Gujarat Board GSEB Solutions Class 8 Maths Chapter 9 બૈજિક પદાવલિઓ અને નિત્યસમ Ex 9.5 Textbook Exercise Questions and Answers.
Gujarat Board Textbook Solutions Class 8 Maths Chapter 9 બૈજિક પદાવલિઓ અને નિત્યસમ Ex 9.5
1. યોગ્ય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીને નીચેના ગુણાકાર મેળવો:
પ્રશ્ન (i)
(x + 3) (x + 3)
જવાબ:
= (x + 3)2
= (x)2 + 2 (x)(3) + (3)2 [∵ (a + b)2 = a2 + 2ab + b2]
= x2 + 6x + 9
પ્રશ્ન (ii)
(2y + 5) (2y + 5)
જવાબ:
= (2y + 5)2
= (2y)2 + 2(2y)(5) + (5)2 [∵ (a + b)2 = a2 + 2ab + b2]
= 4y2 + 20y + 25
પ્રશ્ન (iii)
(2a – 7) (2a – 7)
જવાબ:
= (2a – 7)2
= (2a)2 – 2(2a)(7) + (7)2 [∵ (a + b)2 = a2 + 2ab + b2)
= 4a2 – 28a + 49
પ્રશ્ન (iv)
(3a – \(\frac {1}{2}\)) (3a – \(\frac {1}{2}\))
જવાબ:
= (3a – \(\frac {1}{2}\))2
= (3a)2 – 2(3a)(\(\frac {1}{2}\)) + (\(\frac {1}{2}\))2 [∵ (a + b)2 = a2 + 2ab + b2)
= 9a2 – 3a + \(\frac {1}{4}\)
પ્રશ્ન (v)
(1.1m – 0.4) (1.1m + 0.4)
જવાબ:
= (1.1m)2 – (0.4)2 [∵ (a + b) (a – b) = a2 – b2]
= 1.21m2 – 0.16
પ્રશ્ન (vi)
(a2 + b2) (-a2 + b2)
જવાબ:
= (b2 + a2)(b2 – a2)
= (b2)2 – (a2)2 [∵ (a + b) (a – b) = a2 – b2]
= b4 – a4
પ્રશ્ન (vii)
(6x – 7) (6x + 7)
જવાબ:
= (6x)2 – (7)2 [∵ (a + b) (a – b) = a2 – b2]
= 36x2 – 49
પ્રશ્ન (viii)
(- a + c) (- a + c)
જવાબ:
= (- a + c)2
= (- a)2 + 2(- a) (c) + (c)2
[∵ (a + b)2 = a2 + 2ab + b2]
= a2 – 2ac + c2
બીજી રીતઃ
(c – a)2
= (c)2 – 2(c)(a) + (a)2
= c2 – 2ca + a2
પ્રશ્ન (ix)
(\(\frac{x}{2}+\frac{3 y}{4}\)) (\(\frac{x}{2}+\frac{3 y}{4}\))
જવાબ:
= (\(\frac{x}{2}+\frac{3 y}{4}\))2
= (\(\frac{x}{2}\))2 + 2(\(\frac{x}{2}\))(\(\frac{3y}{4}\)) + (\(\frac{3y}{4}\)))2
[∵ (a + b)2 = a2 + 2ab + b2]
= \(\frac{x^{2}}{4}+\frac{3 x y}{4}+\frac{9 y^{2}}{16}\)
પ્રશ્ન (x)
(7a – 9b) (7a – 9b)
જવાબ:
= (7a – 9b)2
= (7a)2 – 2(7a)(9b) + (9b)2
(∵ (a – b)2 = a2 – 2ab + b2)
= 49a2 – 126ab + 81b2
2. (x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીને નીચેના ગુણાકાર શોધોઃ
પ્રશ્ન (i)
(x + 3) (x + 7)
જવાબ:
(x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીએ.
