GSEB Solutions Class 8 Maths Chapter 7 ઘન અને ઘનમૂળ Ex 7.1

Gujarat Board GSEB Solutions Class 8 Maths Chapter 7 ઘન અને ઘનમૂળ Ex 7.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 8 Maths Chapter 7 ઘન અને ઘનમૂળ Ex 7.1

1. નીચેનામાંથી કઈ સંખ્યા પૂર્ણઘન નથી?

પ્રશ્ન (i).
216
ઉત્તરઃ
216
\(\begin{array}{l|l}
2 & 216 \\
\hline 2 & 108 \\
\hline 2 & 54 \\
\hline 3 & 27 \\
\hline 3 & 9 \\
\hline 3 & 3 \\
\hline & 1
\end{array}\)
216 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3
અહીં, 216ના અવિભાજ્ય અવયવોની ત્રણ-ત્રણની જોડ બને છે. કોઈ અવયવ બાકી રહેતો નથી.
∴ 216 એ પૂર્ણઘન સંખ્યા છે.
જુઓ : 216 = 2³ × 3³

પ્રશ્ન (ii).
128
ઉત્તરઃ
128
\(\begin{array}{l|l}
2 & 128 \\
\hline 2 & 64 \\
\hline 2 & 32 \\
\hline 2 & 16 \\
\hline 2 & 8 \\
\hline 2 & 4 \\
\hline 2 & 2 \\
\hline & 1
\end{array}\)
128 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
અહીં, 128ના અવિભાજ્ય અવયવોની ત્રણ-ત્રણની જોડ બનતી નથી. ત્રણ-ત્રણની જોડ બનાવતાં 2 બાકી રહે છે.
∴ 128 એ પૂર્ણઘન સંખ્યા નથી.

પ્રશ્ન (iii).
1000
ઉત્તરઃ
1000
\(\begin{array}{l|l}
2 & 1000 \\
\hline 2 & 500 \\
\hline 2 & 250 \\
\hline 5 & 125 \\
\hline 5 & 25 \\
\hline 5 & 5 \\
\hline & 1
\end{array}\)
1000 = 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 5
અહીં, 1000ના અવિભાજ્ય અવયવોની ત્રણ-ત્રણની જોડ બને છે. કોઈ અવયવ બાકી રહેતો નથી.
∴ 1000 એ પૂર્ણઘન સંખ્યા છે.
જુઓ : 1000 = 2³ × 5³

પ્રશ્ન (iv).
100
ઉત્તરઃ
100
\(\begin{array}{l|l}
2 & 100 \\
\hline 2 & 50 \\
\hline 5 & 25 \\
\hline 5 & 5 \\
\hline & 1
\end{array}\)
100 = 2 × 2 × 5 × 5
અહીં 100ના અવિભાજ્ય અવયવોની ત્રણ-ત્રણની જોડી બનાવતાં એક પણ ત્રિપુટી બનતી નથી.
∴ 100 એ પૂર્ણઘન સંખ્યા નથી.

પ્રશ્ન (v).
46,656
ઉત્તરઃ
46656
\(\begin{array}{l|l}
2 & 46656 \\
\hline 2 & 23328 \\
\hline 2 & 11664 \\
\hline 2 & 5832 \\
\hline 2 & 2916 \\
\hline 2 & 1458 \\
\hline 3 & 729 \\
\hline 3 & 243 \\
\hline 3 & 81 \\
\hline 3 & 27 \\
\hline 3 & 9 \\
\hline 3 & 3 \\
\hline & 1
\end{array}\)
46656 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3
અહીં 46656ના અવિભાજ્ય અવયવોની ત્રણ ત્રણની જોડ બને છે. કોઈ અવયવ બાકી રહેતો નથી.
∴ 46656 એ પૂર્ણઘન સંખ્યા છે.
જુઓઃ 46656 = 2³ × 2³ × 3³ × 3³

2. એવી નાનામાં નાની સંખ્યા શોધો કે જેથી તેને નીચે આપેલ સંખ્યા સાથે ગુણવાથી મળતી સંખ્યા પૂર્ણઘન હોયઃ

પ્રશ્ન (i).
243
ઉત્તરઃ
243
\(\begin{array}{l|l}
3 & 243 \\
\hline 3 & 81 \\
\hline 3 & 27 \\
\hline 3 & 9 \\
\hline 3 & 3 \\
\hline & 1
\end{array}\)
243 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3
અહીં 243ના અવિભાજ્ય અવયવોની ત્રણ-ત્રણની જોડ બનાવતાં 3 × 3 બાકી રહે છે.
∴ 243 એ પૂર્ણઘન સંખ્યા નથી.
હવે, [243] × 3 = [3 × 3 × 3 × 3 × 3] × 3
∴ 729 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3
= 3³ × 3³
હવે, 729 એ પૂર્ણધન સંખ્યા છે.
આમ, 243ને નાનામાં નાની સંખ્યા 3 વડે ગુણતાં તે પૂર્ણઘન બને.

