GSEB Solutions Class 8 Maths Chapter 6 વર્ગ અને વર્ગમૂળ Ex 6.3

Gujarat Board GSEB Solutions Class 8 Maths Chapter 6 વર્ગ અને વર્ગમૂળ Ex 6.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 8 Maths Chapter 6 વર્ગ અને વર્ગમૂળ Ex 6.3

1. નીચે આપેલ સંખ્યાઓના વર્ગમૂળમાં એકમનો અંક કયો હશે?

પ્રશ્ન (i).
9801
ઉત્તરઃ
9801ના વર્ગમૂળનો એકમનો અંક 1 અથવા 9 હોય.
કારણ: 1 × 1 = 1 અને 9 × 9 = 81

પ્રશ્ન (ii).
99956
ઉત્તરઃ
99856ના વર્ગમૂળનો એકમનો અંક 4 અથવા 6 હોય.
કારણ: 4 × 4 = 16 અને 6 × 6 = 36

પ્રશ્ન (iii).
998001
ઉત્તરઃ
998001ના વર્ગમૂળનો એકમનો અંક 1 અથવા 9 હોય.
કારણઃ 1 × 1 = 1 અને 9 × 9 = 81

પ્રશ્ન (iv).
657666025
ઉત્તરઃ
657666025ના વર્ગમૂળનો એકમનો અંક 5 હોય.
કારણ : 5 × 5 = 25

2. કોઈ પણ પ્રકારની ગણતરી કર્યા વિના જ જણાવો કે નીચેના પૈકી કઈ સંખ્યા પૂર્ણવર્ગ નથી?
(i) 153
(ii) 257
(iii) 408
(iv) 441
ઉત્તરઃ
[નોંધઃ જે સંખ્યાનો એકમનો અંક 0, 1, 4, 5, 6 અને 9 હોય, તે જ સંખ્યા પૂર્ણવર્ગ હોઈ શકે. આથી જે સંખ્યાનો એકમનો અંક 2, 3. 7 કે 8 હોય, તે કદાપિ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા ન હોય.]
(i) 153 : આ ચોક્કસ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા નથી. જુઓ એકમનો અંક 3 છે.
(ii) 257 : આ ચોક્કસ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા નથી. જુઓ એકમનો અંક 7 છે.
(ii) 408 : આ ચોક્કસ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા નથી. જુઓ એકમનો અંક 8 છે.
(iv) 441 : પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા હોઈ શકે. જુઓ એકમનો અંક 1 છે.
\(\sqrt{441}\) = 21 છે.

3. પુનરાવર્તિત બાદબાકીની રીતે 100 અને 169નું વર્ગમૂળ શોધો.

પ્રશ્ન (i).
100
ઉત્તરઃ
100 – 1 = 99
99 – 3 = 96
96 – 5 = 91
91 – 7 = 84
84 – 9 = 75
75 – 11 = 64
64 – 13 = 51
51 – 15 = 36
36 – 17 = 19
19 – 19 = 0
∴ 100 એ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા છે.
∴ \(\sqrt{100}\) = 10

પ્રશ્ન (ii).
169
ઉત્તરઃ
169 – 1 = 168
168 – 3 = 165
165 – 5 = 160
160 – 7 = 153
153 – 9 = 144
144 – 11 = 133
133 – 13 = 120
120 – 15 = 105
105 – 17 = 88
88 – 19 = 69
69 – 21 = 48
48 – 23 = 25
25 – 25 = 0
∴ 169 એ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા છે.
∴ \(\sqrt{169}\) = 13

4. નીચે આપેલી સંખ્યાઓનું વર્ગમૂળ અવિભાજ્ય અવયવીકરણની રીતે શોધોઃ

પ્રશ્ન (i).
729
ઉત્તરઃ
729
\(\begin{array}{l|r}
3 & 729 \\
\hline 3 & 243 \\
\hline 3 & 81 \\
\hline 3 & 27 \\
\hline 3 & 9 \\
\hline 3 & 3 \\
\hline & 1
\end{array}\)
729 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3
= 3² × 3² × 3²
∴ \(\sqrt{729}\) = 3 × 3 × 3
= 27

