GSEB Class 10 Maths Notes Chapter 14 આંકડાશાસ્ત્ર

This GSEB Class 10 Maths Notes Chapter 14 આંકડાશાસ્ત્ર covers all the important topics and concepts as mentioned in the chapter.

આંકડાશાસ્ત્ર Class 10 GSEB Notes

→ પ્રાસ્તાવિક : આપણે ધોરણ IXમાં આપેલી માહિતીનું અવર્ગીકૃત તેમજ વગત આવૃત્તિ-વિતરણોમાં વર્ગીકરણ કરવાનો અભ્યાસ કર્યો હતો. આ ઉપરાંત માહિતીને વિવિધ સચિત્ર આલેખો જેવા કે લંબાલેખો, ખંભાલેખો (જેમની પહોળાઈ બદલાતી હોય તેવા ખંભાલેખો સહિત) અને આવૃત્તિ બહુકોણોને ચિત્રાત્મક રીતે દર્શાવવાનો પણ અભ્યાસ કર્યો હતો. વાસ્તવમાં, આપણે અવર્ગીકૃત માહિતીના સંખ્યાત્મક પ્રતિનિધિ સ્વરૂપે મધ્યક (Mean), 4844241 (Median) 24 Olyats (Mode) gal મધ્યવર્તી સ્થિતિનાં માપોનો અભ્યાસ કરીને એક ડગલું આગળ વિધ્યા હતા.

→ આ પ્રકરણમાં આપણે આ માપો મધ્યક, મધ્યસ્થ અને બહુલકનો અભ્યાસ અવર્ગીકૃત માહિતી પરથી વર્ગીકૃત માહિતી સુધી વિસ્તૃત કરીશું. આપણે સંચયી આવૃત્તિ અને સંચમી આવૃત્તિ-વિતરણની સંકલ્પનાની પણ ચર્ચા કરીશું. વળી સંચમી આવૃત્તિવકો (Ogives) કેવી રીતે દોરવા, તે શીખીશું.

→ વર્ગીકૃત માહિતીનો મધ્યક અવર્ગીકૃત માહિતીનો મધ્યકઃ આપેલ માહિતીનાં બધાં જ અવલોકનોની કિંમતના સરવાળાને અવલોકનોની કુલ સંખ્યા વડે ભાગતાં જે કિંમત મળે તેને આપેલ અવલોકનોનો મધ્યક અથવા સરેરાશ કહે છે. જો આપેલ n અવલોકનો x₁, x₂,, x₃, …, x_n, હોય, તો તેમનો મધ્યક x̄ નીચેના સૂત્ર પરથી મળે :

→ મધ્યક x̄ = \(\frac{\Sigma x_{i}}{n}\), જ્યાં Σx = x₁ + x₂ + x₃ + … + x_n: સંકેત Σ (સીગ્મા) એ ગ્રીક મૂળાક્ષર છે અને તેનો અર્થ “સરવાળો’ થાય છે.

→ જો માહિતીના ચલની કિંમતો x₁, x₂,, x₃, …, x_n ની આવૃત્તિઓ અનુક્રમે ,f₁, f₂,, f₃, …, f_n, હોય, તો માહિતીનો મધ્યક નીચેના સૂત્ર પરથી મળેઃ

આ સૂત્રને ટૂંકમાં x̄ = \(\frac{\Sigma f_{i} x_{i}}{\Sigma f_{i}}\) તરીકે પણ લખાય છે, જ્યાં માની લેવામાં આવે છે કે તેની કિંમત 1થી 1 સુધીની છે.

