GSEB Solutions Class 10 Maths Chapter 1 વાસ્તવિક સંખ્યાઓ Ex 1.1

Gujarat Board GSEB Solutions Class 10 Maths Chapter 1 વાસ્તવિક સંખ્યાઓ Ex 1.1 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 10 Maths Chapter 1 વાસ્તવિક સંખ્યાઓ Ex 1.1

પ્રશ્ન 1.
યુક્લિડની ભાગપ્રવિધિનો ઉપયોગ કરી ગુ.સા.અ. શોધોઃ
(1) 135 અને 225
ઉત્તરઃ
135 અને 225
અહીં, 225 > 135
∴ 225 = 135 × 1 + 90
શેષ ≠ ૦ હોવાથી આપણે 135 અને 90 પર
ભાગપ્રવિધિનો ઉપયોગ કરીશું.
135 = 90 × 1 + 45
શેષ ≠ 0 હોવાથી આપણે 90 અને 45 પર ભાગપ્રવિધિનો હું ઉપયોગ કરીશું.
90 = 45 × 2 + 0
હવે, શેષ = 0 હોવાથી ભાજક 45 એ માગેલ ગુ.સા.અ. છે.
આમ, ગુ.સા.અ. (185, 225) = 45.

(2) 196 અને 38220
ઉત્તરઃ
196 અને 38220
અહીં, 38220 > 196
∴ 38220 = 196 × 195 + 0
હવે, શેષ = 0 હોવાથી ભાજક 196 એ માગેલ ગુ.સા.અ. છે.
આમ, ગુ.સા.અ. (196, 38220) = 196

(3) 867 અને 255
ઉત્તરઃ
867 અને 255
અહીં, 867 > 255
∴ 867 = 255 × 3 + 102
શેષ ≠ 0 હોવાથી આપણે 255 અને 102 પર ભાગપ્રવિધિનો ઉપયોગ કરીશું.
255 = 102 × 2 + 51
શેષ ≠ 0 હોવાથી આપણે 102 અને 51 પર ભાગપ્રવિધિનો ઉપયોગ કરીશું.
102 = 51 × 2 + 0
શેષ = 0 હોવાથી ભાજક 51 એ માગેલ ગુ.સા.અ. છે.
આમ, ગુ.સા.અ. (867, 255) = 51.

પ્રશ્ન 2.
દર્શાવો કે, કોઈ પણ અયુગ્મ ધન પૂર્ણાંક સંખ્યા કોઈક પૂર્ણાક : q માટે, 6q + 1 અથવા 6q + 3 અથવા 6q + 5 પ્રકારની હોઈ શકે.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, વ એ કોઈ અયુગ્મ ધન પૂર્ણાંક સંખ્યા છે અને b = 6.
હવે, યુક્લિડના ભાગાકારના પૂર્વપ્રમેય અનુસાર a = 6q + r,
જ્યાં q કોઈ પૂર્ણાક છે અને r = 0, 1, 2, 3, 4 અથવા 5, કારણ કે, 0 ≤ r ≤ 6.
માટે, વ = 6q અથવા n = 6q + 1 અથવા
a = 69 + 2 અથવા n = 6q + 3 અથવા
a = 6q + 4 અથવા n = 6q + 5.
પરંતુ, 6q, 6q + 2 અને 6q + 4 દરેક 2 વડે વિભાજ્ય છે અને a એ અયુગ્મ હોવાથી a = 6q અથવા a = 6q + 2 અથવા a = 6q + 4 શક્ય નથી.
આથી કોઈ પણ અયુગ્મ ધન પૂર્ણાંક સંખ્યા, કોઈક પૂર્ણક q માટે 6q + 1 અથવા 6q + 3 અથવા 6q + 5 પ્રકારની જ હોય.