પ્રશ્ન (ii).
400
ઉત્તરઃ
400
\(\begin{array}{l|r}
2 & 400 \\
\hline 2 & 200 \\
\hline 2 & 100 \\
\hline 2 & 50 \\
\hline 5 & 25 \\
\hline 5 & 5 \\
\hline & 1
\end{array}\)
400 = 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 5
= 2² × 2² × 5²
∴ \(\sqrt{400}\) = 2 × 2 × 5
= 20

પ્રશ્ન (iii).
1764
ઉત્તરઃ
1764
\(\begin{array}{l|r}
2 & 1764 \\
\hline 2 & 882 \\
\hline 3 & 441 \\
\hline 3 & 147 \\
\hline 7 & 49 \\
\hline 7 & 7 \\
\hline & 1
\end{array}\)
1764 = 2 × 2 × 3 × 3 × 7 × 7
= 2² × 3² × 7²
∴ \(\sqrt{1764}\) = 2 × 3 × 7
= 42

પ્રશ્ન (iv).
4096
ઉત્તરઃ
4096
\(\begin{array}{l|r}
2 & 4096 \\
\hline 2 & 2048 \\
\hline 2 & 1024 \\
\hline 2 & 512 \\
\hline 2 & 256 \\
\hline 2 & 128 \\
\hline 2 & 64 \\
\hline 2 & 32 \\
\hline 2 & 16 \\
\hline 2 & 8 \\
\hline 2 & 4 \\
\hline 2 & 2 \\
\hline & 1
\end{array}\)
4096 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
= 2² × 2² × 2² × 2² × 2² × 2²
∴ \(\sqrt{4096}\) = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
= 64

પ્રશ્ન (v).
7744
ઉત્તરઃ
7744
\(\begin{array}{r|r}
2 & 7744 \\
\hline 2 & 3872 \\
\hline 2 & 1936 \\
\hline 2 & 968 \\
\hline 2 & 484 \\
\hline 2 & 242 \\
\hline 11 & 121 \\
\hline 11 & 11 \\
\hline & 1
\end{array}\)
7744 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 11 × 11
= 2² × 2² × 2² × 11²
∴ \(\sqrt{7744}\) = 2 × 2 × 2 × 11
= 88

પ્રશ્ન (vi).
9604
ઉત્તરઃ
9604
\(\begin{array}{l|r}
2 & 9604 \\
\hline 2 & 4802 \\
\hline 7 & 2401 \\
\hline 7 & 343 \\
\hline 7 & 49 \\
\hline 7 & 7 \\
\hline & 1
\end{array}\)
9604 = 2 × 2 × 7 × 7 × 7 × 7
= 2² × 7² × 7²
∴ \(\sqrt{9604}\) = 2 × 7 × 7
= 98

પ્રશ્ન (vii).
5929
ઉત્તરઃ
5929
\(\begin{array}{r|r}
7 & 5929 \\
\hline 7 & 847 \\
\hline 11 & 121 \\
\hline 11 & 11 \\
\hline & 1
\end{array}\)
5929 = 7 × 7 × 11 × 11
= 7² × 11²
∴ \(\sqrt{5929}\) = 7 × 11
= 77

પ્રશ્ન (viii).
9216
ઉત્તરઃ
9216
\(\begin{array}{l|r}
2 & 9216 \\
\hline 2 & 4608 \\
\hline 2 & 2304 \\
\hline 2 & 1152 \\
\hline 2 & 576 \\
\hline 2 & 288 \\
\hline 2 & 144 \\
\hline 2 & 72 \\
\hline 2 & 36 \\
\hline 2 & 18 \\
\hline 3 & 9 \\
\hline 3 & 3 \\
\hline & 1
\end{array}\)
9216 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3
= 2² × 2² × 2² × 2² × 2² × 3²
∴ \(\sqrt{9216}\) = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3
= 96

પ્રશ્ન (ix).
529
ઉત્તરઃ
529
\(\begin{array}{l|r}
23 & 529 \\
\hline 23 & 23 \\
\hline & 1
\end{array}\)
529 = 23 × 23
= 23²
∴ \(\sqrt{529}\) = 23

પ્રશ્ન (x).
8100
ઉત્તરઃ
8100
\(\begin{array}{l|r}
2 & 8100 \\
\hline 2 & 4050 \\
\hline 3 & 2025 \\
\hline 3 & 675 \\
\hline 3 & 225 \\
\hline 3 & 75 \\
\hline 5 & 25 \\
\hline 5 & 5 \\
\hline & 1
\end{array}\)
8100 =2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 5 × 5
= 2² × 3² × 3² × 5²
∴ \(\sqrt{8100}\) = 2 × 3 × 3 × 5
= 90

