GSEB Solutions Class 10 Maths Chapter 5 સમાંતર શ્રેણી Ex 5.1

Gujarat Board GSEB Solutions Class 10 Maths Chapter 5 સમાંતર શ્રેણી Ex 5.1 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 10 Maths Chapter 5 સમાંતર શ્રેણી Ex 5.1

પ્રશ્ન 1.
નીચે આપેલ સ્થિતિમાંથી કઈ સ્થિતિમાં સંખ્યાની યાદી સમાંતર શ્રેણી બને અને કેમ?
(i) ટેક્સીનું ભાડું, પ્રથમ કિલોમીટર માટે ₹ 15 અને પછીના વધારાના પ્રત્યેક કિલોમીટર માટે ₹ 8 છે.
(ii) નળાકારમાં રહેલ હવાનું પ્રમાણ, હવા કાઢવાના પંપ દ્વારા દર વખતે નળાકારની બાકી રહેલ હવાનો \(\frac{1}{4}\) ભાગ બહાર કાઢે છે.
(iii) પ્રત્યેક મીટરના ખોદકામ બાદ, એક કૂવો ખોદવા માટે લાગતો ખર્ચ, પ્રથમ મીટરના ₹ 150 અને પછીના પ્રત્યેક મીટરદીઠ ₹ 50 પ્રમાણે વધતો જાય છે.
(iv) 8% ના વાર્ષિક ચક્રવૃદ્ધિ દરથી શરૂઆતની રકમ ₹ 10000 મૂકેલ હોય તો દર વર્ષે ખાતામાં જમા રહેતી રકમ (રાશ).

ઉત્તરઃ
(i) અહીં, 1 કિમી માટેનું ભાડું = ₹ 15,
2 કિમી માટેનું ભાડું = ₹ 15 + ₹ 8 = 23,
3 કિમી માટેનું ભાડું = ₹ 15 + 2 (₹ 8) = ₹ 31,
4 કિમી માટેનું ભાડું = ₹ 15 + 3 (₹ 8) = 39,…
આમ, બનતી સંખ્યાઓની યાદી 15, 23, 31, 39, … છે.
અહીં, a₂ – a₁ = 23 – 15 = 8,
a₃ – a₂ = 31 – 23 = 8,
a₄ – a₃ = 39 – 31 = 8, ……
આમ, a_k+1 – a_k, હંમેશાં સમાન રહે છે. આથી આપેલ સંખ્યાઓની યાદી સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે, જેમાં a = 15 અને d = 8 છે.

(ii) ધારો કે, શરૂઆતમાં નળાકારમાં રહેલ હવાનું પ્રમાણ V એકમ છે.
તો પ્રથમ પ્રયત્ન બાદ નળાકારમાં બાકી રહેતી હવાનું પ્રમાણ = \(\frac{3}{4}\) V એકમ થાય.
વળી, દ્વિતીય પ્રયત્ન બાદ નળાકારમાં બાકી રહેતી હવાનું પ્રમાણ = \(\left(\frac{3}{4}\right)^{2}\) V
એકમ થાય. અહીં, સંખ્યાઓની યાદી નીચે પ્રમાણે બને;
V, \(\frac{3}{4}\) V, \(\left(\frac{3}{4}\right)^{2}\) V, ……..
હવે, a₂ – a₁ = \(\frac{3}{4}\) V – V = – \(\frac{1}{4}\) V

a₃ – a₂ = \(\left(\frac{3}{4}\right)^{2}\) V – \(\frac{3}{4}\) V

= V(\(\frac{9}{16}\) – \(\frac{3}{4}\))

= – \(\frac{3}{16}\) V
અહીં, a₂ – a₁ ≠ a₃ – a₂
આથી આપેલ સંખ્યાઓની યાદી સમાંતર શ્રેણી બનાવતી નથી.

