GSEB Solutions Class 8 Maths Chapter 7 ઘન અને ઘનમૂળ InText Questions

Gujarat Board GSEB Solutions Class 8 Maths Chapter 7 ઘન અને ઘનમૂળ InText Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 8 Maths Chapter 7 ઘન અને ઘનમૂળ InText Questions

પ્રયત્ન કરો (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબ 111)

નીચે આપેલી સંખ્યાના ઘન કરવાથી મળતી સંખ્યાનો એકમનો અંક શોધોઃ
(i) 3331
(ii) 8888
(iii) 149
(iv) 1005
(v) 1024
(vi) 77
(vii) 5022
(viii) 53
ઉત્તરઃ

ક્રમ	સંખ્યા	સંખ્યાનો એકમનો અંક	ઘન કરવાથી મળતી સંખ્યાનો એકમનો અંક
(i)	3331	1	1
(ii)	8888	8	2
(iii)	149	9	9
(iv)	1005	5	5
(v)	1024	4	4
(vi)	77	7	3
(vii)	5022	2	8
(viii)	53	3	7

પ્રયત્ન કરો (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબ 111)

નીચે આપેલી ક્રમિક એકી સંખ્યાના સરવાળાની પેટર્ન જુઓઃ

ઉપરના જેવી પૅટર્નનો ઉપયોગ કરી નીચે આપેલ સંખ્યાને ક્રમિક એકી સંખ્યાના સરવાળા તરીકે દર્શાવોઃ
(a) 6³
(b) 8³
(c) 7³
ઉત્તરઃ
પ્રથમ સંખ્યા n (n – 1) + 1. પછી ક્રમશઃ n જેટલી એકી સંખ્યાનો સરવાળો કરતાં n³ મળે.
(a) અહીં n = 6 અને n – 1 = 5
જુઓઃ (6 × 5) + 1 = 31
∴ 6³ = 31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41
= 216 (n સંખ્યાઓ)

(b) અહીં = 8 અને n – 1 = 7
જુઓઃ (8 × 7) + 1 = 57
∴ 8³ = 57 + 59 + 61 + 63 + 65 + 67 + 69 + 71
= 512 (n સંખ્યાઓ)

(c) અહીં n = 7 અને n – 1 = 6
જુઓ : (7 × 6) + 1 = 43
∴ 7³ = 43 + 45 + 47 + 49 + 51 + 53 + 55
= 343 (n સંખ્યાઓ)

નીચેની પૅટર્ન જુઓઃ
2³ – 1³ = 1 + 2 × 1 × 3
3³ – 2³ = 1 + 3 × 2 × 3
4³ – 3³ = 1 + 4 × 3 × 3
ઉપરની પૅટર્ન જોઈ નીચેની સંખ્યાની કિંમત શોધોઃ
(i) 7³ – 6³
(ii) 12³ – 11³
(iii) 20³ – 19³
(iv) 51³ – 50³
ઉત્તરઃ
અહીં n³ – (n – 1)³ = 1 + n × (n- 1) × 3
(i) 7³ – 6³ = 1 + 7 × 6 × 3
= 1 + 126 = 127

(ii) 12³ – 11³ = 1 + 12 × 11 × 3
= 1 + 396 = 397

(iii) 20³ – 19³ = 1 + 20 × 19 × 3
= 1 + 1140 = 1141

(iv) 51³ – 50³ = 1 + 51 × 50 × 3
= 1 + 7650 = 7651

પ્રયત્ન કરો (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબ 112)

નીચે આપેલી સંખ્યામાંથી કઈ સંખ્યા પૂર્ણઘન છે?

(1) 400
ઉત્તરઃ
400
\(\begin{array}{l|l}
2 & 400 \\
\hline 2 & 200 \\
\hline 2 & 100 \\
\hline 2 & 50 \\
\hline 5 & 25 \\
\hline 5 & 5 \\
\hline & 1
\end{array}\)
400 = 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 5
અહીં અવિભાજ્ય અવયવોની
ત્રણ-ત્રણની જોડ બનાવતાં
2 × 5 × 5 બાકી રહે છે.
∴ 400 પૂર્ણઘન સંખ્યા નથી.