5. નીચે આપેલી દરેક સંખ્યા માટે નાનામાં નાની એવી સંખ્યા શોધો કે જેના વડે ગુણવાથી મળતી સંખ્યા પૂર્ણવર્ગ હોય. ઉપરાંત મળતી આ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યાનું વર્ગમૂળ પણ શોધો:

પ્રશ્ન (i).
252
ઉત્તરઃ
252
\(\begin{array}{l|r}
2 & 252 \\
\hline 2 & 126 \\
\hline 3 & 63 \\
\hline 3 & 21 \\
\hline 7 & 7 \\
\hline & 1
\end{array}\)
252 = 2 × 2 × 3 × 3 × 7
અહીં અવિભાજ્ય અવયવ 7ની જોડ બનતી નથી.
∴ [252] × 7 = [2 × 2 × 3 × 3 × 7] × 7
∴ 1764 = 2 × 2 × 3 × 3 × 7 × 7
= 2² × 3² × 7²
∴ \(\sqrt{1764}\) = 2 × 3 × 7 = 42
આમ, 252ને નાનામાં નાની સંખ્યા 7 વડે ગુણતાં ગુણાકાર પૂર્ણવર્ગ બને.

પ્રશ્ન (ii).
180
ઉત્તરઃ
180
\(\begin{array}{l|r}
2 & 180 \\
\hline 2 & 90 \\
\hline 3 & 45 \\
\hline 3 & 15 \\
\hline 5 & 5 \\
\hline & 1
\end{array}\)
180 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5
અહીં અવિભાજ્ય અવયવ 5ની જોડ બનતી નથી.
∴ [180] × 5 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5] × 5
∴ 900 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 5
= 2² × 3² × 5²
∴ \(\sqrt{1764}\) = 2 × 3 × 5 = 30
આમ, 180ને નાનામાં નાની સંખ્યા 5 વડે ગુણતાં ગુણાકાર પૂર્ણવર્ગ બને.

પ્રશ્ન (iii).
1008
ઉત્તરઃ
1008
\(\begin{array}{l|r}
2 & 1008 \\
\hline 2 & 504 \\
\hline 2 & 252 \\
\hline 2 & 126 \\
\hline 3 & 63 \\
\hline 3 & 21 \\
\hline 7 & 7 \\
\hline & 1
\end{array}\)
1008 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 7
અહીં અવિભાજ્ય અવયવ 7ની જોડ બનતી નથી.
∴ [1008] × 7 = [2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 7] × 7
∴ 7056 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 7 × 7
= 2² × 2² × 3² × 7²
∴ \(\sqrt{7056}\) = 2 × 2 × 3 × 7 = 84
આમ, 1008ને નાનામાં નાની સંખ્યા 7 વડે ગુણતાં ગુણાકાર પૂર્ણવર્ગ બને.

પ્રશ્ન (iv).
2028
ઉત્તરઃ
2028
\(\begin{array}{r|r}
2 & 2028 \\
\hline 2 & 1014 \\
\hline 3 & 507 \\
\hline 13 & 169 \\
\hline 13 & 13 \\
\hline & 1
\end{array}\)
2028 = 2 × 2 × 3 × 13 × 13
અહીં અવિભાજ્ય અવયવ 3ની જોડ બનતી નથી.
∴ [2028] × 3 = [2 × 2 × 3 × 13 × 13] × 3
∴ 6084 = 2 × 2 × 3 × 3 × 13 × 13
= 2² × 3² × 13²
∴ \(\sqrt{6084}\) = 2 × 3 × 18 = 78
આમ, 2028ને નાનામાં નાની સંખ્યા ૩ વડે ગુણતાં ગુણાકાર પૂર્ણવર્ગ બને.

પ્રશ્ન (v).
1458
ઉત્તરઃ
1458
\(\begin{array}{l|r}
2 & 1458 \\
\hline 3 & 729 \\
\hline 3 & 243 \\
\hline 3 & 81 \\
\hline 3 & 27 \\
\hline 3 & 9 \\
\hline 3 & 3 \\
\hline & 1
\end{array}\)
1458 = 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3
અહીં અવિભાજ્ય અવયવ 2ની જોડ બનતી નથી.
∴ [1458] × 2 = [2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3] × 2
∴ 2916 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3
= 2² × 3² × 3² × 3²
∴ \(\sqrt{2916}\) = 2 × 3 × 3 × 3 = 54
આમ, 1458ને નાનામાં નાની સંખ્યા 2 વડે ગુણતાં ગુણાકાર પૂર્ણવર્ગ બને.