(iii) પ્રથમ મીટરનો ખોદકામ ખર્ચ = ₹ 150,
દ્વિતીય મીટરનો ખોદકામ ખર્ચ = ₹ 150 + ₹ 50 = ₹ 200
તૃતીય મીટરનો ખોદકામ ખર્ચ = ₹ 200 + ₹ 50 = ₹ 250
ચતુર્થ મીટરનો ખોદકામ ખર્ચ = ₹ 250 + ₹ 50 = ₹ 300…….
અહીં, સંખ્યાઓની યાદી નીચે પ્રમાણે બને છે? 150, 200, 250, 300, …..
અહીં, a₂ – a₁ = 200 – 150 = 50,
a₃ – a₂ = 250 – 200 = 50,
a₄ – a₃ = 300 – 250 = 50, .
આમ, a_k+1 – a_k હંમેશાં સમાન રહે છે.
આથી આપેલ સંખ્યાઓની યાદી સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે, જેમાં a = 150 અને d = 50 છે.

(iv) ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ માટેનું સૂત્ર આપણે જાણીએ છીએ.

A = P \(\left(1+\frac{\mathrm{R}}{100}\right)^{\mathrm{T}}\)

અહીં, P = ₹ 10,000; R = 8 % અને T = 1, 2, 3, 4, ..
પહેલાં વર્ષના અંતે રાશ = ₹ 10000 (1.08),
બીજા વર્ષના અંતે રાશ = ₹ 10000 (1.08)²,
ત્રીજા વર્ષના અંતે રાશ = ₹ 10000 1.08)³, ……
અહીં, સંખ્યાઓની યાદી નીચે પ્રમાણે બને છે : 10000 (1.08), 10000 (1.08)², 10000 (1.08)³,
a₂ – a₁ = 10000 (1.08)² – 10000 (1.08)
= 10000 (1.08 (1.08 – 1)
= 10000 (1.08) (0.08)

a₃ – a₂ = 10000 (1.08)³ – 10000 (1.08)²
= 10000 (1.08)² (1.08 – 1)
= 10000 (1.08)² (0.08)
આમ, a₂ – a₁ ≠ a₃ – a₂
આથી આપેલ સંખ્યાઓની યાદી સમાંતર શ્રેણી બનાવતી નથી.

પ્રશ્ન 2.
જ્યારે પ્રથમ પદ વ અને સામાન્ય તફાવત d નાં મૂલ્યો નીચે પ્રમાણે હોય ત્યારે સમાંતર શ્રેણીનાં પ્રથમ ચાર પદ શોધો:
(i) a = 10, d = 10
(ii) a = – 2, d = 0
(iii) a = 4, d = – 3
(iv) a = -1, d = \(\frac{1}{2}\)
(v) a = – 1.25, d = – 0.25

ઉત્તરઃ
(1) a = 10, d = 10
પહેલું પદ = a = 10
+ d = 10 + 10 = 20
ત્રીજું પદ = બીજું પદ + d = 20 + 10 = 30
ચોથું પદ = ત્રીજું પદ + d = 30 + 10 = 40
આમ, સમાંતર શ્રેણીનાં માગેલ પહેલાં ચાર પદ 10, 20, 30, 40 છે.

(ii) a = – 2, d = 0
પહેલું પદ = a = – 2
બીજું પદ = પહેલું પદ + d = – 2 + 0 = – 2
ત્રીજું પદ = બીજું પદ + d = – 2 + 0 = – 2
ચોથું પદ = ત્રીજું પદ + d = – 2 + 0 = – 2
આમ, સમાંતર શ્રેણીનાં માગેલ પહેલાં ચાર પદ -2, -2, -2, -2 છે.

(iii) a = 4, d = – 3
પહેલું પદ = a = 4
બીજું પદ = પહેલું પદ + d = 4 + (- 3) = 1
ત્રીજું પદ = બીજું પદ + d = 1 + (–3) = – 2
ચોથું પદ = ત્રીજું પદ + d = (- 2) + (- 3) = – 5
આમ, સમાંતર શ્રેણીનાં માગેલ પહેલાં ચાર પદ 4, 1, 2, -5 છે.

(iv) a = – 1, d = \(\frac{1}{2}\)
પહેલું પદ = a = – 1
બીજું પદ = પહેલું પદ + d = – 1 + \(\frac{1}{2}\) = – \(\frac{1}{2}\)
ત્રીજું પદ = બીજું પદ + d = – \(\frac{1}{2}\) + \(\frac{1}{2}\) = 0
ચોથું પદ = ત્રીજું પદ + d = 0 + \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{1}{2}\)
આમ, સમાંતર શ્રેણીનાં માગેલ પહેલાં ચાર પદ -1, –\(\frac{1}{2}\), 0, \(\frac{1}{2}\) છે.

