GSEB Solutions Class 6 Maths Chapter 7 અપૂર્ણાંક સંખ્યાઓ Ex 7.4

Gujarat Board GSEB Solutions Class 6 Maths Chapter 7 અપૂર્ણાંક સંખ્યાઓ Ex 7.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 6 Maths Chapter 7 અપૂર્ણાંક સંખ્યાઓ Ex 7.4

પ્રશ્ન 1.
નીચે આપેલી આકૃતિમાં ઘાટા કરેલા ભાગને અપૂર્ણાકની રીતે દર્શાવો અને તેમને ચડતા અને ઊતરતા ક્રમમાં ‘<‘, ‘=’ અથવા ‘>’ સંકેતમાં દર્શાવોઃ

(c) \(\frac{2}{6}\), \(\frac{4}{6}\), \(\frac{8}{6}\) અને \(\frac{6}{6}\) આ અપૂર્ણાકોને સંખ્યારેખા પર દર્શાવો અને તેમની વચ્ચેનાં બૉક્સમાં યોગ્ય સંકેત મૂકોઃ

જવાબ:
(a)
(i) અહીં, છાયાંકિત ભાગ \(\frac{3}{8}\) દર્શાવે છે.
(ii) અહીં, છાયાંકિત ભાગ \(\frac{6}{8}\) દર્શાવે છે.
(iii) અહીં, છાયાંકિત ભાગ \(\frac{4}{8}\) દર્શાવે છે.
(iv) અહીં, છાયાંકિત ભાગ \(\frac{1}{8}\) દર્શાવે છે.
ઉપરના બધા અપૂર્ણાકો સમચ્છેદી અપૂર્ણાકો છે.
∴ ચડતા ક્રમમાં અપૂર્ણાકો કે \(\frac{1}{8}\) < \(\frac{3}{8}\) < \(\frac{4}{8}\) < \(\frac{6}{8}\) ઊતરતા ક્રમમાં અપૂર્ણાકો: \(\frac{6}{8}\) > \(\frac{4}{8}\) > \(\frac{3}{8}\) > \(\frac{1}{8}\)

(b) (i) અહીં, છાયાંતિ ભાગ \(\frac{8}{9}\) દર્શાવે છે.
(ii) અહીં, છાયાંકિત ભાગનું \(\frac{4}{9}\) દર્શાવે છે.
(iii) અહીં, છાયાંકિત ભાગ \(\frac{3}{9}\) દર્શાવે છે.
(iv) અહીં, છાયાંકિત ભાગ \(\frac{6}{9}\) દશાવે છે.
અહીંના બધા અપૂર્ણાંકો સમચ્છેદી અપૂર્ણાકો છે.
∴ ચડતા ક્રમમાં અપૂર્ણાકો \(\frac{3}{9}\) < \(\frac{4}{9}\) < \(\frac{6}{9}\) < \(\frac{8}{9}\) ઊતરતા ક્રમમાં અપૂર્ણાંકો \(\frac{8}{9}\) > \(\frac{6}{9}\) > \(\frac{4}{9}\) > \(\frac{3}{9}\)

(c) (i) અહીં, આપેલા અપૂર્ણાકો \(\frac{2}{6}\), \(\frac{4}{6}\), \(\frac{8}{6}\) અને \(\frac{6}{6}\)
આ અપૂર્ણાંકો ચડતા ક્રમમાં: \(\frac{2}{6}\) < \(\frac{4}{6}\) < \(\frac{6}{6}\) < \(\frac{8}{6}\)

પ્રશ્ન 2.
નીચેના અપૂર્ણાકોની સરખામણી કરો અને યોગ્ય સંકેત મૂકો: –
(a) \(\frac{3}{6}\) \(\frac{5}{6}\)
(b) \(\frac{1}{7}\) \(\frac{1}{4}\)
(c) \(\frac{4}{5}\) \(\frac{5}{5}\)
(d) \(\frac{3}{5}\) \(\frac{3}{7}\)
જવાબ:
(a) \(\frac{3}{6}\) \(\frac{5}{6}\)
અહીં, આપેલા બંને અપૂર્ણાકો સમચ્છેદી અપૂર્ણાકો છે, તેથી જેનો અંશ નાનો તે અપૂર્ણાક નાનો હોય.
\(\frac{3}{6}\) \(\frac{5}{6}\)

