Gujarat Board GSEB Solutions Class 8 Maths Chapter 2 એકચલ સુરેખ સમીકરણ Ex 2.4 Textbook Exercise Questions and Answers.
Gujarat Board Textbook Solutions Class 8 Maths Chapter 2 એકચલ સુરેખ સમીકરણ Ex 2.4
પ્રશ્ન 1.
અમીના એક સંખ્યા ધારે છે. તે આ સંખ્યામાંથી \(\frac {5}{2}\) બાદ કરી અને મળેલ પરિણામનો 8 વડે ગુણાકાર કરે છે. જો મળેલ નવું પરિણામ ધારેલ સંખ્યાનું ત્રણ ગણું હોય, તો અમીનાએ ધારેલી સંખ્યા શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, અમીનાએ ધારેલી સંખ્યા x છે.
આ સંખ્યામાંથી \(\frac {5}{2}\) બાદ કરતાં x – \(\frac {5}{2}\) મળે.
આ પરિણામને 8 વડે ગુણતાં 8(x – \(\frac {5}{2}\)) થાય.
પણ આ પરિણામ ધારેલી સંખ્યાના ત્રણ ગણા જેટલું છે. એટલે કે 3x જેટલું છે.
∴ 8(x – \(\frac {5}{2}\)) = 3x
∴ 8x – 20 = 3x
∴ 8x = 3x + 20 (∵ -20ને જ.બા. લઈ જતાં)
∴ 8x – 3x = 20 (∵ 3xને ડા.બા. લઈ જતાં)
∴ 5x = 20
∴ \(\frac{5 x}{5}=\frac{20}{5}\) (∵ બંને બાજુ 5 વડે ભાગતાં)
∴ x = 4
આમ, અમીનાએ ધારેલી સંખ્યા 4 છે.
પ્રશ્ન 2.
બે ધન સંખ્યામાં પહેલી સંખ્યા બીજી સંખ્યા કરતાં 5 ગણી છે. દરેક સંખ્યામાં 21 ઉમેરતાં નવી મળેલ બંને સંખ્યાઓમાંથી પહેલી સંખ્યા બીજી સંખ્યા કરતાં બમણી થાય છે, તો મૂળ સંખ્યાઓ શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, બીજી ધન સંખ્યા x છે.
∴ પહેલી ધન સંખ્યા 5x થાય.
પહેલી ધન સંખ્યામાં 21 ઉમેરતાં (5x + 21) થાય અને બીજી ધન સંખ્યામાં 21 ઉમેરતાં (x + 21) થાય.
હવે, પહેલી ધન સંખ્યાવાળું પરિણામ બીજી ધન સંખ્યાના પરિણામ કરતાં બમણું છે.
∴ 5x + 21 = 2 (x + 21)
∴ 5x + 21 = 2x + 42
∴ 5x = 2x + 42 – 21 (∵ 21ને જ.બા. લઈ જતાં)
∴ 5x = 2x + 21
∴ 5x – 2x = 21 (∵ 2xને ડાબા. લઈ જતાં)
3x = 21
∴ \(\frac{3 x}{3}=\frac{21}{3}\) (∵ બંને બાજુ 3 વડે ભાગતાં)
∴ x = 7
તેથી બીજી ધન સંખ્યા x = 7 અને પહેલી ધન સંખ્યા = 6x = 5 × 7 = 35 આમ, તે બે ધન સંખ્યાઓ 35 અને 7 છે.
પ્રશ્ન 3.
બે અંકની સંખ્યાના અંકોનો સરવાળો 9 છે. જો અંકોની અદલાબદલી કરતાં મળેલ નવી સંખ્યા, મૂળ સંખ્યા કરતાં 27 વધારે હોય, તો મૂળ સંખ્યા શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, બે અંકોની આ સંખ્યાનો એકમનો અંક x છે.
સંખ્યાના એકમના અને દશકના અંકોનો સરવાળો 9 છે.