(v) a = – 1.25, d = – 0.25
પહેલું પદ = a =- 1.25
બીજું પદ = પહેલું પદ + d = – 1.25 + (- 0.25) = – 1.50
ત્રીજું પદ = પહેલું પદ + 2d = – 1.25 + 2 (-0.25) = – 1.75
ચોથું પદ = પહેલું પદ + 3d = – 1.25 + 3(-0.25) = – 2.00
આમ, સમાંતર શ્રેણીનાં માગેલ પહેલાં ચાર પદ – 1.25, – 1.50, – 1.75, – 2.00 છે.

પ્રશ્ન 3.
નીચે આપેલ સમાંતર શ્રેણી માટે પ્રથમ પદ અને સામાન્ય તફાવત શોધો:
(i) 3, 1, – 1, – 3, ..
(ii) – 5, – 1, 3, 7, …
(iii) \(\frac{1}{3}\), \(\frac{5}{3}\), \(\frac{9}{3}\), \(\frac{13}{3}\) ……..
(iv) 0.6, 17, 2.8, 3.9, …..
ઉત્તરઃ
(i) 3, 1, – 1, – 3, ……
પ્રથમ પદ a = 3
સામાન્ય તફાવત d = a₂ – a₁ = 1 – 3 = – 2

(ii) – 5, – 1, 3, 7, ……
પ્રથમ પદ a = – 5.
સામાન્ય તફાવત d = (- 1) – (- 5) = 4.

(iii) \(\frac{1}{3}\), \(\frac{5}{3}\), \(\frac{9}{3}\), \(\frac{13}{3}\)
પ્રથમ પદ a = \(\frac{1}{3}\)
સામાન્ય તફાવત d = \(\frac{5}{3}\) – \(\frac{1}{3}\) = \(\frac{4}{3}\)

(iv) 0.6, 1.7, 2.8, 3.9, …
પ્રથમ પદ a = 0.6
સામાન્ય તફાવત d = 1.7 – 0.6 = 1.1

પ્રશ્ન 4.
નીચેનામાંથી કઈ શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી છે? જો તે સમાંતર શ્રેણી બનાવે, તો સામાન્ય તફાવત તું અને પછીનાં ત્રણ પદ લખો.
(i) 2, 4, 8, 16, …
(ii) 2, \(\frac{5}{2}\), 3, \(\frac{7}{2}\), ……
(iii) – 1.2, – 3.2, – 5.2, -2, …..
(iv) – 10, – 6, -2, 2, …….
(v) 3, 3 + √ 2, 3 + 2√ 2, 3 + 3√ 2, ………..
(vi) 0.2, 0.22, 0.222, 0.2222, ………..
(vii) 0, – 4, – 8, – 12, ……..
(viii) – \(\frac{1}{2}\), – \(\frac{1}{2}\), – \(\frac{1}{2}\), – \(\frac{1}{2}\)
(ix) 1, 3, 9, 27, ……..
(x) a, 2a, 3a, 4a, …………
(xi) a, a², a³, a⁴, ……..
(xii) √2, √8, √18, √32, …….
(xiii) √3, √6, √9, √12, …….
(xiv) 1², 3², 5², 7², ………
(xv) 1², 5², 7², 73, ………..

(i) 2, 4, 8, 16, ………..
ઉત્તરઃ
a₂ – a₁ = 4 – 2 = 2,
a₃ – a₂ = 8 – 4 = 4,
a₄ – a₃= 16 – 8 = 8
અહીં, a₂ – a₁ ≠ a₃ – a₂
આથી આપેલ શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી નથી.