પ્રશ્ન (ii).
256
ઉત્તરઃ
256
\(\begin{array}{l|l}
2 & 256 \\
\hline 2 & 128 \\
\hline 2 & 64 \\
\hline 2 & 32 \\
\hline 2 & 16 \\
\hline 2 & 8 \\
\hline 2 & 4 \\
\hline 2 & 2 \\
\hline & 1
\end{array}\)
256 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2.
અહીં 256ના અવિભાજ્ય અવયવોની ત્રણ-ત્રણની જોડ બનાવતાં 2 × 2 બાકી રહે છે.
∴ 256 એ પૂર્ણઘન સંખ્યા નથી.
હવે, [256] × 2
= [2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2] × 2
∴ 512 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
= 2³× 2³ × 2³
હવે, 512 એ પૂર્ણઘન સંખ્યા છે.
આમ, 512ને નાનામાં નાની સંખ્યા 2 વડે ગુણતાં તે પૂર્ણઘન બને.

પ્રશ્ન (iii).
72
ઉત્તરઃ
72
\(\begin{array}{l|l}
2 & 72 \\
\hline 2 & 36 \\
\hline 2 & 18 \\
\hline 3 & 9 \\
\hline 3 & 3 \\
\hline & 1
\end{array}\)
72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3
અહીં 72ના અવિભાજ્ય અવયવોની ત્રણ-ત્રણની જોડ બનાવતાં 3 × 3 બાકી રહે છે.
∴ 72 એ પૂર્ણઘન સંખ્યા નથી.
હવે, [72] × 3 = [2 × 2 × 2 × 3 × 3] × 3
∴ 216 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3
= 2³ × 3³
હવે, 216 એ પૂર્ણઘન સંખ્યા છે.
આમ, 72ને નાનામાં નાની સંખ્યા 3 વડે ગુણતાં તે પૂર્ણઘન બને.

પ્રશ્ન (iv).
675
ઉત્તરઃ
675
\(\begin{array}{l|l}
3 & 675 \\
\hline 3 & 225 \\
\hline 3 & 75 \\
\hline 5 & 25 \\
\hline 5 & 5 \\
\hline & 1
\end{array}\)
675 = 3 × 3 × 3 × 5 × 5
અહીં 675ના અવિભાજ્ય અવયવોની ત્રણ-ત્રણની જોડ બનાવતાં 5 × 5 બાકી રહે છે.
∴ 675 એ પૂર્ણઘન સંખ્યા નથી.
હવે, [675] × 5 = [3 × 3 × 3 × 5 × 5] × 5
∴ 3375 = 3 × 3 × 3 × 5 × 5 × 5
= 3³ × 5³
હવે, 3375 એ પૂર્ણઘન સંખ્યા છે.
આમ, 675ને નાનામાં નાની સંખ્યા 5 વડે ગુણતાં તે પૂર્ણઘન બને.

પ્રશ્ન (v).
100
ઉત્તરઃ
100
\(\begin{array}{l|l}
2 & 100 \\
\hline 2 & 50 \\
\hline 5 & 25 \\
\hline 5 & 5 \\
\hline & 1
\end{array}\)
100 = 2 × 2 × 5 × 5
અહીં 100ના અવિભાજ્ય અવયવોની ત્રણ-ત્રણની જોડી બનાવતાં એક પણ ત્રિપુટી બનતી નથી.
∴ 100 એ પૂર્ણઘન સંખ્યા નથી.
હવે, [100] × 2 × 5 = [2 × 2 × 5 × 5] × 2 × 5
∴ 1000 = 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 5
= 2³ × 5³
હવે, 1000 એ પૂર્ણઘન સંખ્યા છે.
આમ, 100ને નાનામાં નાની સંખ્યા 2 × 5 એટલે કે 10 વડે ગુણતાં તે પૂર્ણઘન બને.

3. એવી નાનામાં નાની સંખ્યા શોધો કે જેના વડે નીચે આપેલ સંખ્યાને ભાગવાથી મળતી સંખ્યા પૂર્ણઘન હોય:

પ્રશ્ન (i).
81
ઉત્તરઃ
81
\(\begin{array}{l|l}
3 & 81 \\
\hline 3 & 27 \\
\hline 3 & 9 \\
\hline 3 & 3 \\
\hline & 1
\end{array}\)
81 = 3 × 3 × 3 × 3
અહીં 81ના અવિભાજ્ય અવયવોની ત્રણ-ત્રણની જોડ બનાવતાં 3 બાકી રહે છે.
∴ 81 એ પૂર્ણઘન સંખ્યા નથી.
હવે, [81] ÷ 3 = [3 × 3 × 3 × 3] ÷ 3
∴ 27 = 3 × 3 × 3 = 3³
હવે, 27 એ પૂર્ણઘન સંખ્યા છે.
આમ, 81ને નાનામાં નાની સંખ્યા 3 વડે ભાગતાં તે પૂર્ણઘન બને.