→ વર્ગીકૃત માહિતીનો મધ્યકઃ વર્ગીકૃત માહિતીમાં માહિતીને વગોંમાં વહેંચવામાં આવે છે અને તે દરેક વર્ગની અનુરૂપ આવૃત્તિ આપેલ હોય છે. વગ બે પ્રકારના હોય છે :

• સતત વર્ગો, જેમાં ઊર્ધ્વસીમાનો સમાવેશ થતો નથી,
  દા. ત., 0 – 10, 10 -20, 20 – 30, …
• અસતત વર્ગો, જેમાં ઊર્ધ્વસીમાનો સમાવેશ થાય છે.
  દા. ત., 1- 10, 11-20, 21 – 30, …

→ વર્ગલંબાઈ : કોઈ પણ વર્ગના ઊર્ધ્વસીમાબિંદુ અને અધઃસીમાબિંદુના તફાવતને તે વર્ગની વર્ગલંબાઈ કહે છે. અસતત વર્ગ માટે, આપેલ વર્ગની ઊર્ધ્વસીમા અને તે પછીના વર્ગની અધઃસીમાની સરેરાશ દ્વારા આપેલ વર્ગનું ઊર્ધ્વસીમાબિંદુ અને તે પછીના વર્ગનું અધઃસીમાબિંદુ મળે છે.

→ વર્ગની મધ્યકિંમત: આપેલ વર્ગની ઊર્ધ્વસીમા અને અધઃસીમાની સરેરાશને આપેલ વર્ગની મધ્યકિંમત કહે છે.

જ્યાં, 1 = 1, 2, 3,.. k (k કુલ વર્ગોની સંખ્યા છે.)

→ મધ્યકિંમત અંગેની ધારણા : આપણે એવું માની લઈએ છીએ કે દરેક વર્ગ-અંતરાલની આવૃત્તિ તેની મધ્યકિંમતની આસપાસ કેન્દ્રિત થાય છે. તેથી પ્રત્યેક વર્ગની મધ્યકિંમતને વર્ગમાં આવતાં
અવલોકનોને દર્શાવવા માટે પસંદ કરી શકાય.

→ વર્ગીકૃત માહિતીના મધ્યકનાં સૂત્રોઃ
(1) સીધી રીત (પ્રત્યક્ષ રીત) (Direct Method)ઃ

જ્યાં, x̄ = મધ્યક
f_i = મા વર્ગની આવૃત્તિ (i = 1થી k)
x_i = મા વર્ગની મધ્યકિંમત (i = 1થી ).
Σf_i = n = કુલ આવૃત્તિ

(2) ધારી લીધેલ મધ્યક(Assumed Mean)ની રીત (ધારેલ મધ્યકની રીત) :
x̄ = a + \(\frac{\Sigma f_{i} d_{i}}{\Sigma f_{i}}\)
જ્યાં, x̄ = મધ્યક
a = ધારેલ મધ્યક કે જે કોઈ પણ શૂન્યતર કિંમત હોઈ શકે, પરંતુ સગવડ ખાતર કોઈ એક x_iની કિંમત
d_i = x_i – a, પ્રત્યેક તું માટે
f_i = મા વર્ગની આવૃત્તિ
Σf_i = n = કુલ આવૃત્તિ

(3) પદ-વિચલનની રીત (Step Deviation Method) :
જ્યારે વર્ગલંબાઈ સમાન હોય ત્યારે પદ-વિચલનની રીત માટે,
x = a + \(\frac{\Sigma f_{i} u_{i}}{\Sigma f_{i}}\) × h
જ્યાં, x̄ = મધ્યક
a = ધારેલ મધ્યક
h = સમાન વર્ગલંબાઈ
પ_i = \(\frac{x_{i}-a}{h}\) પ્રત્યેક i માટે
f_i = માં વર્ગની આવૃત્તિ
Σf_i = n = કુલ આવૃત્તિ

→ મધ્યક શોધવાની ત્રણ રીત માટે : જો બધા જ d, વચ્ચે કોઈ સામાન્ય અવયવ હોય, તો પદ વિચલનની રીત સરળ પડે.

→ ત્રણેય રીતથી મેળવેલ મધ્યકની કિંમત સમાન હોય છે.

→ ધારી લીધેલ મધ્યકની રીત તથા પદ-વિચલનની રીત, એ બંને સીધી રીતના સરળ સ્વરૂપ છે.