∴ મૂળ સંખ્યાનો દશકનો અંક (9 – x) હોય.
∴ મૂળ સંખ્યા = 10 (દશકનો અંક) + એકમનો અંક
= 10 (9 – x) + x
= 90 – 10x + x
= 90 – 9x
હવે, આ સંખ્યાના એકમના અંક અને દશકના અંકની અદલાબદલી કરતાં મળતી નવી સંખ્યાનો એકમનો અંક (9 – x) થાય અને નવો દશકનો અંક x થાય.
∴ બનતી નવી સંખ્યા = 10 (દશકનો અંક) + એકમનો અંક
= 10 (x) + (9 – x)
= 10x + 9 – x
= 9x + 9
રકમ પ્રમાણે બનતી આ નવી સંખ્યા મૂળ સંખ્યા કરતાં 27 વધી જાય છે.
∴ નવી સંખ્યા = મૂળ સંખ્યા + 27
∴ 9x + 9 = (90 – 9x) + 27
∴ 9x + 9 = 90 – 9x + 27
∴ 9x + 9 = 117 – 9x
∴ 9x = 117 – 9x – 9 (∵ 9ને જ.બા. લઈ જતાં)
∴ 9x = 108 – 9x
∴ 9x + 9x = 108 (∵ -9xને ડા.બા. લઈ જતાં)
∴ 18x = 108
∴ \(\frac{18 x}{18}=\frac{108}{18}\) (∵ બંને બાજુ 18 વડે ભાગતાં)
∴ x = 6
∴ મૂળ સંખ્યા = 90 – 9x
= 90 – 9 (6)
= 90 – 54
= 36
આમ, મૂળ સંખ્યા 36 હોય.
પ્રશ્ન 4.
બે અંકની સંખ્યાના અંકો પૈકી એક અંક બીજા અંક કરતાં ત્રણ ગણો છે. અંકોની અદલાબદલી કરતાં મળેલ નવી સંખ્યાને, મૂળ સંખ્યામાં ઉમેરતાં 88 મળે છે, તો મૂળ સંખ્યા શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, બે અંકોની આ સંખ્યાનો એકમનો અંક x છે.
આ સંખ્યાનો દશકનો અંક એ એકમના એક કરતાં ત્રણ ગણો છે.
∴ સંખ્યાનો દશકનો અંક 3x છે.
∴ મૂળ સંખ્યા = 10 (દશકનો અંક) + એકમનો અંક
= 10 (3x) + x
= 30x + x
= 31x
હવે, આ સંખ્યાના એકમના અંક અને દશકના અંકની અદલાબદલી કરતાં મળતી નવી સંખ્યાનો નવો એકમનો અંક 3X અને નવો દશકનો અંક x થાય.
∴ નવી સંખ્યા = 10 (દશકનો અંક) + એકમનો અંક
= 10 (x) + 3x
= 10x + 3x
= 13x
હવે, રકમ પ્રમાણે મૂળ સંખ્યા અને નવી સંખ્યાનો સરવાળો 88 થાય છે.
∴ 31x + 13x = 88
∴ 44x = 88
∴ \(\frac{44 x}{44}=\frac{88}{44}\) (∵ બંને બાજુ 44 વડે ભાગતાં)
∴ x = 2
મૂળ સંખ્યા = 31x
= 31 × 2
= 62.
આમ, મૂળ સંખ્યા 62 (અથવા 26) છે.
પ્રશ્ન 5.
સરોજની માતાની હાલની ઉંમર, સરોજની હાલની ઉંમર કરતાં છગણી છે. 5 વર્ષ પછી સરોજની ઉંમર તેની માતાની હાલની ઉંમર કરતાં ત્રીજા ભાગની થશે, તો બંનેની હાલની ઉંમર શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, સરોજની હાલની ઉંમર x વર્ષ છે.