= (x)2 + (3 + 7) x + (3)(7)
= x2 + (10)x + 21
= x2 + 10x + 21
પ્રશ્ન (ii)
(4x + 5) (4x + 1)
જવાબ:
= (4x)2 + (5 + 1)4x + (5)(1)
= 16x2 + (6)4x + 5
= 16x2 + 24x + 5
પ્રશ્ન (iii)
(4x – 5) (4x – 1)
જવાબ:
= (4x)2 + (- 5 – 1) 4x + (- 5) (-1)
= 16x2 + (-6)4x + 5
= 16x2 – 24x + 5
પ્રશ્ન (iv)
(4x + 5) (4x – 1)
જવાબ:
= (4x)2 + (5 – 1) 4x + (5)(- 1)
= 16x2 + (4)4x – 5
= 16x2 + 16x – 5
પ્રશ્ન (v)
(2x + 5y) (2x + 3y)
જવાબ:
= (2x)2 + (5y + 3y)2x + (5y)(3y)
= 4x2 + (8y)2x + 15y2
= 4x2 + 16xy + 15y2
પ્રશ્ન (vi)
(2a2 + 9) (2a2 + 5)
જવાબ:
= (2a2)2 + (9 + 5) 2a2 + (9)(5)
= 4a4 + (14)2a2 + 45
= 4a4 + 28a2 + 45
પ્રશ્ન (vii)
(xyz – 4) (xyz – 2)
જવાબ:
= (xyz)2 + (- 4 – 2) xyz + (-4)(-2)
= x2y2z2 + (-6)xyz + 8
= x2y2z2 – 6xyz + 8
3. નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીને નીચેના વર્ગ શોધોઃ
પ્રશ્ન (i)
(b – 7)2
જવાબ:
= (b)2 – 2(b)(7) + (7)2 [∵ (a – b)2 = a2 – 2ab + b2]
= b2 – 14b + 49
પ્રશ્ન (ii)
(xy + 3z)2
જવાબ:
= (xy)2 + 2(xy)(3z) + (3z)2
[∵ (a + b)2 = a2 + 2ab + b2]
= x2y2 + 6xyz + 9z2
પ્રશ્ન (iii)
(6x2 – 5y)2
જવાબ:
= (6x2)2 – 2(6x2)(5y) + (5y)2
[∵ (a – b)2 = a2 – 2ab + b2
= 36x4 – 60x2y + 25y2
પ્રશ્ન (iv)
(\(\frac {2}{3}\)m + \(\frac {3}{2}\)n)2
જવાબ:
= (\(\frac {2}{3}\)m)2 + 2(\(\frac {2}{3}\)m)(\(\frac {3}{2}\)n) + (\(\frac {3}{2}\)n)2
[∵ (a + b)2 = a2 + 2ab + b2]
= \(\frac {4}{9}\)m2 + 2mn + \(\frac {9}{4}\)n2
પ્રશ્ન (v)
(0.4p – 0.5q)2
જવાબ:
= (0.4p)2 – 2(0.4p) (0.5q)+ (0.5q)2
[∵ (a – b)2 = a2 – 2ab + b2
= 0.16p2 – 0.4pq + 0.25q2
પ્રશ્ન (vi)
(2xy + 5y)2
જવાબ:
= (2xy)2 + 2(2xy)(5y) + (5y)2
[∵ (a + b)2 = a2 + 2ab + b2]
= 4x2y2 + 20xy2 + 25y2
4. સાદું રૂપ આપોઃ
પ્રશ્ન (i)
(a2 – b2)2
જવાબ:
= (a2)2 – 2(a2)(b2) + (b2)2
= a4 – 2a2b2 + b4
પ્રશ્ન (ii)
(2x + 5)2 – (2x – 5)2
જવાબ:
= [(2x)2 + 2(2x)(5) + (5)2] – [(2x)2 – 2(2x)(5) + (5)2]
= [4x2 + 20x + 25] – [4x2 – 20x + 25]
= 4x2 + 20x + 25 – 4x2 + 20x – 25
= 4x2 – 4x2 + 20x + 20x + 25 – 25
= 0 + 40x + 0
= 40x
પ્રશ્ન (iii)
(7m – 8n)2 – (7m + 8n)2
જવાબ:
= [(7m)2 – 2(7m)(8n) + (8n)2] + [(7m)2 + 2(7m)(8n) + (8n)2
= [49m2 – 112mn + 64n2] + [49m2 + 112mn + 64n2]
= 49m2 – 112mn + 64n2 + 49m2 + 112mn + 64n2
= 49m2 + 49m2 – 112mn + 112mn + 64n2 + 64n2
= 98m2 + 0 + 128n2
= 98m2 + 128n2
પ્રશ્ન (iv)
(4m + 5n)2 + (5m + 4n)2
જવાબ:
= [(4m)2 + 2(4m)(5n) + (5n)2)] + [(5m)2 + 2(5m)(4n) + (4n)2]
= 16m2 + 40mn + 25n2 + 25m2 + 40mn + 16n2
= 16m2 + 25m2 + 40mn + 40mn + 25n2 + 16n2
= 41m2 + 80mn + 41n2
પ્રશ્ન (v)
(2.5p – 1.5q)2 – (1.5p – 2.5q)2