→ a અને ની કોઈ પણ કિંમત લઈને u_i = \(\frac{x_{i}-a}{h}\) લેવામાં આવે, તો x̄ = a + hū હંમેશાં સાચું જ છે.

નોંધઃ ત્રણેય રીતથી મેળવેલ મધ્યકની કિંમત સમાન હોવાથી, કઈ રીતે પસંદ કરવી તેનો આધાર માહિતીમાં રહેલ ચલની કિંમતો તથા તેની આવૃત્તિઓની કિંમતો પર આધારિત છે. જો x અને ઈની કિંમતો નાની હોય, તો સીધી રીતનો ઉપયોગ સહેલાઈથી કરી શકાય. પરંતુ, જો , અને f; પૈકી ઓછામાં ઓછા એકની કિંમતો મોટી હોય, તો ધારી લીધેલ મધ્યકની રીત અથવા પદ-વિચલનની રીત સરળ પડે. જો વર્ગલંબાઈ અસમાન હોય અને x અને ની કિંમતો મોટી હોય, તો તે સંજોગોમાં પણ પદ-વિચલનની રીતનો ઉપયોગ થઈ શકે.

→ વર્ગીકૃત માહિતીનો બહુલક : અવર્ગીકૃત માહિતીનો બહુલક અવર્ગીકૃત માહિતીમાં સૌથી વધુ વખત પુનરાવર્તન પામતા અવલોકનને બહુલક કહે છે, એટલે કે મહત્તમ આવૃત્તિ ધરાવતા અવલોકનને બહુલક કહે છે.

→ બહુ-બહુલકીય માહિતી એવું શક્ય છે કે એક કરતાં વધારે મૂલ્યને સમાન મહત્તમ આવૃત્તિ હોય. આવી પરિસ્થિતિમાં માહિતીને બહુ-બહુલકીય માહિતી કહે છે. વર્ગીકૃત માહિતી પણ બહુ-બહુલકીય હોઈ શકે છે, પરંતુ આપણે વર્ગીકૃત માહિતીમાં ફક્ત એક જ બહુલક હોય તેવા પ્રશ્નોનો અભ્યાસ કરીશું.

→ વર્ગીકૃત માહિતીનો બહુલકઃ વર્ગીકૃત આવૃત્તિ-વિતરણમાં આવૃત્તિની માહિતી જોતાં જ બહુલક શોધવો શક્ય નથી. અહીં આપણે કેવળ મહત્તમ આવૃત્તિવાળા વર્ગને ઓળખી શકીએ. તેને ‘બહુલક વર્ગ (Modal class) કહેવાય છે. બહુલક એ બહુલક વર્ગમાં આવેલું એક મૂલ્ય છે અને તે નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે :
બહુલક Z = l + \(\left(\frac{f_{1}-f_{0}}{2 f_{1}-f_{0}-f_{2}}\right)\) × h
જ્યાં, l = બહુલક વર્ગની અધઃસીમાં
h = વર્ગ-અંતરાલની લંબાઈ (બધા વર્ગની લંબાઈ સમાન છે એમ માનીને)
f₁ = બહુલક વર્ગની આવૃત્તિ
f₀ = બહુલક વર્ગની આગળના વર્ગની આવૃત્તિ
f₂ = બહુલક વર્ગની પાછળના વર્ગની આવૃત્તિ
ઉપરોક્ત સૂત્રના ઉપયોગ માટે વર્ગો સતત પ્રકારના હોય તે જરૂરી છે. જો વર્ગો અસતત હોય, તો તેને પહેલાં સતત વર્ગોમાં ફેરવવામાં આવે છે. વળી, બધા જ વર્ગની લંબાઈ સમાન ન હોય, તોપણ બહુલક શોધી શકાય છે, પરંતુ આપણે તેનો અભ્યાસ કરવાનો નથી.