સરોજની માતાની હાલની ઉંમર સરોજની હાલની ઉંમર કરતાં છગણી છે.
∴ સરોજની માતાની હાલની ઉંમર 6 વર્ષ હોય.
5 વર્ષ પછી સરોજની ઉંમર (x + 5) વર્ષ થશે.
તે વખતે સરોજની ઉંમર તેની માતાની હાલની ઉંમરના ત્રીજા ભાગની હશે.
∴ \(\frac {1}{3}\) (માતાની ઉંમર) = સરોજની 5 વર્ષ પછીની ઉંમર
∴ \(\frac {1}{3}\)(6x) = x + 5
∴ 2x = x + 5
∴ 2x – x = 5 (∵ xને ડાબા. લઈ જતાં)
∴ x = 5
∴ સરોજની હાલની ઉંમર = x = 5 વર્ષ, સરોજની માતાની હાલની ઉંમર
= 6x
= 6 × 5
= 30 વર્ષ
આમ, સરોજની હાલની ઉંમર 6 વર્ષ અને તેની માતાની હાલની ઉંમર 30 વર્ષ છે.
પ્રશ્ન 6.
મહુલી ગામમાં જમીનનો એક સાંકડો લંબચોરસ ટુકડો શાળા બનાવવા માટે ફાળવેલ છે. પ્લૉટની લંબાઈ અને પહોળાઈનો ગુણોત્તર 11 : 4 છે. જો આ પ્લૉટની ફરતે વાડ બનાવવા માટે ગ્રામપંચાયતને ₹ 100 પ્રતિ મીટરના દરે ₹ 75,000 ખર્ચ કરવા પડે, તો પ્લૉટની લંબાઈ અને પહોળાઈ શોધો.
ઉત્તરઃ
લંબચોરસ પ્લૉટની લંબાઈ અને પહોળાઈ 11 : 4ના ગુણોત્તરમાં છે.
ધારો કે, લંબચોરસ પ્લૉટની લંબાઈ 11x અને પહોળાઈ 4x છે.
∴ લંબચોરસ પ્લૉટની પરિમિતિ = 2 (લંબાઈ + પહોળાઈ)
= 2 (11x + 4x)
= 2 (15x)
= 30x
હવે, લંબચોરસ પ્લૉટની ફરતે વાડ કરવાનો ખર્ચ પ્રતિ મીટરે 100 છે.
∴ 30x મીટર વાડ કરવાનો કુલ ખર્ચ = ₹ 100 × 30x = ₹ 3000 x
રકમ પ્રમાણે વાડ કરવાનો કુલ ખર્ચ ₹ 75,000 થયો છે.
∴ 3000 x = 75,000
∴ \(\frac {1}{2}\) (∵ બંને બાજુ 3000 વડે ભાગતાં)
∴ x = 25
લંબચોરસ પ્લૉટની લંબાઈ = 10x = 11 × 25 = 275 મીટર અને પહોળાઈ = 4x = 4 × 25 = 100 મીટર
આમ, લંબચોરસ પ્લૉટની લંબાઈ 275 મીટર અને પહોળાઈ 100 મીટર છે.
પ્રશ્ન 7.
હસન ગણવેશ બનાવવા માટે બે પ્રકારનું કાપડ ખરીદે છે. શર્ટ માટેના કાપડનો ભાવ ₹ 50 પ્રતિ મીટર છે તથા પાટલૂનના કાપડનો ભાવ ₹ 90 પ્રતિ મીટર છે. શર્ટના પ્રત્યેક ૩ મીટર કાપડ માટે તે પાટલૂનનું 2 મીટર કાપડ ખરીદે છે. તે આ કાપડને અનુક્રમે 12 % અને 10 % નફા સાથે વેચે છે, તેને કુલ ₹ 36,600 મળે છે, તો તેણે પાટલૂન માટે કેટલું કાપડ ખરીધું હશે?