(b) \(\frac{1}{7}\) \(\frac{1}{4}\)
અહીં, આપેલા બંને અપૂર્ણાકો સમચ્છેદી નથી. બંને અપૂર્ણાકોના અંશ સરખા છે, તેથી જે અપૂર્ણાકનો છેદ મોટો તે અપૂર્ણાક નાનો હોય.
\(\frac{1}{7}\) \(\frac{1}{4}\)

(c) \(\frac{4}{5}\) \(\frac{5}{5}\)
અહીં, આપેલા બંને અપૂર્ણાંકો સમચ્છેદી અપૂર્ણાકો છે, તેથી જેનો અંશ નાનો તે અપૂર્ણાક નાનો હોય.
\(\frac{4}{5}\) \(\frac{5}{5}\)

(d) \(\frac{3}{5}\) \(\frac{3}{7}\)
અહીં, આપેલા બંને અપૂર્ણાકો સમચ્છેદી નથી. બંને અપૂર્ણાકોના અંશ સરખા છે, તેથી જે અપૂર્ણાકનો છેદ મોટો તે અપૂર્ણાંક નાનો હોય.
\(\frac{3}{5}\) \(\frac{3}{7}\)

પ્રશ્ન 3.
પ્રશ્ન 2. જેવી પાંચ જોડી બનાવી તેમની વચ્ચે યોગ્ય સંકેત મૂકો.
જવાબ:
ઉપર મુજબની પાંચ જોડી નીચે પ્રમાણે છે:
(i) \(\frac{5}{9}\) \(\frac{6}{9}\)
(ii) \(\frac{8}{15}\) \(\frac{8}{19}\)
(iii) \(\frac{4}{17}\) \(\frac{9}{17}\)
(iv) \(\frac{10}{19}\) \(\frac{6}{19}\)
(v) \(\frac{8}{11}\) \(\frac{10}{11}\)
યોગ્ય સંકેત મૂકતાં:
(i) \(\frac{5}{9}\) \(\frac{6}{9}\)
(ii) \(\frac{8}{15}\) \(\frac{8}{19}\)
(iii) \(\frac{4}{17}\) \(\frac{9}{17}\)
(iv) \(\frac{10}{19}\) \(\frac{6}{19}\)
(v) \(\frac{8}{11}\) \(\frac{10}{11}\)

પ્રશ્ન 4.
નીચેના અપૂર્ણાકોની આકૃતિઓ જોઈ ‘<‘ અથવા ‘>’ અથવા ‘=’ના સંકેત મૂકો:

(a) \(\frac{1}{6}\) \(\frac{1}{3}\)
(b) \(\frac{3}{4}\) \(\frac{2}{6}\)
(c) \(\frac{2}{3}\) \(\frac{2}{4}\)
(d) \(\frac{6}{6}\) \(\frac{3}{3}\)
(e) \(\frac{5}{6}\) \(\frac{5}{5}\)
આવા બીજા પાંચ વધુ પ્રશ્નો બનાવો અને તમારા મિત્રો સાથે ઉકેલો:
જવાબ:
(a) \(\frac{1}{6}\) \(\frac{1}{3}\)
કારણ; \(\frac{1}{6}\) એ \(\frac{1}{3}\)ની ડાબી બાજુએ છે.

(b) \(\frac{3}{4}\) \(\frac{2}{6}\)
કારણ: \(\frac{3}{4}\)એ \(\frac{2}{6}\)ની જમણી બાજુએ છે.

(c) \(\frac{2}{3}\) \(\frac{2}{4}\)
કારણ: \(\frac{2}{3}\)એ \(\frac{2}{4}\)ની જમણી બાજુએ છે.