નોંધઃ જો આપેલ આવૃત્તિ-વિતરણમાં મહત્તમ આવૃત્તિ ધરાવતો વર્ગ, એટલે કે બહુલક વર્ગ, એ પ્રથમ અથવા અંતિમ વર્ગ હોય, તો પ્રથમ વર્ગની આગળના કલ્પિત વર્ગની અથવા અંતિમ વર્ગની પાછળના કલ્પિત વર્ગની આવૃત્તિ શૂન્ય લેવામાં આવે છે.

→ વર્ગીકૃત માહિતીનો મધ્યસ્થ : અવર્ગીકૃત માહિતીનો મધ્યસ્થ માહિતીનાં અવલોકનોને ચડતા અથવા ઊતરતા ક્રમમાં ગોઠવતાં, જે અવલોકન મધ્યમાં આવે તે અવલોકનને મધ્યસ્થ કહે છે.

→ જો અવલોકનોની સંખ્યા અયુગ્મ હોય, તો મધ્યસ્થ M = \(\frac{n+1}{2}\) મું અવલોકન.

→ જો અવલોકનોની સંખ્યા યુગ્મ હોય, તો અવલોકન

→ અવર્ગીકૃતમાહિતીમાં સંચયી આવૃત્તિ અવર્ગીકૃત માહિતીમાં કોઈ આપેલ અવલોકનની આવૃત્તિ તથા તે અવલોકનથી નાના બધા જ અવલોકનોની આવૃત્તિના સરવાળાને આપેલ અવલોકનની થી ઓછા’ પ્રકારની સંચયી આવૃત્તિ કહે છે. તે જ રીતે, આપેલ અવલોકનની આવૃત્તિ તથા તે અવલોકનથી મોટા બધા જ અવલોકનોની આવૃત્તિના સરવાળાને “થી વધુ પ્રકારની સંચમી આવૃત્તિ કહે છે.

→ વર્ગીકૃત માહિતીમાં સંચમી આવૃત્તિ વર્ગીકૃત માહિતીમાં કોઈ પણ આપેલ વર્ગની આવૃત્તિ તથા તે વર્ગની આગળના તમામ વર્ગોની આવૃત્તિના સરવાળાને આપેલ વર્ગની ઊર્ધ્વસીમાથી ઓછા પ્રકારની સંચયી આવૃત્તિ કહે છે. તે જ રીતે, કોઈ પણ આપેલ વર્ગની આવૃત્તિ તથા તે વર્ગની પછીના તમામ વર્ગોની આવૃત્તિના સરવાળાને આપેલ વર્ગની અધઃસીમાથી વધુ પ્રકારની સંચયી આવૃત્તિ કહે છે.

→ ઉદાહરણ તરીકે, આપણે નીચેના આવૃત્તિ-વિતરણ માટે બંને પ્રકારના સંચયી આવૃત્તિ-વિતરણ તૈયાર કરીએ :

→ વર્ગીકૃત માહિતીનો મધ્યસ્થ વર્ગીકૃત માહિતીમાં જે વર્ગની થી ઓછા’ પ્રકારની સંચમી આવૃત્તિ \(\frac{n}{2}\) (કુલ અવલોકનોની સંખ્યા 2) કરતાં મોટી અને \(\frac{n}{2}\)ની સૌથી નજીક હોય \(\frac{n}{2}\) વર્ગને મધ્યસ્થ વર્ગ કહેવાય છે. \(\frac{n}{2}\) કરતાં મોટી અને તેની સૌથી નજીક એટલે \(\frac{n}{2}\) કરતાં મોટી સંચયી આવૃત્તિઓ પૈકીની સૌથી નાની સંચયી આવૃત્તિ.

→ વર્ગીકૃત માહિતીનો મધ્યસ્થ નીચેના સૂત્રથી મળે છે :
મધ્યસ્થ M = l + \(\frac{\left(\frac{n}{2}-c f\right)}{f}\) × h
જ્યાં l = મધ્યસ્થ વર્ગની અધઃસીમાં
n = અવલોકનોની કુલ સંખ્યા
cf = મધ્યસ્થ વર્ગની આગળના વર્ગની સંચમી આવૃત્તિ
f = મધ્યસ્થ વર્ગની આવૃત્તિ
h = વર્ગલંબાઈ (બધા વર્ગની લંબાઈ સમાન છે એમ માનીને)
ઉપરોક્ત સૂત્રના ઉપયોગ માટે વર્ગો સતત પ્રકારના હોય તે જરૂરી છે.

