GSEB Solutions Class 12 Statistics Part 2 Chapter 2 याद्दच्छिक चल और असतत संभावना-वितरण Ex 2.2

Gujarat Board Statistics Class 12 GSEB Solutions Part 2 Chapter 2 याद्दच्छिक चल और असतत संभावना-वितरण Ex 2.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Statistics Part 2 Chapter 2 याद्दच्छिक चल और असतत संभावना-वितरण Ex 2.2

प्रश्न 1.
एक संमित द्विपद वितरण के लिए n = 8 हो, तो P(x ≤ 1) ज्ञात कीजिए।
उत्तर :
संमित द्विपद वितरण है इसलिए p = \(\frac {1}{2}\) और q = \(\frac {1}{2}\) n = 8 दिया है।

प्रश्न 2.
एक द्विपद वितरण का माध्य 5 है तथा उसका विचरण यह सफलता की संभावना जितना है । इस वितरण का प्राचल ज्ञात कीजिए और उस पर से इस वितरण के लिए एक भी निष्फलता न मिले उस घटना की संभावना ज्ञात कीजिए।
उत्तर :
n= 5 और विचरण सफलता की संभावना जितना है। सफलता की संभावना = P और विचरण npq हो तो p = npq
अब q = \(\frac{\mathrm{npq}}{\mathrm{np}}\) mg q = \(\frac{\mathrm{p}}{5}\) ∴ 5q = p
p + q = 1 में p= 5q रखने पर
q + 5q = 1 ∴ p = 1 – q p = \(\frac{5}{6}\)
6q = 1 = 1 – \(\frac{1}{6}\)
q = \(\frac{1}{6}\) = \(\frac{6-1}{6}\)

np = 5 में p = \(\frac{5}{6}\) रखने पर
n × \(\frac{5}{6}\) = 5
n = \(\frac{5 \times 6}{5}\)
n = 6

एक भी बार निष्फलता न मिले अर्थात् 6 बार सफलता ही मिले x = 6
P(x) = n_CxP^xq^{n – x} n = 0, 1, 2……..n
x = 6, n = 6 p = \(\frac{5}{6}\) q = \(\frac{1}{6}\) रखने पर
P(6) = ⁶C₆) × (\(\frac{5}{6}\))⁶ (\(\frac{5}{6}\))^{6 – 6} = 1 × \(\frac{15625}{46656}\) × 1 = \(\frac{15625}{46656}\)
एक भी बार निष्फलता न मिले उसकी संभावना = \(\frac{15625}{46656}\)

प्रश्न 3.
एक व्यक्ति के पास किराये पर देने के लिए 4 गाड़ी है। दिन के दौरान कोई भी गाड़ी किराये पर जाय उसकी संभावना 0.6 हो,
तो किसी एक दिन के दौरान एक से अधिक परंतु 4 से कम गाड़ी किराये पर जाय उसकी संभावना ज्ञात कीजिए।
उत्तर :
किराये पर भेजने के लिए 4 गाड़ी है।
∴ n = 4
किसी भी दिन गाड़ी किराये पर जाय उसे सफलता माने तो P = 0.6 ∴ q = 1 – P = 1 – 0.6 q= 0.4
किसी एक दिन के दौरान एक से अधिक परंतु 4 से कम गाड़ी किराये पर जाय अर्थात् P(1 < x < 4)
P(1 < x < 4) = P(x = 2 अथवा x = 3) = P(2) – P(3)
P(x) = ⁿC_xp^xq^{n – x}; x = 0, 1, 2………n में n, p तथा x के मूल्य रखने पर
P(2) = ⁴C₂ (0.6)² (0.4)^{4 – 2} = 6 × 0.36 × 0.16 = 0.3456
P(3) = ⁴C₃ (0.6)³ (0.4)^{4 – 1} = 4 × 0.216 × 0.4 = 0.3456
अब P(2) + P(3) = 0.3456 + 0.3456 = 0.6912
P(1 < x < 4) = 0.6912

प्रश्न 4.
एक तहेसिल में 200 खेत आये है। यह तहसील के 200 खेत में बनाये गए पानी के बोरवेल में से 20 खेतों में खारा पानी मिलता है। इस तहसील में से यादृच्छिक रीति से पसंद किये गये 5 खेतों में से 3 खेतों में खारा पानी न मिले उस घटना की संभावना ज्ञात कीजिए।
उत्तर :
तहसील के 200 खेत में से 20 खेतों में खारा पानी मिलता हो उसे निष्फलता माने तो q = \(\frac{20}{200}\) = 0.1
∴ सफलता P = 1 -0.1 = 0.9
n = 5 और x =3
द्विपद संभावना-वितरण का सूत्र P(x) = ⁿC_xp^xq^{n – x}
x = 0, 1, 2……..n
में n, p, q और x का मूल्य रखने पर
P(3) = ⁵C₅(0.9)³ (0.1)^{5 – 3} = 10 × 0.729 × 0.01 = 0.0729 5 खेतों में से 3 खेतों में अच्छा पानी मिले उसकी संभावना = 0.0729

प्रश्न 5.
एक सवाल 6 विद्यार्थियों को हल करने के लिए दिया गया है। कोई भी विद्यार्थी सवाल सही हल कर सके उसकी संभावना 0.6 है। विद्यार्थियों द्वारा स्वतंत्र रीति से सवाल हल करने का प्रयत्न किया जाता है, तो 6 में से सिर्फ 2 विद्यार्थियों द्वारा सवाल सही हल हो उसकी संभावना ज्ञात कीजिए।
उत्तर :
6 विद्यार्थियों को सवाल हल करने दिया जाता है ∴ n = 6
सवाल सही हल हो सके उसे सफलता माना जाय तो P = 0.6
∴ निष्फलता मिले उसे q कहे तो q = 1 – 0.6 = 0.4
6 में से दो विद्यार्थी सवाल सही हल कर सके अर्थात् P(x = 2) ज्ञात करना है।
द्विपद संभावना वितरण P(x) = ⁿC_xp^xq^{n – x}
x = 0, 1, 2……..n
n, p, q और x रखने पर
P(2) = ⁶C₂(0.6)² (0.4)^{6 – 2} = 15 × 0.36 × 0.0256 = 0.13824
सिर्फ दो विद्यार्थी सवाल सही हल कर सके उसकी संभावना = 0.138