(d) \(\frac{6}{6}\) \(\frac{3}{3}\)
કારણ: \(\frac{6}{6}\) અને \(\frac{3}{3}\) એ એક જ બિંદુઓ છે.

(e) \(\frac{5}{6}\) \(\frac{5}{5}\)
કારણઃ \(\frac{5}{6}\)એ \(\frac{5}{5}\)ની ડાબી બાજુએ છે.

ઉપર મુજબના માગેલા પાંચ પ્રશ્નો નીચે મુજબ છે:
(i) \(\frac{1}{2}\) \(\frac{1}{3}\)
(ii) \(\frac{4}{4}\) \(\frac{5}{5}\)
(iii) \(\frac{4}{6}\) \(\frac{3}{3}\)
(iv) \(\frac{2}{2}\) \(\frac{3}{3}\)
(v) \(\frac{2}{5}\) \(\frac{5}{6}\)

યોગ્ય સંકેત મૂકતાં :
(i) \(\frac{1}{2}\) \(\frac{1}{3}\)
(ii) \(\frac{4}{4}\) \(\frac{5}{5}\)
(iii) \(\frac{4}{6}\) \(\frac{3}{3}\)
(iv) \(\frac{2}{2}\) \(\frac{3}{3}\)
(v) \(\frac{2}{5}\) \(\frac{5}{6}\)

પ્રશ્ન 5.
શક્ય એટલા ઓછા સમયમાં મેળવો અને યોગ્ય સંકેત મૂકો (‘<‘, ‘=’, ‘>’)
(a) \(\frac{1}{2}\) \(\frac{1}{5}\)
(b) \(\frac{2}{4}\) \(\frac{3}{6}\)
(c) \(\frac{3}{5}\) \(\frac{2}{3}\)
(d) \(\frac{3}{4}\) \(\frac{2}{8}\)
(e) \(\frac{3}{5}\) \(\frac{6}{5}\)
(f) \(\frac{7}{9}\) \(\frac{3}{9}\)
(g) \(\frac{1}{4}\) \(\frac{2}{8}\)
(h) \(\frac{6}{10}\) \(\frac{4}{5}\)
(i) \(\frac{3}{4}\) \(\frac{7}{8}\)
(j) \(\frac{6}{10}\) \(\frac{4}{5}\)
(k) \(\frac{5}{7}\) \(\frac{15}{21}\)
જવાબ:
ઉપરના દરેક માટે આપણે ચોકડી ગુણાકારની રીત અજમાવીશું :
(a) \(\frac{1}{2}\) \(\frac{1}{5}\) અહીં, અપૂર્ણાકોના અંશ સરખા છે.
∴\(\frac{1}{2}\) \(\frac{1}{5}\)

(b) \(\frac{2}{4}\) \(\frac{3}{6}\) અહીં, 2 × 6 = 12 તથા 3 × 4 = 12
∴\(\frac{2}{4}\) \(\frac{3}{6}\) જુઓ → 12 = 12

(c) \(\frac{3}{5}\) \(\frac{2}{3}\) અહીં, 3 × 3 = 9 તથા 2 × 5 = 10
∴\(\frac{3}{5}\) \(\frac{2}{3}\) જુઓ → 9 < 10

(d) \(\frac{3}{4}\) \(\frac{2}{8}\) અહીં, 3 × 8 = 24 તથા 2 × 4 = 8
∴\(\frac{3}{4}\) \(\frac{2}{8}\) જુઓ → 24 > 8

(e) \(\frac{3}{5}\) \(\frac{6}{5}\) અહીં, અપૂર્ણાકોના છેદ સરખા છે. અંશ માટે 3< 6 છે.
∴ \(\frac{3}{5}\) \(\frac{6}{5}\)

(f) \(\frac{7}{9}\) \(\frac{3}{9}\) અહીં, અપૂણાકોના છેદ સરખા છે. અંશ માટે 7 > 3 છે.
∴ \(\frac{7}{9}\) \(\frac{3}{9}\)

(g) \(\frac{1}{4}\) \(\frac{2}{8}\) અહીં, 1 × 8 = 8 તથા 2 × 4 = 8
∴\(\frac{1}{4}\) \(\frac{2}{8}\) જુઓ → 8 = 8