પ્રશ્ન (vi).
768
ઉત્તરઃ
768
\(\begin{array}{l|r}
2 & 768 \\
\hline 2 & 384 \\
\hline 2 & 192 \\
\hline 2 & 96 \\
\hline 2 & 48 \\
\hline 2 & 24 \\
\hline 2 & 12 \\
\hline 2 & 6 \\
\hline 3 & 3 \\
\hline & 1
\end{array}\)
768 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3
અહીં અવિભાજ્ય અવયવ 3ની જોડ બનતી નથી.
∴ [768] × 3 = [2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3] × 3
∴ 2304 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3
= 2² × 2² × 2² × 2² × 3²
∴ \(\sqrt{2304}\) = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 = 48
આમ, 768ને નાનામાં નાની સંખ્યા ૩ વડે ગુણતાં ગુણાકાર પૂર્ણવર્ગ બને.

6. નીચે આપેલી દરેક સંખ્યા માટે નાનામાં નાની એવી સંખ્યા શોધો કે જેના વડે ભાગવાથી મળતી સંખ્યા પૂર્ણવર્ગ હોય. ઉપરાંત મળેલી પૂર્ણવર્ગ સંખ્યાનું વર્ગમૂળ પણ શોધોઃ

પ્રશ્ન (i).
252
ઉત્તરઃ
252
\(\begin{array}{l|r}
2 & 252 \\
\hline 2 & 126 \\
\hline 3 & 63 \\
\hline 3 & 21 \\
\hline 7 & 7 \\
\hline & 1
\end{array}\)
252 = 2 × 2 × 3 × 3 × 7
અહીં અવિભાજ્ય અવયવ 7ની જોડ બનતી નથી.
∴ આપેલી સંખ્યાને 7 વડે ભાગવી પડે.
∴ [252] ÷ 7 = [2 × 2 × 3 × 3 × 7] ÷ 7
∴ 36 = 2 × 2 × 3 × 3
= 2² × 3²
∴ \(\sqrt{36}\) = 2 × 3 = 6
આમ, 252ને નાનામાં નાની સંખ્યા 7 વડે ભાગતાં ભાગાકાર પૂર્ણવર્ગ બને.

પ્રશ્ન (ii).
2925
ઉત્તરઃ
2925
\(\begin{array}{r|r}
3 & 2925 \\
\hline 3 & 975 \\
\hline 5 & 325 \\
\hline 5 & 65 \\
\hline 13 & 13 \\
\hline & 1
\end{array}\)
2925 = 3 × 3 × 5 × 5 × 13
અહીં અવિભાજ્ય અવયવ 13ની જોડ બનતી નથી.
∴ આપેલી સંખ્યાને 13 વડે ભાગવી પડે.
∴ [2925] ÷ 13 = [3 × 3 × 5 × 5 × 13] ÷ 13
∴ 225 = 3 × 3 × 5 × 5
= 3² × 5²
∴ \(\sqrt{225}\) = 3 × 5 = 15
આમ, 2925ને નાનામાં નાની સંખ્યા 13 વડે ભાગતાં ભાગાકાર પૂર્ણવર્ગ બને.

પ્રશ્ન (iii).
396
ઉત્તરઃ
396
\(\begin{array}{r|r}
2 & 396 \\
\hline 2 & 198 \\
\hline 3 & 99 \\
\hline 3 & 33 \\
\hline 11 & 11 \\
\hline & 1
\end{array}\)
396 = 2 × 2 × 3 × 3 × 11
અહીં અવિભાજ્ય અવયવ 11ની જોડ બનતી નથી.
∴ આપેલી સંખ્યાને 11 વડે ભાગવી પડે.
∴ [396] ÷ 11 = [2 × 2 × 3 × 3 × 11] ÷ 11
36 = 2 × 2 × 3 × 3
= 2² × 3²
∴ \(\sqrt{36}\) = 2 × 3 = 6
આમ, 396ને નાનામાં નાની સંખ્યા 11 વડે ભાગતાં ભાગાકાર પૂર્ણવર્ગ બને.