પ્રશ્ન ૩.
એક લશ્કરનું 616 સભ્યોનું જૂથ લશ્કરના બૅન્ડના 32 સભ્યોની પાછળ કૂચ કરી રહ્યું છે. બંને જૂથ સમાન સંખ્યાના સ્તંભમાં કૂચ કરી રહ્યાં છે. તેઓ જે સ્તંભમાં કુચ કરી રહ્યા છે તેવા કોઈ પણ સ્તંભમાં મહત્તમ કેટલા સભ્યો હશે?
ઉત્તરઃ
આપેલ પ્રશ્નનો જવાબ આપવા આપણે 616 અને 32નો ગુ.સા.અ. શોધવો જોઈએ.
અહીં, 616 > 32
∴ 616 = 32 × 19 + 8
∴ 32 = 8 × 4 + 0.
આમ, ગુ.સા.અ. (616, 32) = 8
આમ, તેઓ જે સ્તંભમાં કૂચ કરી રહ્યાં છે તેવા કોઈ પણ સ્તંભમાં મહત્તમ 8 સભ્યો હશે.

પ્રશ્ન 4.
યુક્લિડના ભાગાકારના પૂર્વપ્રમેયનો ઉપયોગ કરી દર્શાવો કે, કોઈ પણ ધન પૂર્ણાકનો વર્ગ કોઈક પૂર્ણાક m માટે, 3m અથવા 3m + 1 સ્વરૂપમાં હોય.
[સૂચનઃ ધારો કે, કોઈ ધન પૂર્ણાક છે, તો તે 3q, 3q + 1 અથવા 3q + 2 સ્વરૂપમાં હોય. હવે, દરેકનો વર્ગ કરો અને દર્શાવો કે ફરીથી તેને 3m અથવા 3m + 1 સ્વરૂપમાં લખી શકાય.].
ઉત્તરઃ
ધારો કે, a કોઈ પણ ધન પૂર્ણાક છે અને b = 3.
હવે, યુક્લિડના ભાગાકારના પૂર્વપ્રમેય અનુસાર a = 3q અથવા a = 3q + 1 અથવા a = 34 + 2. જ્યાં, q કોઈ પૂણક છે.

(1) જો a = 3q, તો
a² = (3q)² = 9q² = 3(3q²) = 3m,
જ્યાં, m = 3q² કોઈ પૂણક છે.

(2) જો n = 3q + 1, તો
a² = (3q + 1)²
= 9q² + 6q + 1
= 3(3q² + 2q) + 1
= 3m + 1
જ્યાં, m = 3q²+ 2 કોઈ પૂર્ણાક છે.

(3) જો n = 3q + 2, તો
a² = (3q + 2)²
= 9q² + 12q + 4
= 9q² + 12q + 3 + 1
= 3(3q² + 4q + 1) + 1 = 3m + 1
જ્યાં, m = 3q² + 4q + 1 કોઈ પૂર્ણાક છે.
આમ, કોઈ પણ સંજોગોમાં, કોઈ પણ ધન પૂર્ણાકનો વર્ગ કોઈક પૂર્ણાક m માટે 3m અથવા 3m + 1 સ્વરૂપમાં હોય.

પ્રશ્ન 5.
યુક્લિડનું ભાગાકારનું પૂર્વપ્રમેય વાપરીને દર્શાવો કે, કોઈ પણ ધન પૂર્ણાકનો ઘન 9m, 9m + 1 અથવા 9m + 8 સ્વરૂપનો હોય.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, a કોઈ પણ ધન પૂર્ણાક છે અને b = 3. હવે, યુક્લિડના ભાગાકારના પૂર્વપ્રમેય અનુસાર વ = 3q અથવા = 3q + 1 અથવા n = 3q + 2. જ્યાં, q કોઈ પૂણક છે.

(1) જો Q = 3q, તો
a² = (3q)³ = 27q³ = 9 (3q³) = 9m
જ્યાં, m = 3q³ કોઈ પૂર્ણાક છે.

(2) જો વ = 3q + 1, તો
a³ = (3q + 1)³
= 27q³ + 27q² + 9q + 1
= 9 (3q³ + 3q² + q) + 1 = 9m + 1
જ્યાં, m = 3q³ + 3q² + q કોઈ પૂણક છે.

(3) જો n = 3q + 2, તો
a³ = (3q + 2)³
= 27q³ + 54q² + 36q + 8
= 9 (3q³ + 6q² + 4q) + 8 = 9m + 8
જ્યાં, m = 3q³ + 6q² + 4q કોઈ પૂર્ણાક છે.
આમ, કોઈ પણ સંજોગોમાં, કોઈ પણ ધન પૂણકનો ઘન 9m અથવા 9m + 1 અથવા 9m + 8 સ્વરૂપનો હોય.