(h) \(\frac{6}{10}\) \(\frac{4}{5}\) અહીં, 6 × 5 = 30 તથા 4 × 10 = 40
∴\(\frac{6}{10}\) \(\frac{4}{5}\) જુઓ → 30 < 40

(i) \(\frac{3}{4}\) \(\frac{7}{8}\) અહીં, 3 × 8 = 24 તથા 7 × 4 = 28
∴ \(\frac{3}{4}\) \(\frac{7}{8}\) જુઓ → 24 < 28

(j) \(\frac{6}{10}\) \(\frac{4}{5}\) અહીં, 6 × 5 = 30 તથા 4 × 10 = 40
∴\(\frac{6}{10}\) \(\frac{4}{5}\)  જુઓ → 30 40

(k) \(\frac{5}{7}\) \(\frac{15}{21}\) અહીં, 5 × 21 = 105 તથા 15 × 7 = 105
∴\(\frac{5}{7}\) \(\frac{15}{21}\) જુઓ → 105 = 105

પ્રશ્ન 6.
નીચેના અપૂર્ણાકો ત્રણ અલગ અલગ સંખ્યા નિદર્શિત કરે છે. તેમનું અતિસંક્ષિપ્ત – રૂપ આપી સમઅપૂર્ણાકોનાં ત્રણ જૂથમાં વહેંચોઃ
(a) \(\frac{2}{12}\)
(b) \(\frac{3}{15}\)
(c) \(\frac{8}{50}\)
(d) \(\frac{16}{100}\)
(e) \(\frac{10}{60}\)
(f) \(\frac{15}{75}\)
(g) \(\frac{12}{60}\)
(h) \(\frac{16}{96}\)
(i) \(\frac{12}{75}\)
(j) \(\frac{12}{72}\)
(k) \(\frac{3}{18}\)
(l) \(\frac{4}{25}\)
જવાબ:
સૌ પહેલાં આપણે આપેલા અપૂર્ણાકોને તેમના અતિસંક્ષિપ્ત સ્વરૂપમાં ફેરવીએ.
(a) \(\frac{2}{12}\) = \(\frac{2 \div 2}{12 \div 2}\) = \(\frac{1}{6}\) [∵ 2 અને 12નો ગુ.સા.અ. = 2]

(b) \(\frac{3}{15}\) = \(\frac{3 \div 3}{15 \div 3}\) = \(\frac{1}{5}\) [∵ 3 અને 15નો ગુ.સા.અ. = 3]

(c) \(\frac{5}{50}\) = \(\frac{8 \div 2}{50 \div 2}\) = \(\frac{4}{25}\) [∵ 8 અને 50નો ગુ.સા.અ. = 2].

(d) \(\frac{16}{100}\) = \(\frac{16 \div 4}{100 \div 4}\) = \(\frac{4}{25}\) [∵ 16 અને 100નો ગુ.સા.અ. = 4].

(e) \(\frac{10}{60}\) = \(\frac{10 \div 10}{60 \div 10}\) = \(\frac{1}{6}\) [∵ 10 અને 60નો ગુ.સા.અ. = 10].

(f) \(\frac{15}{75}\) = \(\frac{15 \div 15}{75 \div 15}\) = \(\frac{1}{5}\) [∵ 15 અને 75નો ગુ.સા.અ. = 15]

(g) \(\frac{12}{60}\) = \(\frac{12 \div 12}{60 \div 12}\) = \(\frac{1}{5}\) [∵12 અને 60નો ગુ.સા.અ. = 12].

(h) \(\frac{16}{96}\) = \(\frac{16 \div 16}{96 \div 16}\) = \(\frac{1}{6}\) [∵16 અને 26નો ગુ.સા.અ. = 16]

(i) \(\frac{12}{75}\) = \(\frac{12 \div 3}{75 \div 3}\) = \(\frac{4}{25}\) [∵ 12 અને 75નો ગુ.સા.અ. = 3].