જવાબ:
= [(2.5p)2 – 2(2.5p)(1.5q) + (1.5q)2] – [(1.5p)2 – 2(1.5p)(2.5q) + (2.5q)2)
= [6.25p2 – 7.5pq + 2.25q2] – [2.25p2 – 7.5pq + 6.252)
= 6.25p2 – 7.5pq + 2.25q2 – 2.25p2 + 7.5pq – 6.25q2
= 6.25p2 – 2.25p2 – 7.5pq + 7.5pq + 2.25q2 – 6.25q2
= 4p2 + 0 – 4q2
= 4p2 – 4q2
પ્રશ્ન (vi)
(ab + bc)2 – 2ab2c
જવાબ:
= [(ab)2 + 2(ab)(bc) + (bc)2] – 2ab2c
= a2b2 + 2ab2c + b2c2 – 2ab2c
= a2b2 + 2ab2c – 2ab2c + b2c2
= a2b2 + 0 + b2c2
= a2b2 + b2c2
પ્રશ્ન (vii)
(m2 – n2m)2 + 2m3n2
જવાબ:
= [(m2)2 – 2(m2)(n2m) + (n2m)2] + 2m3n2
= m4 – 2m3n2 + n4m2 + 2m3n2
= m4 – 2m3n2 + 2m3n2 + n4m2
= m4+ 0 + n4m2
= m4 + m2n4
5. સાબિત કરોઃ
પ્રશ્ન (i)
(3x + 7)2 – 84x = (3x – 7)2
જવાબ:
ડા.બા. = (3x + 7)2 – 84x
= (3x)2 + 2(3x) (7) + (7)2 – 84x
= 9x2 + 42x + 49 – 84x
= 9x2 + 42x – 84x + 49
= 9x2 – 42x + 49
જ.બા. = (3x – 7)2
= (3x)2 – 2 (3x)(7) + (7)2
= 9x2 – 42x + 49
આમ, ડા.બા. = જ.બા.
∴ (3x + 7)2 – 84x = (3x – 7)2
પ્રશ્ન (ii)
(9p – 5q)2 + 180pq = (9p + 5q)2
જવાબ:
ડા.બા. = (9p – 5q)2 + 180pq
= (9p)2 – 2(9p)(5q) + (5q)2 + 180pq 1
= 81p2 – 90pq + 25q2 + 180pq
= 81p2 – 90pq + 180pq + 25q2
= 81p2 + 90pq + 25q2
જ.બા. = (9p + 5q)2
= (9p)2 + 2 (9p)(5q) + (5q)2
= 81p2 + 90pq + 25q2
આમ, ડો.બા. = જ.બા.
∴ (9p – 5q)2 + 180pq = (9p + 5q)2
પ્રશ્ન (iii)
(\(\frac {4}{3}\)m – \(\frac {3}{4}\)n)2 + 2mn = \(\frac {16}{9}\)m2 + \(\frac {9}{16}\)n2
જવાબ:
ડા.બા= [\(\frac {4}{3}\)m – \(\frac {3}{4}\)n]2 + 2mn
= [(\(\frac {4}{3}\)m)2 – 2(\(\frac {4}{3}\)m)(\(\frac {3}{4}\)n) + (\(\frac {3}{4}\)n)2] + 2mn
= \(\frac {16}{9}\)m2 – 2mn + \(\frac {9}{16}\)n2 + 2mn
= \(\frac {16}{9}\)m2 – 2mn + 2mn + \(\frac {9}{16}\)n2
= \(\frac {16}{9}\)m2 + \(\frac {9}{16}\)n2 = જ.બા.
આમ, ડા.બા. = જ.બા.
∴ (\(\frac {4}{3}\)m – \(\frac {3}{4}\)n)2 + 2mn = \(\frac {16}{9}\)m2 + \(\frac {9}{16}\)n2
પ્રશ્ન (iv)
(4pq + 3q)2 – (4pq – 3q)2 = 48pq2
જવાબ:
ડા.બા. = (4pq + 3q)2 – (4pq – 3q)2
= [(4pq)2 + 2(4pq)(3q) + (3q)2] – [(4pq)2 – 2 (4pq)(3q) + (3q)2]
= [16p2q2 + 24pq2 + 9q2] – [16p2q2 – 24pq2 + 9q2]
= 16p2q2 + 24pq2 + 9q2 – 16p2q2 + 24pq2 – 9q2
= 16p2q2 – 16p2q2 + 24pq2 + 24pq2 + 9q2 – 9q2
= 0 + 48pq2 + 0
= 48pq2 = જ.બા.
આમ, ડા.બા. = જ.બા.
∴ (4pq + 3q)2 – (4pq – 3q)2 = 48pq2
પ્રશ્ન (v)
(a – b)(a + b) + (b – c) (b + c) + (c – a) (c + d) = 0
જવાબ:
ડા.બા. = (a – b) (a + b) + (b – c) (b + c) + (c – a) (c + a)
= (a2 – b2) + (b2 – c2) + (c2 – a2)
= a2 – b2 + b2 – c2 + c2 – a2
= a2 – a2 + b2 – b2 + c2 – c2
= 0 + 0 + 0
= 0 = જ.બા.
