrm{k}}{3}\)) + 0(\(\frac{\mathrm{k}}{3}\))+1(2k) + 2(4k²)
= \(\frac{-2 \mathrm{k}}{3}+\frac{-\mathrm{k}}{3}\) + 0 + 2k + 8k²

प्रश्न 5.
एक यादृच्छिक चल X का संभावना-वितरण P(x) है। चल X यह x₁ =-2, x₂ = -1, x₃ = 1 और x₄ = 2 मूल्य धारण कर सकता है तथा यदि 4P(x₁) = 2p(x₂) = 3P(x₃) = 4P(x₄) हो, तो इस संभावना-वितरण का माध्य और विचरण ज्ञात कीजिए।
उत्तर :
X का माध्य = Σ(x) = Σx.P(x)
संभावना-वितरण का विचरण ज्ञात करने के लिए हम E(x²) ज्ञात करेंगे। E(x²) = Σx²P(x)
∴ 4P(x₁) = k P(x₁) = \(\frac{\mathrm{k}}{4}\)
2P(x₂) = k ∴ P(x₂) = \(\frac{\mathrm{k}}{2}\)
3P(x₃) = k ∴ P(x₃) = \(\frac{\mathrm{k}}{3}\)
4P(x₄) = k ∴ P(x₄) = \(\frac{\mathrm{k}}{4}\)
याद्दच्छिक चल X का संभावना-वितरण निम्नानुसार सारणी स्वरूप में लिखेंगे।

वितरण का माध्य = Σx P(x)

प्रश्न 6.
एक पासा को दो बार यादृच्छिक रीति से उछाला जाता है। दोनों बार पासों पर मिलते अंक का योग का संभावना-वितरण प्राप्त कीजिए तथा उन योगों की अपेक्षित संख्या प्राप्त कीजिए।
उत्तर :
एक पासे को दो बार याद्दच्छिक रीति से उछालने पर निदर्श अवकाश के न्यादर्श बिंदु n = 36 प्राप्त होंगे। U = {(i, j) = ij = 1, 2, 3, 4, 5, 6} प्राप्त अंको का योग कम से कम 2 और अधिक से अधिक 12 होगा।

योग का संभावना वितरण :

∴ अपेक्षित किंमत = 7

प्रश्न 7.
एक संदूक में 4 लाल और 2 आसमानी गेंदे है। एकसाथ यादृच्छिक रीति से 3 गेंदों का चयन की जाती है। यदि x यह पसंद की गई गेंद में लाल गेंद की संख्या प्रदर्शित करता है, तो x का संभावना-वितरण ज्ञात कीजिए। तथा चुना गया गेंद में लाल रंग की गेंद की अपेक्षित संख्या ज्ञात कीजिए।
उत्तर :
मानाकि x = चुना गया गेंद 3 गेंद में लाल गेंद की संख्या ली जाय तो संभावना सूत्र अनुसार

(i) x = 1 हो उसकी संभावना
P(x = 1) = P (1 लाल गेंद मिले) = \(\frac{{ }^4 \mathrm{C}_1 x^2 \mathrm{C}_2}{{ }^6 \mathrm{C}_3}\) = \(\frac{4 \times 1}{20}=\frac{4}{20}=\frac{1}{5}\)

(ii) x = 2 हो उसकी संभावना
P(x = 2) = P (2 लाल गेंद मिले) = \(\frac{{ }^4 \mathrm{C}_2 \times{ }^2 \mathrm{C}_1}{{ }^6 \mathrm{C}_3}\) = \(\frac{6 \times 2}{20}=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}\)

(iii) x = 3 हो उसकी संभावना
P(x = 3) = P (3 लाल गेंद मिले) = \(\frac{{ }^4 C_3 \times{ }^2 C_0}{{ }^6 C_3}\) = \(\frac{4 \times 1}{20}=\frac{4}{20}=\frac{1}{5}\)
अब याद्दच्छिक चल x का संभावना-वितरण निम्नानुसार सारणी स्वरूप में लिखेंगे।

प्रश्न 8.
एक सिक्के को जब तक छाप मिले तब तक अथवा 5 काँटा मिले तब तक उछाला जाता है। यदि यादृच्छिक चल x यह सिक्के को कितनी बार उछालने की आवश्यकता होगी वह दर्शाता है तो याद्दच्छिक चल x का संभावना-वितरण प्राप्त कीजिए और उसका माध्य और विचरण की गणना कीजिए।
उत्तर :
मानाकि जब तक सिक्के पर (H) अथवा 5 काटे (T) मिले तब तक उछाला जाता है। x यह सिक्के उछाला वह प्रयत्नों की संख्या दर्शाता है।
यादृच्छिक प्रयोग के साथ संकलित निदर्श अवकाश U = {H, TH, TTH, TITH, TTTTH, TTTTT}
x = 1, 2, 3, 4, 5
x(H) = 1, x(TH) = 2, x(TTH) = 3, x(TTTH) = 4, x(TTTTH) = 5, x(TTTTT) = 5

प्रश्न 9.
एक दुकानदार के पास एक संदूक में 6 टिकट है। इसमें से दो टिकटें ₹10 इनामवाली है और शेष टिकटें ₹5 इनामवाली है। यदि संदूक में से एक टिकट याद्दच्छिक रीति से चुना जाय, तो इनाम का अपेक्षित मूल्य ज्ञात कीजिए।
उत्तर :
x = 0 चुनी गई टिकट ₹10 इनामवाली हो
P(x = 0) = ₹ 10 इनाम = \(\frac{{ }^2 C_1 \times{ }^4 C_0}{{ }^6 C_1}=\frac{2 \times 1}{6}=\frac{2}{6}\)
x = 1 = ₹ 5 इनामवाली टिकट की संभावना
P(x = 1) = ₹ 5 इनाम = \(\frac{{ }^4 C_1 \times{ }^2 C_0}{{ }^6 C_1}=\frac{4 \times 1}{6}=\frac{4}{6}\)
याद्दच्छिक चर x का संभावना वितरण निम्नानुसार सारणी स्वरूप में लिख सकते है ।