(j) \(\frac{12}{72}\) = \(\frac{12 \div 12}{72 \div 12}\) = \(\frac{1}{6}\) [∵12 અને 72નો ગુ.સા.અ. = 12].

(k) \(\frac{3}{18}\) = \(\frac{3 \div 3}{18 \div 3}\) = \(\frac{1}{6}\) [∵3 અને 18નો ગુ.સા.અ. = 3]

આમ, ઉપર અતિસંક્ષિપ્ત રૂપ પરથી ત્રણ અલગ અલગ જૂથ બને છે?
(i) \(\frac{1}{6}\)કે જેમનું અતિસંક્ષિપ્ત સ્વરૂપ છે તેવા અપૂર્ણાકો :
\(\frac{2}{12}\) = \(\frac{10}{60}\) = \(\frac{16}{96}\) = \(\frac{12}{72}\) = \(\frac{3}{18}\)
(ii) જેમનું અતિસંક્ષિપ્ત સ્વરૂપ છે તેવા અપૂણકો: \(\frac{3}{15}\) = \(\frac{15}{75}\) = \(\frac{12}{60}\)
(iii) જેમનું અતિસંક્ષિપ્ત સ્વરૂપ છે તેવા અપૂર્ણાકો :
\(\frac{8}{50}\) = \(\frac{16}{100}\) = \(\frac{12}{75}\) = \(\frac{4}{25}\).

પ્રશ્ન 7.
નીચેનાના જવાબ મેળવો અને તેના ઉકેલની રીત પણ દર્શાવોઃ
(a) શું \(\frac{5}{9}\) અને \(\frac{4}{5}\) સરખા છે?
(b) શું \(\frac{9}{16}\) અને \(\frac{5}{9}\) સરખા છે?
(c) શું \(\frac{4}{5}\) અને \(\frac{16}{20}\) સરખા છે?
(d) શું \(\frac{1}{15}\) અને \(\frac{4}{30}\) સરખા છે?
જવાબ:
(a) \(\frac{5}{9}\) અને \(\frac{4}{5}\)
ચોકડી ગુણાકાર કરતાં
5 × 5 = 25 અને 4 × 9 = 36 હવે, 25 ≠ 36
∴ 5 × 5 ≠ 4 × 9
∴ \(\frac{5}{9}\) ≠ \(\frac{4}{5}\)
આમ, \(\frac{5}{9}\) અને \(\frac{4}{5}\) એ સરખા અપૂર્ણાંકો નથી.

(b) \(\frac{9}{16}\) અને \(\frac{5}{9}\)
ચોકડી ગુણાકાર કરતાં
9 × 9 = 8 અને 5 × 36 = 80 હવે, 81 ≠ 80
∴ 9 × 9 ≠ 5 × 16
∴ \(\frac{9}{16}\) ≠ \(\frac{5}{9}\)
આમ, \(\frac{9}{16}\) અને \(\frac{5}{9}\) એ સરખા અપૂર્ણાંકો નથી.

(c) \(\frac{4}{5}\) અને \(\frac{16}{20}\)
ચોકડી ગુણાકાર કરતાં
4 × 20 = 80 અને 16 × 5 = 80 હવે, 80 = 80
∴ 4 × 20 = 16 × 5
∴ \(\frac{4}{5}\) = \(\frac{16}{20}\)
આમ, \(\frac{4}{5}\) અને \(\frac{16}{20}\) એ સરખા અપૂર્ણાકો છે.

(d) \(\frac{1}{15}\) અને \(\frac{4}{30}\)
ચોકડી ગુણાકાર કરતાં
1 × 30 = 30 અને 4 × 15 = 60 હવે, 30 ≠ 60
∴ 1 × 30 ≠ 4 × 15
∴ \(\frac{1}{15}\) ≠ \(\frac{4}{30}\)
આમ, \(\frac{1}{15}\) અને \(\frac{4}{30}\) સરખા અપૂર્ણાંકો નથી.