(ii) 2, \(\frac{5}{2}\), 3, \(\frac{7}{2}\), ……
ઉત્તરઃ
a₂ – a₁ = \(\frac{5}{2}\) – 3 = \(\frac{1}{2}\)
a₃ – a₂ = 3 – \(\frac{5}{2}\) = \(\frac{1}{2}\)
a₄ – a₃ = \(\frac{7}{2}\) – 3 = \(\frac{1}{2}\)
આમ, a_k+1 – a_k હંમેશાં સમાન રહે છે.
આથી આપેલ શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી છે, જેમાં d = \(\frac{1}{2}\).
પછીનાં ત્રણ પદ નીચે મુજબ મળે :
a₅ = \(\frac{7}{2}\) + \(\frac{1}{2}\) = 4,
a₆ = 4 + \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{9}{2}\) અને
a₇ = \(\frac{9}{2}\) + \(\frac{1}{2}\) = 5.

(iii) – 1.2, – 3.2, – 5.2, – 7.2, ………….
ઉત્તરઃ
a₂ – a₁ = – 3.2 – (- 1.2) = – 2,
a₃ – a₂ = – 5.2 – (- 3.2) = – 2,
a₄ – a₃ = – 7.2 – (- 5.2) = – 2
આમ, a_k+1 – a_k હંમેશાં સમાન રહે છે.
આથી આપેલ શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી છે, જેમાં d = – 2.
પછીનાં ત્રણ પદ નીચે મુજબ મળે:
a₅ = – 7.2 + (- 2) = – 9.2,
a₆ = – 9.2 + (- 2) = – 11.2 અને
a₇ = – 11.2 + (- 2) = – 13.2

(iv) – 10, – 6, – 2, 2, ……………
ઉત્તરઃ
a₂ – a₁ = (- 6) – (- 10) = 4,
a₃ – a₂ = (- 2) – ( 6) = 4,
a₄ – a₃ = (- 2 – (- 2) = 4
આમ, a_k+1 – a_k હંમેશાં સમાન રહે છે.
આથી આપેલ શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી છે, જેમાં d = 4.
પછીનાં ત્રણ પદ નીચે મુજબ મળે:
a₅ = 2 + 4 = 6,
a₆ = 6 + 4 = 10 અને
a₇ = 10 + 4 = 14.

(v) 3, 3 + √2, 3 + 2√2, 3 + 3√2 , …………..
ઉત્તરઃ
a₂ – a₁ = 3 + √2 – 3 = √2,
a₃ – a₂ = (3 + 2√2) – (3 + √2) = √2,
a₄ – a₃ = (3 + 3√2) – (3 + 2√2) = √2
આમ, a – a હંમેશાં સમાન રહે છે.
આથી આપેલ શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી છે, જેમાં d = √2.
પછીનાં ત્રણ પદ નીચે મુજબ મળેઃ
a₅ = (3 + 3√2) + √2 = 3 + 4√2,
a₆ = (3+ 4√2) + √2 = 3 + 5√2 અને
a₇ = (3 + 5√2) + √2 = 3 + 6√2

(vi) 0.2, 0.22, 0.222, 0.2222, …………
ઉત્તરઃ
a₂ – a₁ = 0.22 – 0.2 = 0.02,
a₃ – a₂ = 0.222 – 0.22 = 0.002
અહીં, a₂ – a₁ a₃ ≠ a₂
આથી આપેલ શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી નથી.

(vii) 0, – 4, – 8, – 12, ………….
ઉત્તરઃ
a₂ – a₁ = (- 4) – 0 = – 4,
a₃ – a₂ = (- 8) – (- 4) = – 4,
a₄ – a₃ = ( – 12) – (- 8) = – 4
આમ, a_k+1 – a_k હંમેશાં સમાન રહે છે.
આથી આપેલ શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી છે, જેમાં d = – 4.
પછીનાં ત્રણ પદ નીચે મુજબ મળે :
a₅ = (- 12) + (- 4) = -1 6,
a₆ = (- 16) + (- 4) = – 20 અને
a₇ = (- 20) + (- 4) =- 24.