ઉત્તરઃ
હસને શર્ટના દર 3 મીટરે પાટલૂનનું 2 મીટર કાપડ ખરીદ્યું છે.
એટલે કે શર્ટના અને પાટલૂનના કાપડની ખરીદીનો ગુણોત્તર ૩: 2 છે.
ધારો કે, હસને 3x મીટર શર્ટનું કાપડ અને 2 મીટર પાટલૂનનું કાપડ ખરીધું છે.
પાટલૂનના કાપડની ખરીદ કિંમત = 2x × ₹ 90 = ₹ 180x
શર્ટના કાપડની ખરીદ કિંમત = 3x × ₹ 50 = ₹ 150x
હવે, પાટલૂનનું કાપડ 10 % નફાથી વેચે છે. એટલે કે ₹ 100 મૂ. કિ.ની વસ્તુની વે,કિં. ₹ 110 છે.
∴ પાટલૂનના કાપડની વે.કિ. = ₹ \(\frac{110}{100}\) × 180x = ₹ 198
અને શર્ટનું કાપડ 12 % નફાથી વેચે છે. એટલે કે ₹ 100 મૂ. કિં.ની વસ્તુની વેકિં. ₹ 112 છે.
∴ શર્ટના કાપડની વેકિ. = ₹ \(\frac{112}{100}\) × 150x = ₹ 168x
કાપડની કુલ વેકિં. = ₹ 981 + ₹ 168x = ₹ 366x
રકમ પ્રમાણે આ વેકિ. ₹ 36,600 છે.
∴ 366x = 36,600
∴ \(\frac{366 x}{366}=\frac{36600}{366}\) (∵ બંને બાજુ 366 વડે ભાગતાં)
∴ x = 100
હવે, હસને પાટલૂનનું કાપડ 2x મીટર ખરીધું છે.
∴ હસને ખરીદેલું પાટલૂનનું કાપડ = 2x = 2 × 100 = 200 મીટર આમ, હસને 200 મીટર પાટલૂનનું કાપડ ખરીદ્યું હશે.
પ્રશ્ન 8.
હરણના એક ઝુંડમાંથી અડધાં હરણ ખેતરમાં ચરી રહ્યાં છે. બાકી બચેલાં હરણના ત્રણ ચતુર્થાંશ ભાગનાં હરણ ઊછળકૂદ કરી રહ્યાં છે અને બાકીનાં 9 હરણ તળાવમાંથી પાણી પી રહ્યાં છે, તો ઝુંડમાં રહેલાં હરણની સંખ્યા શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, ઝુંડમાં હરણની કુલ સંખ્યા x છે.
કુલ હરણમાંથી અડધાં હરણ ખેતરમાં ચરી રહ્યાં છે.
એટલે કે \(\frac{x}{2}\) હરણ ખેતરમાં ચરી રહ્યાં છે.
∴ બાકીનાં હરણ = x – \(\frac{x}{2}\) = \(\frac{x}{2}\)
બાકીનાં હરણમાંના \(\frac {3}{4}\) ભાગનાં હરણ ઊછળકૂદ કરે છે.
∴ ઊછળકૂદ કરનાર હરણ = \(\frac {3}{4}\) × (બાકીનાં હરણ) = \(\frac {3}{4}\) × \(\frac{x}{2}\) = \(\frac{3 x}{8}\) વળી, 9 હરણ તળાવમાંથી પાણી પી રહ્યાં છે.
∴ કુલ હરણની સંખ્યા = \(\frac{x}{2}+\frac{3 x}{8}+9\) = ધારેલી હરણની સંખ્યા
આમ, \(\frac{x}{2}+\frac{3 x}{8}+9\) = x
∴ \(\frac{x}{2}+\frac{3 x}{8}\) = x – 9 (∵ 9ને જ.બા. લઈ જતાં)
∴ \(\frac{x}{2}+\frac{3 x}{8}-x\) = -9 (∵ xને ડાબા. લઈ જતાં)
∴ \(\frac{4 x+3 x-8 x}{8}\) = – 9 (∵ 2 અને 8નો લ.સા.અ. 8)
∴ \(\frac{-x}{8}\) = -9
∴ \(\frac{-x}{8}\) × 8 = – 9 × 8 (∵ બંને બાજુ 8 વડે ગુણતાં)
∴ -x = – 72
∴ x = 72 (∵ બંને બાજુ (-1) વડે ગુણતાં)
આમ, ઝંડમાં રહેલાં કુલ હરણની સંખ્યા 72 હોય.