પ્રશ્ન (iv).
2645
ઉત્તરઃ
2645
\(\begin{array}{r|r}
5 & 2645 \\
\hline 23 & 529 \\
\hline 23 & 23 \\
\hline & 1
\end{array}\)
2645 = 5 × 23 × 23
અહીં અવિભાજ્ય અવયવ ડની જોડ બનતી નથી.
∴ આપેલી સંખ્યાને 5 વડે ભાગવી પડે.
∴ [2645] ÷ 5 = [5 × 23 × 23] ÷ 5
529 = 23 × 23 = 23²
∴ \(\sqrt{529}\) = 23
આમ, 2645ને નાનામાં નાની સંખ્યા 5 વડે ભાગતાં ભાગાકાર પૂર્ણવર્ગ બને.

પ્રશ્ન (v).
2800
ઉત્તરઃ
2800
\(\begin{array}{l|r}
2 & 2800 \\
\hline 2 & 1400 \\
\hline 2 & 700 \\
\hline 2 & 350 \\
\hline 5 & 175 \\
\hline 5 & 35 \\
\hline 7 & 7 \\
\hline & 1
\end{array}\)
2800 = 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 7
અહીં અવિભાજ્ય અવયવ 7ની જોડ બનતી નથી.
∴ આપેલી સંખ્યાને 7 વડે ભાગવી પડે.
∴ [2800] ÷ 7 = [2 x 2 = 2 x 2 x 5 x 5 X 7] ÷ 7
∴ 400 = 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 5
= 2² × 2² × 5²
∴ \(\sqrt{400}\) = 2 × 2 × 5 = 20
આમ, 2800ને નાનામાં નાની સંખ્યા 7 વડે ભાગતાં ભાગાકાર પૂર્ણવર્ગ બને.

પ્રશ્ન (vi).
1620
ઉત્તરઃ
1620
\(\begin{array}{l|r}
2 & 1620 \\
\hline 2 & 810 \\
\hline 3 & 405 \\
\hline 3 & 135 \\
\hline 3 & 45 \\
\hline 3 & 15 \\
\hline 5 & 5 \\
\hline & 1
\end{array}\)
1620 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 5
અહીં અવિભાજ્ય અવયવ 5ની જોડ બનતી નથી.
∴ આપેલી સંખ્યાને 5 વડે ભાગવી પડે.
∴ [1620] ÷ 5 = [2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 5] ÷ 5
∴ 324 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3
= 2² × 3² × 3²
∴ \(\sqrt{324}\) = 2 × 3 × 3 = 18
આમ, 1620ને નાનામાં નાની સંખ્યા 5 વડે ભાગતાં ભાગાકાર પૂર્ણવર્ગ બને.

7. એક નિશાળના ધોરણ 8ના તમામ વિદ્યાર્થીઓ મળીને ₹ 2401 પ્રધાનમંત્રી રાષ્ટ્રીય રાહત ફંડમાં ફાળો આપે છે. વર્ગમાં જેટલી સંખ્યા છે તેટલા રૂપિયા દરેક વિદ્યાર્થી દાનમાં આપે છે, તો વર્ગમાં વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા કેટલી હશે?
ઉત્તરઃ
ધારો કે, વર્ગમાં વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા x છે.
દરેક વિદ્યાર્થીએ દાનમાં આપેલી રકમ = ₹ x
વર્ગમાં એકત્ર થયેલો કુલ ફાળો = દરેકે આપેલી રકમ × વર્ગના કુલ વિદ્યાર્થીઓ
= x × x = x²
હવે, વર્ગનો કુલ ફાળો ₹ 2401 થયો છે.
∴ x² = 2401
∴ \(\sqrt{x^{2}}\) = \(\sqrt{2401}\)
\(\begin{array}{l|r}
7 & 2401 \\
\hline 7 & 343 \\
\hline 7 & 49 \\
\hline 7 & 7 \\
\hline & 1
\end{array}\)
∴ x = \(\sqrt{7 \times 7 \times 7 \times 7}\)
= \(\sqrt{7^{2} \times 7^{2}}\)
∴ x = 7 × 7 = 49
વર્ગમાં વિદ્યાર્થીઓની કુલ સંખ્યા 49 છે.