નોંધઃ મધ્યસ્થ શોધવા માટે સામાન્યતઃ “થી ઓછા’ પ્રકારનું સંચયી આવૃત્તિ-વિતરણ બનાવવામાં આવે છે.

→ મધ્યવર્તી સ્થિતિમાનના ત્રણ માપો વચ્ચેનો પ્રયોગમૂલક
સંબંધઃ મધ્યવર્તી સ્થિતિમાનના ત્રણ માપો – મધ્યક, મધ્યસ્થ અને બહુલક – વચ્ચેનો પ્રયોગમૂલક સંબંધ નીચે પ્રમાણે છે :
3 × મધ્યસ્થ = બહુલક + 2 = મધ્યક અથવા
બહુલક = 3 × મધ્યસ્થ – 2 × મધ્યક અથવા
બહુલક – મધ્યસ્થ = 2 (મધ્યસ્થ – મધ્યક)

→ બધા જ વર્ગની લંબાઈ સમાન ન હોય, તોપણ મધ્યસ્થ શોધી શકાય છે, પરંતુ આપણે તેનો અભ્યાસ કરવાનો નથી.

→ મધ્યવર્તી સ્થિતિમાનના માપોની અનુકૂળતા મધ્યવર્તી સ્થિતિમાનના ત્રણ માપ – મધ્યક, મધ્યસ્થ અને બહુલક – પૈકી ચોક્કસ જરૂરિયાત મુજબ કોઈ એક માપ બાકીનાં બે માપો કરતાં વધુ અનુકૂળ અને યથાર્થ રહે છે. મધ્યક એ સૌથી વધુ વખત ઉપયોગમાં લેવાતું મધ્યવર્તી સ્થિતિમાનનું માપ છે, કારણ કે તે તમામ અવલોકનોને ગણતરીમાં લે છે અને સંપૂર્ણ માહિતીના સૌથી મોટા અને સૌથી નાના અવલોકનોની સીમાઓની વચ્ચે રહે છે. તે આપણને બે કે તેથી વધુ વિતરણોની સરખામણી કરવા માટેનું સામર્થ્ય આપે છે. ઉદાહરણ તરીકે, એક ચોક્કસ પરીક્ષાના જુદી જુદી શાળાઓના વિદ્યાર્થીઓના પરિણામના મધ્યકની સરખામણી કરવાથી, આપણે તારવી શકીએ કે કઈ શાળાની કામગીરી વધુ સારી છે.

→ જોકે, માહિતીમાં તદ્દન છેડાની કિંમતો મધ્યકને અસર કરે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જ્યાં વર્ગોની આવૃત્તિ લગભગ એકસરખી હોય ત્યારે વગનો મધ્યક, માહિતીનું સારું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. પરંતુ, જો એક વર્ગની આવૃત્તિ 2 હોય અને બીજા પાંચની આવૃત્તિઓ 20, 25, 20, 21, 18 હોય તો માહિતી જે રીતે વર્તે છે તેને મધ્યક સારી રીતે પ્રતિબિંબિત નહીં કરે. તેથી આવી પરિસ્થિતિમાં મધ્યક, માહિતીનું સારી રીતે પ્રતિનિધિત્વ કરતો નથી.