આમ, ડા.બા. = જ.બા.
∴ (a – b) (a + b) + (b – c) (b + c) + (c – a) (c + a) = 0
6. નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરો:
પ્રશ્ન (i)
712
જવાબ:
= (70 + 1)2
= (70)2 + 2(70)(1) + (1)2
[∵ (a + b)2 = a2 + 2ab + b2]
= 4900 + 140 + 1
= 5041
પ્રશ્ન (ii)
992
જવાબ:
= (100 – 1)2
= (100)2 – 2(100)(1) + (1)2
[∵ (a – b)2 = a2 – 2ab + b2]
= 10000 – 200 + 1
= 9801.
પ્રશ્ન (iii)
1022
જવાબ:
= (100 + 2)2
= (100)2 + 2(100)(2) + (2)2
[∵ (a + b)2 = a2 + 2ab + b2]
= 10000 + 400 + 4
= 10404
પ્રશ્ન (iv)
9982
જવાબ:
= (1000 – 2)2
= (1000)2 – 2(1000) (2) + (2)2
[∵ (a – b)2 = a2 – 2ab + b2]
= 1000000 – 4000 + 4
= 996004
પ્રશ્ન (v)
5.22
જવાબ:
= (5 + 0.2)2
= (5)2 + 2(5)(0.2) + (0.2)2
[∵ (a + b)2 = a2 + 2ab + b2]
= 25 + 2 + 0.04
= 27 + 0.04
= 27.04
પ્રશ્ન (vi)
297 × 303
જવાબ:
= (300 – 3) × (300 + 3)
= (300)2 – (3)2 [∵ (a – b) (a + b) = a2 – b2]
= 90000 – 9
= 89991
પ્રશ્ન (vii)
78 × 82
જવાબ:
= (80 – 2) × (80 + 2)
= (80)2 – (2)2 [∵ (a – b) (a + b) = a2 – b2]
= 6400 – 4
= 6396
પ્રશ્ન (viii)
8.92
જવાબ:
= (9 – 0.1)2
= (9)2 – 2(9)(0.1) + (0.1)2 [∵ (a – b)2 = a2 – 2ab + b2]
= 81 – 1.8 + 0.01
= 81.01 – 1.8
= 79.21
પ્રશ્ન (ix)
10.5 × 9.5
જવાબ:
= (10 + 0.5) × (10 – 0.5)
= (10)2 – (0.5)2 [∵ (a + b) (a – b) = a2 – b2]
= 100 – 0.25
= 99.75
[નોંધઃ (ix) રકમમાં ભૂલ હોવાથી 1.05ને બદલે 10.5 લીધા છે.]
7. નિત્યસમ a2 – b2 = (a + b)(a – b) નો ઉપયોગ કરીને કિંમત શોધો:
પ્રશ્ન (i)
512 – 492
જવાબ:
= (51 + 49) (51 – 49)
= (100) × (2)
= 200
પ્રશ્ન (ii)
(1.02)2 – (0.98)2
જવાબ:
= (1.02 + 0.98) (1.02 – 0.98)
= (2.0) × (0.04)
= 0.08
પ્રશ્ન (iii)
1532 – 1472
જવાબ:
= (153 + 147) (153 – 147)
= (300) × (6)
= 1800
પ્રશ્ન (iv)
12.12 – 7.92
જવાબ:
= (12.1 + 7.9) (12.1 – 7.9)
= 20 × 4.2
= 84
8. (x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + abનો ઉપયોગ કરીને કિંમત શોધોઃ
પ્રશ્ન (i)
103 × 104
જવાબ:
= (100 + 3) × (100 + 4)
= (100)2 + (3 + 4) × 100 + (3)(4)
= 10000 + 700 + 12
= 10712
પ્રશ્ન (ii)
5.1 × 5.2
જવાબ:
= (5 + 0.1) (5 + 0.2)
= (5)2 + (0.1 + 0.2) × 5 + (0.1) (0.2)
= 25 + (0.3) × 5 + 0.02
= 25 + 1.5 + 0.02
= 26.52
પ્રશ્ન (iii)
103 × 98
જવાબ:
= (100 + 3) (100 – 2)
= (100)2 + (3 – 2) 100 + (3)(-2)
= 10000 + 100 – 6
= 10094
પ્રશ્ન (iv)
9.7 × 9.8
જવાબ:
= (10 – 0.3) (10 – 0.2)
= (10)2 + [(-0.3) + (-0.2)] 10 + (- 0.3)(- 0.2)
= 100 + [- 0.5] × 10 + 0.06
= 100 – 5 + 0.06
= 95.06