8. એક બગીચામાં 2025 છોડ એવી રીતે રોપેલ છે કે પ્રત્યેક હારમાં રોપેલા છોડની સંખ્યા કુલ હારની સંખ્યા બરાબર થાય, તો પ્રત્યેક હારમાં રોપેલ છોડ અને કુલ હારની સંખ્યા શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, બગીચામાં છોડના હારની સંખ્યા x છે.
∴ દરેક હારમાંના છોડની સંખ્યા = x
∴ કુલ રોપેલા છોડની સંખ્યા = x × x = x²
પણ બગીચામાં આ છોડની સંખ્યા 2025 છે.
∴ x² = 2025
∴ \(\sqrt{x^{2}}\) = \(\sqrt{2025}\)
\(\begin{array}{l|r}
3 & 2025 \\
\hline 3 & 675 \\
\hline 3 & 225 \\
\hline 3 & 75 \\
\hline 5 & 25 \\
\hline 5 & 5 \\
\hline & 1
\end{array}\)
∴ x = \(\sqrt{3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5}\)
= \(\sqrt{3^{2} \times 3^{2} \times 5^{2}}\)
∴ x = 3 × 3 × 5 = 45
બગીચામાં છોડની હારની સંખ્યા 45 અને દરેક હારમાં છોડની સંખ્યા 45 છે.

9. 4, 9 અને 10 વડે નિઃશેષ ભાગી શકાય તેવી નાનામાં નાની પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા શોધો.
ઉત્તરઃ
આપણે જાણીએ છીએ કે સંખ્યાનો લ.સા.અ. એ એવી સંખ્યા છે કે જેને તેના બધા જ અવયવો વડે નિઃશેષ ભાગી શકાય.
આપણે 4, 9 અને 10નો લ.સા.અ. શોધીએ.
બાજુની રીત પ્રમાણે 4, 9 અને 10નો લ.સા.અ.
\(\begin{array}{l|lll}
2 & 4, & 9, & 10 \\
\hline 2 & 2, & 9, & 5 \\
\hline 3 & 1, & 9, & 5 \\
\hline 3 & 1, & 3, & 5 \\
\hline 5 & 1, & 1, & 5 \\
\hline & 1, & 1, & 5
\end{array}\)
= 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 180
હવે, 180 એ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા નથી. કારણ કે, તેના
અવિભાજ્ય અવયવોમાં 5ની જોડ બનતી નથી.
તેથી 180ને 5 વડે ગુણવા પડે.
∴ [180] × 5 = [2 × 2 × 3 × 3 × 5] × 5
∴ 900 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 5
હવે, 900ના બધા અવિભાજ્ય અવયવોની જોડ બને છે.
∴ 900 એ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા છે.
આમ, 900 એ માગ્યા મુજબની પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા છે.

10. 8, 15 અને 20 વડે નિઃશેષ ભાગી શકાય તેવી નાનામાં નાની પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા શોધો.
ઉત્તરઃ
આપણે જાણીએ છીએ કે સંખ્યાનો લ.સા.અ. એ એવી સંખ્યા છે કે જેને તેના બધા જ અવયવો વડે નિઃશેષ ભાગી શકાય.
આપણે 8, 15 અને 20નો લ.સા.અ. શોધીએ.
બાજુની રીત પ્રમાણે 8, 15 અને 20નો લ.સા.અ.
\(\begin{array}{l|lll}
2 & 8, & 15, & 20 \\
\hline 2 & 4, & 15, & 10 \\
\hline 2 & 2, & 15, & 5 \\
\hline 3 & 1, & 15, & 5 \\
\hline 5 & 1, & 5, & 5 \\
\hline & 1, & 1, & 1
\end{array}\)
= 2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 120
હવે, 120 એ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા નથી કારણ કે, 2, 3 અને 5ની જોડ થતી નથી.
તેથી 120ને 2 × 3 × 5 વડે ગુણવા પડે.
∴ [120] × 2 × 3 × 5 = [2 × 2 × 2 × 3 × 5] × 2 × 3 × 5
∴ 3600 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 2 × 3 × 5
∴ 3600 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 5
હવે, 3600ના બધા અવયવોની જોડ બને છે.
∴ 3600 પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા છે.
આમ, 3600 એ માગ્યા મુજબની પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા છે.