(2) 3375
ઉત્તરઃ
3375
\(\begin{array}{l|l}
3 & 3375 \\
\hline 3 & 1125 \\
\hline 3 & 375 \\
\hline 5 & 125 \\
\hline 5 & 25 \\
\hline 5 & 5 \\
\hline & 1
\end{array}\)
3375 = 3 × 3 × 3 × 5 × 5 × 5
અહીં અવિભાજ્ય અવયવોની ત્રણ-ત્રણની જોડ બનાવતાં એક પણ અવિભાજ્ય અવયવ બાકી રહેતો નથી.
∴ 3375 પૂર્ણઘન સંખ્યા છે.
જુઓ: 3375 = 3³ × 5³

(3) 8000
ઉત્તરઃ
8000
\(\begin{array}{l|l}
2 & 8000 \\
\hline 2 & 4000 \\
\hline 2 & 2000 \\
\hline 2 & 1000 \\
\hline 2 & 500 \\
\hline 2 & 250 \\
\hline 5 & 125 \\
\hline 5 & 25 \\
\hline 5 & 5 \\
\hline & 1
\end{array}\)
8000 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 5
અહીં અવિભાજ્ય અવયવોની ત્રણ-ત્રણની જોડ બનાવતાં એક પણ અવિભાજ્ય અવયવ બાકી રહેતો નથી.
∴ 8000 પૂર્ણઘન સંખ્યા છે.
જુઓ: 8000 = 2³ × 2³ × 5³

(4) 15625
ઉત્તરઃ
15625
\(\begin{array}{l|l}
5 & 15625 \\
\hline 5 & 3125 \\
\hline 5 & 625 \\
\hline 5 & 125 \\
\hline 5 & 25 \\
\hline 5 & 5 \\
\hline & 1
\end{array}\)
15,625 = 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5
અહીં અવિભાજ્ય અવયવોની ત્રણ-ત્રણની જોડ બનાવતાં એક પણ અવિભાજ્ય અવયવ બાકી રહેતો નથી.
∴ 15,625 એ પૂર્ણઘન સંખ્યા છે.
જુઓઃ 15,625 = 5³ × 5³

(5) 9000
ઉત્તરઃ
9000
\(\begin{array}{l|l}
2 & 9000 \\
\hline 2 & 4500 \\
\hline 2 & 2250 \\
\hline 3 & 1125 \\
\hline 3 & 375 \\
\hline 5 & 125 \\
\hline 5 & 25 \\
\hline 5 & 5 \\
\hline & 1
\end{array}\)
9000 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 5 × 5
અહીં અવિભાજ્ય અવયવોની ત્રણ-ત્રણની જોડ બનાવતાં 3 × 3 બાકી રહે છે.
∴ 9000 એ પૂર્ણઘન સંખ્યા નથી.

(6) 6859
ઉત્તરઃ
6859
\(\begin{array}{l|l}
19 & 6859 \\
\hline 19 & 361 \\
\hline 19 & 19 \\
\hline & 1
\end{array}\)
6859 = 19 × 19 × 19
અહીં અવિભાજ્ય અવયવોની ત્રણ-ત્રણની જોડ બનાવતાં એક પણ અવિભાજ્ય અવયવ બાકી રહેતો નથી.
∴ 6859 એ પૂર્ણઘન સંખ્યા છે.
જુઓ : 6859 = 19³

(7) 2025
ઉત્તરઃ
2025
\(\begin{array}{l|l}
3 & 2025 \\
\hline 3 & 675 \\
\hline 3 & 225 \\
\hline 3 & 75 \\
\hline 5 & 25 \\
\hline 5 & 5 \\
\hline & 1
\end{array}\)
2025 = 3 × 3 × 3 × 3 × 5 × 5
અહીં અવિભાજ્ય અવયવોની ત્રણ-ત્રણની જોડ બનાવતાં 3 × 5 × 5 બાકી રહે છે.
∴ 2025 એ પૂર્ણઘન સંખ્યા નથી.

(8) 10648
ઉત્તરઃ
10648
\(\begin{array}{l|l}
2 & 10648 \\
\hline 2 & 5324 \\
\hline 2 & 2662 \\
\hline 11 & 1331 \\
\hline 11 & 121 \\
\hline 11 & 11 \\
\hline & 1
\end{array}\)
10648 = 2 × 2 × 2 × 11 × 11 × 11
અહીં અવિભાજ્ય અવયવોની ત્રણ-ત્રણની જોડ બનાવતાં એક પણ અવિભાજ્ય અવયવ બાકી રહેતો નથી.
∴ 10648 એ પૂર્ણઘન સંખ્યા છે.
જુઓ : 10648 = 2³ x 11³

વિચારો, ચર્ચા કરો અને લખો (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબ 113)

નીચેનામાંથી કઈ સંખ્યા પૂર્ણઘન સંખ્યા છે?
(i) 2700
(ii) 16000
(iii) 64000
(iv) 900
(v) 125000
(vi) 36000
(vii) 21600
(viii) 10000
(ix) 27000000
(x) 1000
તમે આ પૂર્ણઘન સંખ્યામાં કઈ પૅટર્નનું નિરીક્ષણ કર્યું?
ઉત્તરઃ
(i) 2700
2700માં બે શૂન્ય છે. જો ત્રણ કે છ શૂન્ય હોય, તો તે પૂર્ણઘન સંખ્યા હોઈ શકે.
∴ 2700 એ પૂર્ણઘન સંખ્યા નથી.