→ જેમાં વ્યક્તિગત અવલોકનો મહત્ત્વનાં નથી તેવા પ્રશ્નો અંગે આપણે ઇચ્છીએ કે નમૂનારૂપ’ અવલોકન શોધી કાઢીએ ત્યારે મધ્યસ્થ વધારે યોગ્ય છે. ઉદાહરણ તરીકે, કામદારોનો નમૂનારૂપ ઉત્પાદન દર શોધવો, દેશમાં સરેરાશ વેતન, વગેરે. આ પ્રકારની પરિસ્થિતિઓમાં તદન છેડાનાં મૂલ્યો પણ હોઈ શકે. તેથી મધ્યકને લેવા કરતાં આપણે મધ્યસ્થને વધુ સારા મધ્યવર્તી સ્થિતિમાનના માપ તરીકે લઈએ છીએ.

→ જે પરિસ્થિતિઓમાં સૌથી વધુ વખત આવતું મૂલ્ય અથવા સૌથી લોકપ્રિય વસ્તુને સ્થાપિત કરવાની જરૂર છે તે સ્થિતિમાં બહુલક શ્રેષ્ઠ વિકલ્પ છે. ઉદાહરણ તરીકે, સૌથી વધુ જોવાતો લોકપ્રિય ટીવી કાર્યક્રમ, સૌથી વધુ માંગવાળી ઉપભોક્તા વસ્તુ, સૌથી વધુ લોકો દ્વારા ઉપયોગમાં લેવાતો વાહનનો રંગ વગેરે.

→ સંચયી આવૃત્તિ-વિતરણની આલેખીય પ્રસ્તુતિઃ સંચયી આવૃત્તિ-વિતરણની આલેખીય પ્રસ્તુતિને સંચયી આવૃત્તિ વક્ર અથવા ઓજાઈવ (અથવા ઓજીવ) (Ogive) કહે છે.

→ “થી ઓછા’ પ્રકારનો સંચયી આવૃત્તિવક્રઃ ‘થી ઓછા’ પ્રકારનો સંચમી આવૃત્તિવક્ર દોરવા માટે 1-અક્ષ પર વર્ગની ઊર્ધ્વસીમાઓ તથા પ-અક્ષ પર વર્ગની સંચયી આવૃત્તિ દર્શાવવામાં આવે છે. દરેક વર્ગ માટે, તેની ઊર્ધ્વસીમા અને સંચયી આવૃત્તિને અનુરૂપ બિંદુનું નિરૂપણ કરવામાં આવે છે. ત્યારબાદ, આ બધાં જ બિંદુઓને મુક્તહસ્ત (સરળ) સળંગ વક્ર દ્વારા જોડવાથી થી ઓછા’ પ્રકારનો સંચયી આવૃત્તિવક્ર મળે છે. & થી વધુ પ્રકારનો સંચયી આવૃત્તિવક્ર:

→ “થી વધુ પ્રકારનો સંચયી આવૃત્તિવક્ર દોરવા માટે x-અક્ષ પર વર્ગની અધઃસીમાઓ તથા પુ-અક્ષ પર વર્ગની સંચયી આવૃત્તિ દર્શાવવામાં આવે છે. દરેક વર્ગ માટે, તેની અધઃસીમાં અને સંચમી આવૃત્તિને અનુરૂપ બિંદુનું નિરૂપણ કરવામાં આવે છે. ત્યારબાદ, આ બધાં જ બિંદુઓને મુક્તહસ્ત સળંગ વક્ર દ્વારા જોડવાથી “થી વધુ પ્રકારનો સંચયી આવૃત્તિવક મળે છે.

→ સંચયી આવૃત્તિવક્ર અને મધ્યસ્થનો સંબંધ બંને પ્રકારના સંચયી આવૃત્તિવક્ર પરથી મધ્યસ્થ મેળવવા માટે \(\frac{n}{2}\)ને સંગત હોય તેવું બિંદુ પુ-અક્ષ પર લઈ તેમાંથી x-અક્ષને સમાંતર રેખા દોરવામાં આવે છે. આ રેખા આપેલ ઓજાઈવને જે બિંદુમાં છેદે તે બિંદુમાંથી પુ-અક્ષને સમાંતર રેખા દોરવામાં આવે છે. આ બીજી રેખા x-અક્ષને જે બિંદુમાં છેદે તે બિંદુનો xયામ મધ્યસ્થની કિંમત આપે છે. સ્વાભાવિક છે કે, બિંદુ -અક્ષ ઉપર હોવાથી તેનો પુનયામ શૂન્ય જ હોય. જ્યારે બંને પ્રકારના ઓજાઈવ એક જ આલેખપત્ર પર દોરવામાં આવે, ત્યારે બંને ઓજાઈવ એકબીજાને જે બિંદુમાં છેદે તે બિંદુનો xયામ મધ્યસ્થની કિંમત દર્શાવે છે.