પ્રશ્ન 9.
દાદાજીની ઉંમર તેમની પૌત્રીની ઉંમર કરતાં દસ ગણી છે. જો તેમની ઉંમર તેમની પૌત્રીની ઉંમર કરતાં 54 વર્ષ વધારે હોય, તો બંનેની ઉંમર શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, પૌત્રીની હાલની ઉંમર ૪ વર્ષ છે.
પૌત્રીની હાલની ઉંમર કરતાં દાદાની હાલની ઉંમર દસ ગણી છે.
∴ દાદાની હાલની ઉંમર 10x વર્ષ છે.
વળી દાદાની ઉંમર પૌત્રીની ઉંમર કરતાં 54 વર્ષ વધારે છે.
∴ 10x = x + 54
∴ 10x – x = 54 (∵ xને ડો.બા. લઈ જતાં)
∴ 9x = 54
∴ \(\frac{9 x}{9}=\frac{54}{9}\) (∵ બંને બાજુ 9 વડે ભાગતાં)
∴ x = 6
પૌત્રીની હાલની ઉંમર 6 વર્ષ અને દાદાની હાલની ઉંમર 10x = 10 × 6 = 60 વર્ષ આમ, પૌત્રીની હાલની ઉંમર 6 વર્ષ અને દાદાની હાલની ઉંમર 60 વર્ષ છે.
પ્રશ્ન 10.
અમનની હાલની ઉંમર તેના પુત્રની હાલની ઉંમર કરતાં ત્રણ ગણી છે. 10 વર્ષ પહેલાં તેની ઉંમર તેના પુત્રની ઉંમર કરતાં પાંચ ગણી હોય, તો તેમની હાલની ઉંમર શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, અમનના પુત્રની હાલની ઉંમર x વર્ષ છે.
હવે, અમનની હાલની ઉંમર તેના પુત્રની હાલની ઉંમર કરતાં ત્રણ ગણી છે.
∴ અમનની ઉંમર વર્ષ છે.
દસ વર્ષ પહેલાં અમનના પુત્રની ઉંમર = (x – 10) વર્ષ હશે.
અને દસ વર્ષ પહેલાં અમનની ઉંમર = (3x – 10) વર્ષ હશે.
દસ વર્ષ પહેલાં અમનની ઉંમર તેના પુત્રની ઉંમર કરતાં પાંચ ગણી હતી.
∴ (પુત્રની 10 વર્ષ પહેલાની ઉંમર) × 5 = અમનની 10 વર્ષ પહેલાંની ઉંમર
∴ (x – 10) × 5 = (3x – 10)
∴ 5x – 50 = 3x- 10
∴ 5x = 3x – 10 + 50 (∵ -50ને જ.બા. લઈ જતાં)
∴ 5x = 3x + 40
∴ 5x – 3x = 40 (∵ 3xને ડાબા. લઈ જતાં)
∴ 2x = 40
∴ \(\frac{2 x}{2}=\frac{40}{2}\) (∵ બંને બાજુ 2 વડે ભાગતાં)
∴ x = 20
પુત્રની હાલની ઉંમર x = 20 વર્ષ અને
અમનની હાલની ઉંમર = 3x = 3 × 20 = 60 વર્ષ
આમ, પુત્રની હાલની ઉંમર 20 વર્ષ અને અમનની હાલની ઉંમર 60 વર્ષ છે.