પ્રશ્ન (ii).
128
ઉત્તરઃ
128
\(\begin{array}{l|l}
2 & 128 \\
\hline 2 & 64 \\
\hline 2 & 32 \\
\hline 2 & 16 \\
\hline 2 & 8 \\
\hline 2 & 4 \\
\hline 2 & 2 \\
\hline & 1
\end{array}\)
128 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
અહીં 128ના અવિભાજ્ય અવયવોની ત્રણ-ત્રણની જોડ બનાવતાં 2 બાકી રહે છે.
∴ 128 એ પૂર્ણઘન સંખ્યા નથી.
હવે, [128] ÷ 2 = [2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2] ÷ 2
∴ 64 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
= 2³ × 2³
હવે, 64 એ પૂર્ણઘન સંખ્યા છે.
આમ, 128ને નાનામાં નાની સંખ્યા 2 વડે ભાગતાં તે પૂર્ણઘન બને.

પ્રશ્ન (iii).
135
ઉત્તરઃ
135
\(\begin{array}{l|l}
3 & 135 \\
\hline 3 & 45 \\
\hline 3 & 15 \\
\hline 5 & 5 \\
\hline & 1
\end{array}\)
135 = 3 × 3 × 3 × 5
અહીં 135ના અવિભાજ્ય અવયવોની ત્રણ-ત્રણની જોડ બનાવતાં 5 બાકી રહે છે.
∴ 135 એ પૂર્ણઘન સંખ્યા નથી.
હવે, [135] ÷ 5 = [3 × 3 × 3 × 5] ÷ 5
∴ 27 = 3 × 3 × 3
= 3³
હવે, 27 એ પૂર્ણઘન સંખ્યા છે.
આમ, 135ને નાનામાં નાની સંખ્યા 5 વડે ભાગતાં તે પૂર્ણઘન બને.

પ્રશ્ન (iv).
192
ઉત્તરઃ
192
\(\begin{array}{l|l}
2 & 192 \\
\hline 2 & 96 \\
\hline 2 & 48 \\
\hline 2 & 24 \\
\hline 2 & 12 \\
\hline 2 & 6 \\
\hline 3 & 3 \\
\hline & 1
\end{array}\)
192 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3
અહીં 192ના અવિભાજ્ય અવયવોની ત્રણ-ત્રણની જોડ બનાવતાં 3 બાકી રહે છે.
∴ 192 એ પૂર્ણઘન સંખ્યા નથી.
હવે, [192] ÷ 3 = [2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3] ÷ 3
∴ 64 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
= 2³ × 2³
હવે, 64 એ પૂર્ણઘન સંખ્યા છે.
આમ, 192ને નાનામાં નાની સંખ્યા ૩ વડે ભાગતાં તે પૂર્ણઘન બને.

પ્રશ્ન (v).
704
ઉત્તરઃ
704
\(\begin{array}{l|l}
2 & 704 \\
\hline 2 & 352 \\
\hline 2 & 176 \\
\hline 2 & 88 \\
\hline 2 & 44 \\
\hline 2 & 22 \\
\hline 11 & 11 \\
\hline & 1
\end{array}\)
704 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 11
અહીં 704ના અવિભાજ્ય અવયવોની ત્રણ-ત્રણની જોડ બનાવતાં 11 બાકી રહે છે.
∴ 704 એ પૂર્ણઘન સંખ્યા નથી.
હવે, [704] ÷ 11 = [2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 11] ÷ 11
∴ 64 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
= 2³ × 2³
હવે, 64 એ પૂર્ણઘન સંખ્યા છે.
આમ, 704ને નાનામાં નાની સંખ્યા 11 વડે ભાગતાં તે પૂર્ણઘન બને.

4. પરિક્ષિતે 5 સેમી, 2 સેમી, 5 સેમી માપ લઈ એક પ્લાસ્ટિકનો લંબઘન બનાવ્યો છે, તો આવા કેટલા લંબઘન સાથે રાખવાથી મળતો ઘન એ પૂર્ણઘન હોય?
ઉત્તરઃ
પરિક્ષિતે પ્લાસ્ટિકનો લંબઘન બનાવ્યો છે.
લંબઘનની બાજુની લંબાઈ 5 સેમી, પહોળાઈ 2 સેમી અને ઊંચાઈ 5 સેમી છે,
∴ લંબઘનનું ઘનફળ = લંબાઈ × પહોળાઈ × ઊંચાઈ
= 5 સેમી × 2 સેમી × 5 સેમી
આ લંબઘનને ગોઠવીને તેમાંથી સમઘન રૂપ બનાવવું છે.
∴ લંબઘનની બાજુઓનાં માપની ત્રણ-ત્રણની જોડ બનવી જોઈએ.
∴ સમઘનનું જરૂરી ઘનફળ = [5 સેમી × 2 સેમી × 5 સેમી] × 5 સેમી × 2 સેમી × 2 સેમી
= [5³ × 2³] સેમી³
આમ, પરિક્ષિતને 5 × 2 × 2 = 20 બીજા લંબઘનની જરૂર પડશે.