→ નોંધઃ કોઈ પણ પ્રકારનો ઓજાઈવ દોરવા માટે આવૃત્તિ-વિતરણના વગ સતત પ્રકારના હોય તે આવશ્યક છે. જો વર્ગો અસતત પ્રકારના હોય, તો તેઓને સતત પ્રકારમાં પરિવર્તિત કરવા પડે.

→ વર્ગીકૃત માહિતીનો મધ્યક નીચેનાં સૂત્રો દ્વારા મેળવી શકાય:

• પ્રત્યક્ષ રીત x̄ = \(\frac{\sum f_{i} x_{i}}{\sum f_{i}}\)
• ધારેલ મથકની રીત : x̄ = a + \(\frac{\sum f_{i} d_{i}}{\sum f_{i}}\)
• પદ-વિચલનની રીત x̄ = a + (\(\frac{\sum f_{i} u_{i}}{\sum f_{i}}\)) × h

અહીં, વર્ગની આવૃત્તિ તેના મધ્યબિંદુએ કેન્દ્રિત છે એવી ધારણા લીધી છે. આ મધ્યબિંદુને વર્ગની મધ્યકિંમત કહે છે.

→ વર્ગીકૃત માહિતીનો બહુલક,
બહુલક = l + \(\left(\frac{f_{1}-f_{0}}{2 f_{1}-f_{0}-f_{2}}\right)\) × h
સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે, સંકેતોના પ્રચલિત અથ છે.

→ જેને આપેલ વર્ગથી અગાઉના બધા વર્ગોની આવૃત્તિઓનો સરવાળો કરીને મેળવાય છે એવી આવૃત્તિ સંચમી આવૃત્તિ છે.

→ વર્ગીકૃત માહિતીનો મધ્યસ્થ,
મધ્યસ્થ = l + \(\left(\frac{\frac{n}{2}-c f}{f}\right)\) × h
સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને મેળવી શકાય છે. સંકેતોને તેમના પ્રચલિત અર્થો છે.

→ સંચયી આવૃત્તિ-વિતરણને આલેખીય સ્વરૂપે સંચમી આવૃત્તિવક્ર અથવા ‘થી ઓછા’ પ્રકારના અને “થી વધુ પ્રકારના ઓજાઈવ દ્વારા દર્શાવી શકાય છે.

→ વર્ગીકૃત માહિતીના મધ્યસ્થને આલેખ દ્વારા, આ માહિતીઓના બે ઓજાઈવના છેદબિંદુના x-યામ તરીકે મેળવી શકાય છે.

→ 3 મધ્યસ્થ = બહુલક + 2 × મધ્યક અથવા
બહુલક = 3 × મધ્યસ્થ – 2 × મધ્યક અથવા
બહુલક-મધ્યસ્થ = 2 × (મધ્યસ્થ – મધ્યક)

→ વર્ગીકૃત માહિતીના બહુલક અને મધ્યસ્થની ગણતરી કરવા માટે સૂત્રોના ઉપયોગ કરતાં પહેલાં તે સુનિશ્ચિત કરી લેવું જોઈએ કે વર્ગ-અંતરાલો સતત છે. આ જ શરત ઓજાઈવની રચના માટે પણ લાગુ પડે છે. વધુમાં, ઓજાઈવના કિસ્સામાં, બંને અક્ષો પર માપ અસમાન પણ હોઈ શકે.