(ii) 16000
16000માં ત્રણ શૂન્ય છે, તેથી તે પૂર્ણઘન સંખ્યા હોઈ શકે.
પણ 16 એ પૂર્ણઘન સંખ્યા નથી.
∴ 16000 એ પૂર્ણઘન સંખ્યા નથી.

(iii) 64000
64000માં ત્રણ શૂન્ય છે, તેથી તે પૂર્ણઘન સંખ્યા હોઈ શકે. વળી,
64 એ પૂર્ણધન છે. (∵ 4³ = 64)
∴ 64000 એ પૂર્ણઘન સંખ્યા છે.

(iv) 900
900માં બે શૂન્ય છે, તેથી તે પૂર્ણઘન સંખ્યા ન હોઈ શકે.
∴ 900 એ પૂર્ણઘન સંખ્યા નથી.

(v) 125000
125000માં ત્રણ શૂન્ય છે, તેથી તે પૂર્ણઘન સંખ્યા હોઈ શકે.
વળી, 125 એ પૂર્ણઘન છે. (∵ 5³ = 125)
∴ 125000 એ પૂર્ણઘન સંખ્યા છે.

(vi) 36000
36000માં ત્રણ શૂન્ય છે, તેથી તે પૂર્ણઘન સંખ્યા હોઈ શકે.
પણ 36 એ પૂર્ણઘન સંખ્યા નથી.
∴ 36000 એ પૂર્ણઘન સંખ્યા નથી.

(vii) 21600
21600માં બે શૂન્ય છે, તેથી તે પૂર્ણઘન સંખ્યા ન હોઈ શકે.
∴ 21600 એ પૂર્ણઘન સંખ્યા નથી.

(viii) 10000
10000માં ચાર શૂન્ય છે, તેથી તે પૂર્ણઘન સંખ્યા ન હોઈ શકે.
∴ 10000 એ પૂર્ણઘન સંખ્યા નથી.

(ix) 27000000
27000000માં છ શૂન્ય છે, તેથી તે પૂર્ણઘન સંખ્યા હોઈ શકે.
વળી, 27 એ પૂર્ણઘન છે. (∵ 3³ = 27)
∴ 27000000 એ પૂર્ણઘન સંખ્યા છે.

(x) 1000
1000માં ત્રણ શૂન્ય છે, તેથી તે પૂર્ણઘન સંખ્યા હોઈ શકે.
વળી, 1 એ પૂર્ણઘન છે. (∵ 1³ = 1)
∴ 1000 એ પૂર્ણઘન સંખ્યા છે.
પૅટર્નઃ જે સંખ્યાના છેલ્લા અંકો ત્રણ, છ, નવ, … શૂન્યો હોય તથા આગળના અંકો પૂર્ણઘન સંખ્યા હોય તે જ સંખ્યા પૂર્ણઘન હોય.

વિચારો, ચર્ચા કરો અને લખો (પાઠ્યપુસ્તક પાન નંબ 115)

કોઈ પણ પૂર્ણાંક સંખ્યા m માટે, m² < m³? આ વિધાન ખરું છે કે ખોટું તે કહો.
ઉત્તરઃ
પહેલી નજરે આ વિધાન ખરું જ જણાય.
કારણ કે m એટલે સંખ્યાનો તે જ સંખ્યા સાથે બે વખત ગુણાકાર.
અને m એટલે સંખ્યાનો તે જ સંખ્યા સાથે ત્રણ વખત ગુણાકાર.
∴ m² < m³
પરંતુ જ્યારે m = -1 હોય ત્યારે
m² = (-1)² = 1 અને m³ = (-1) = – 1
જુઓ 1 > -1
∴ m² > m³

m = 1 હોય, ત્યારે
m² = (1)² = 1
m³ = (1)³ = 1
જુઓ : 1 < 1 નથી.
આમ, ઉપરનું વિધાન હંમેશ માટે સાચું નથી.