(viii) – \(\frac{1}{2}\), – \(\frac{1}{2}\), – \(\frac{1}{2}\), – \(\frac{1}{2}\) ………….
ઉત્તરઃ
a₂ – a₁ = (- \(\frac{1}{2}\)) – (- \(\frac{1}{2}\)) = 0,
a₃ – a₂ = (- \(\frac{1}{2}\)) – (- \(\frac{1}{2}\)) = 0,
a₄ – a₃ = (- \(\frac{1}{2}\)) – (- \(\frac{1}{2}\)) = 0
આમ, a_k+1 – a_k હંમેશાં સમાન રહે છે.
આથી આપેલ શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી છે, જેમાં d = 0.
પછીનાં ત્રણ પદ નીચે મુજબ મળેઃ
a₅ = (- \(\frac{1}{2}\)) + 0 = – \(\frac{1}{2}\)
a₆ = (- \(\frac{1}{2}\)) + 0 = – \(\frac{1}{2}\) અને
a₇ = (- \(\frac{1}{2}\)) + 0 = – \(\frac{1}{2}\)

(ix) 1, 3, 9, 27, …………
ઉત્તરઃ
a₂ – a₁ = 3 – 1 = 2,
a₃ – a₂ = 9 – 3 = 6 અહીં,
a₂ – a₁ ≠ a₃– ₂
આથી આપેલ શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી નથી.

(x) a, 2a, 3a, 4a, ………..
ઉત્તરઃ
a₂ – a₁ = 2a – a = a,
a₃ – a₂ = 3a – 2a = a,
a₄ – a₃ = 4a – 3a = a
આમ, a_k+1 – a_k, હંમેશાં સમાન રહે છે.
આથી આપેલ શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી છે, જેમાં d = a.
પછીનાં ત્રણ પદ નીચે મુજબ મળે :
a₅ = 4a + a = 5a,
a₆ = 5a + a = 6a અને
a₇ = 6a + a = 7a

(xi) a, a², a³, a⁴, ……………..
ઉત્તરઃ
a₂ – a₁ = a² – a = a (a – 1),
a₃ – a₂ = a³ – a² = a²(a – 1)
અહીં, a₂ – a₁ a₃ – a₂
આથી આપેલ શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી નથી.

(xii) √2, √8, √18, √32, ………..
ઉત્તરઃ
આપણે જાણીએ છીએ કે, √8 = \(\)
√18 = \(\sqrt{9 \times 2}=3 \sqrt{2}\) અને
\(\sqrt{32}=\sqrt{16 \times 2}=4 \sqrt{2}\) .
આથી આપેલ શ્રેણી નીચે મુજબ બને:
√2, 2√2, 3√2, 4√2, ………..
a₂ – a₁ = 2√2 – √2 = 8,
a₃ – a₂ = 1√2 – 2√2 = 2,
a₄ – a₃ = 4√2 – 3√2 = 2
આમ, a_k+1 – a_k હંમેશાં સમાન રહે છે.
આથી આપેલ શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી છે, જેમાં d = √2.
પછીનાં ત્રણ પદ નીચે મુજબ મળે:
a₅ = 42 + 2 = 5√2 = \(\sqrt{50}\)
a₆ = 5 2 + 2 = 6√2 = \(\sqrt{72}\) અને
a₇ = 62 + 2 = 7√2 = \(\sqrt{98}\).

(xiii) √3, √6, √9, √12, ………….
ઉત્તરઃ
a₂ – a₁ = √6 – √3 = √3 (√2 – 1),
a₃ – a₂ = √9 – √6 = √3 (√3 – √2)
અહીં, a₂ – a₁ ≠ a₃ – a₂
આથી આપેલ શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી નથી.

(xiv) 1², 3², 5², 7², …………
ઉત્તરઃ
a₂ – a₁ = 3² – 1² = 9 – 1 = 8,
a₃ – a₂ = 5² – 3² = 25 – 9 = 16
અહીં, a₂ – a₁ ≠ a₃ – a₂
આથી આપેલ શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી નથી.

(xv) 1², 5², 7², 73, ………
ઉત્તરઃ
a₂ – a₁ = 5² – 1² = 25 – 1 = 24,
a₃ – a₂ = 7² – 5² = 49 – 25 = 24,
a₄ – a₃ = 73 – 7² = 73 – 49 = 24
આમ, a_k+1 – a_k, હંમેશાં સમાન રહે છે.
આથી આપેલ શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી છે, જેમાં d = 24.
પછીનાં ત્રણ પદ નીચે મુજબ મળે :
a₅ = 73 + 24 = 97,
a₆ = 97 + 24 = 121 અને
a₇ = 121 + 24 = 145.