પ્રશ્ન 8.
100 પાનાની એક ચોપડીમાંથી ઇલાએ 25 પાનાં વાંચ્યાં. લલિતાએ એ જ ચોપડીનાં \(\frac{2}{5}\) જેટલાં પાનાં વાંચ્યાં, તો કોણે ઓછું વાંચ્યું?
જવાબ:
ઇલાએ વાંચેલો ચોપડીનો ભાગ = \(\frac{25}{100}\)
= \(\frac{25 \div 25}{100 \div 25}\) = \(\frac{1}{4}\)
[∵ 25 અને 100નો ગુ.સા.અ. = 25]
હવે, લલિતાએ વાંચેલો ચોપડીનો ભાગ \(\frac{2}{5}\) છે.
\(\frac{1}{4}\) અને \(\frac{2}{5}\) અપૂર્ણાકોની સરખામણી કરીએ
1 × 5 = 5 તથા 2 × 4 = 8 હવે 5 < 8
∴ 1 × 5 < 2 × 4 ∴ \(\frac{1}{4}\) \(\frac{2}{5}\) આમ, ઇલાએ ઓછું વાંચ્યું છે.

પ્રશ્ન 9.
રફિકે એક કલાકમાં \(\frac{3}{6}\) ભાગની કસરત પૂર્ણ કરી. રોહિતે એક કલાકમાં \(\frac{3}{4}\) ભાગની કસરત પૂર્ણ કરી, તો કોણે લાંબા સમય સુધી કસરત કરી કહેવાય?
જવાબ:
રફિકે એક કલાકમાં \(\frac{3}{6}\) ભાગની કસરત પૂર્ણ કરી છે.
રોહિતે એક કલાકમાં \(\frac{3}{4}\) ભાગની કસરત પૂર્ણ કરી છે.
હવે, \(\frac{3}{6}\) અને \(\frac{3}{4}\) અપૂર્ણાકો સમચ્છેદી અપૂર્ણાંકો નથી. પરંતુ તેમના અંશ સરખા છે.
∴ જે અપૂર્ણાકનો છેદ નાનો તે અપૂર્ણાક મોટો.
આમ, \(\frac{3}{4}\) > \(\frac{3}{6}\)
એટલે કે રોહિતે લાંબા સમય સુધી કસરત કરી કહેવાય.

પ્રશ્ન 10.
A વર્ગમાં 25 વિદ્યાર્થીઓ છે, તેમાંના 20 વિદ્યાર્થીઓ પ્રથમ ક્લાસ સાથે પાસ થાય છે. બીજા 8 વર્ગમાં 30 વિદ્યાર્થીઓ છે, તેમાંના 24 વિદ્યાર્થીઓ પ્રથમ ક્લાસ સાથે પાસ થાય છે, તો અપૂર્ણાકની રીતે કયા વર્ગના વધુ વિદ્યાર્થીઓ પ્રથમ (ફસ્ટ) ક્લાસ સાથે પાસ થયા કહેવાય?
જવાબ:
વર્ગ Aમાં પ્રથમ ક્લાસમાં પાસ થયેલ વિદ્યાર્થીઓનો ભાગ = \(\frac{20}{25}\)
= \(\frac{20 \div 5}{25 \div 5}\) [∵ 20 અને 25નો ગુ.સા.અ. = 5]
= \(\frac{4}{5}\)
વર્ગ કેમાં પ્રથમ ક્લાસમાં પાસ થયેલ વિદ્યાર્થીઓનો ભાગ = \(\frac{24}{30}\)
= \(\frac{24 \div 6}{30 \div 6}\) [∵ 24 અને 30નો ગુ.સા.અ. = 6]
= \(\frac{4}{5}\)
ઉપર બંને અપૂર્ણાકોનાં અતિસંક્ષિપ્ત સ્વરૂપો સરખાં છે.
∴ બંને વર્ગમાં પ્રથમ ક્લાસમાં પાસ થનાર વિદ્યાર્થીઓનો ભાગ સરખો છે.
આમ, બંને વર્ગના પ્રથમ ક્લાસમાં પાસ થનાર વિદ્યાર્થીઓ સરખા છે.